2016届上海市杨浦区高考数学三模试卷(理科)(1)(解析版)综述

1、第 1 页（共 18 页）2016年上海市杨浦区高考数学三模试卷（理科）一.填空题1 .函数 y=log2（ x+1）的反函数为.2. 若直线 li: 2x+my+1=0 与“：y=3x - 1 垂直，则实数 m=_ .3.若 2+i （i 虚数单位）是实系数一元二次方程x2+px+q=0 的根，则 p+q=_ .3兀sinx -14.已知 si nx=，x （可，n）,则行列式的值等于_.b丄1secs95.已知 A=x| 1,B=x|log2（x - 1）v1，则 A QB=.6. 已知 A 地位于东经 30北纬 45 B 地位于西经 60北纬 45则 A、B 两地的球面距离与地球半径的比

2、值为 _ .7._ 在某次数学测验中，5 位学生的成绩如下：78、85、a、82、69,他们的平均成绩为 80, 则他们成绩的方差等于.9.若（x+ I ）n（ n N*）展开式中各项系数的和等于64,则展开式中 x3的系数是_ .Fl10. 三阶矩阵a22a23 中有 9 个不同的数 aij（i=1,2, 3；j=1,2, 3）,从中任取三L旦的332a33j个，则至少有两个数位于同行或同列的概率是 _ （结果用分数表示）11.若函数 y=cos （x+：）的图象向右平移 $个单位（$0）,所得到的图象关于 y 轴对称，贝 y 的最小值为_ .a_b12.-若两整数 a、b 除以同一个整数

3、m,所得余数相同，即 -=k （k Z）,则称 a、b 对m模 m 同余，用符号 a= b （mod m）表示，若 a= 10 （mod 6） （a 10）,满足条件的 a 由小到 大依次记为 a1, a2-an,，则数列轴的前 16 项和为_.&在极坐标系下，点（2,.）到直线 eos（e）=1 的距离为bo第2页(共 18 页)|F1F2|2=|PF1| ?| PF2I , P 到坐标原点 O 的距离为 d,且 5vdv9,贝 V ?=_ .14.如图，已知 AB 丄 AC, AB=3 , AC=，圆 A 是以 A 为圆心半径为 1 的圆，圆 B 是以B 为圆心的圆.设点 P, Q

4、 分别为圆 A，圆 B 上的动点，且 =,：则.?的取值范围是_ .二.选择题15已知数列an的前 n 项和 Sn=pn+q ( p丰0, qz1),贝卩 q= - T 是 数列an是等比数列” 的( )A 充要条件 B 必要不充分条件C.充分不必要条件D 既不充分也不必要条件16.已知 Z1、Z2均为复数，下列四个命题中，为真命题的是()A | zi| =| 丨=B. 若|Z2|=2，则 Z2的取值集合为 - 2, 2,- 2i, 2i (i 是虚数单位)2 2C. 若 Z1+Z2=0，贝 y Z1=0 或 Z2=0D z二Z2一定是实数2217椭圆 C:.的左、右顶点分别为AX也点p在 C

5、 上且直线PA2斜率的取值范围是-2,- 1，那么直线 PA1斜率的取值范围是()A 亍亍 B 亍亍 C - D 匚18.定义域为a, b的函数 y=f (x)图象的两个端点为 A (a, f (a), B (b, f (b), M(x, y)是 y=f (x)图象上任意一点，过点 M 作垂直于 x 轴的直线 I 交线段 AB 于点 N (点 M 与点 N 可以重合)，我们称| 的最大值为该函数的 曲径”，下列定义域为1, 2上的函 数中，曲径最小的是()221兀A y=x B y= C . y=x - 一 D . y=sinxKX3三.解答题F1, F2, P 为该双曲线上一点，满足13.已

6、知双曲线=1 （a N ）的两个焦点为第3页(共 18 页)19如图，圆锥的顶点为 P,底面圆心为 0,线段 AB 和线段 CD 都是底面圆的直径，且直 线 AB 与直线CD 的夹角为=,已知| OA| =1 , | PA| =2.(1) 求该圆锥的体积；(2) 求证：直线 AC 平行于平面 PBD，并求直线 AC 到平面 PBD 的距离.第4页(共 18 页)n*(1 )设 bn=3 an( n N ),求证：bn是等差数列;(2)设数列an的前 n 项和为 Sn,求 一 一 的值.廿 Y9 a昨21.图为一块平行四边形园地 ABCD，经测量，AB=20 米，BC=10 米，/ ABC=12

7、0 拟过 线段 AB上一点 E 设计一条直路 EF (点 F 在四边形 ABCD 的边上，不计路的宽度)，将该园地分为面积之比为 3： 1 的左、右两部分分别种植不同的花卉，设EB=x , EF=y (单位:当点 F 与点 C 重合时，试确定点 E 的位置；求 y 关于 x 的函数关系式，并确定点 E、F 的位置，使直路 EF 长度最短.CD 都是圆 E 的弦， 且 AB 与 CD 垂直且相交于 坐标原点 O,如图所示，设 AOC 的面积为 S1,设厶 BOD 的面积为 S2；(1)设点 A 的横坐标为 X1,用 X1表示|OA| ;(2) 求证：|OA|?|OB|为定值；(3) 用|OA|、

8、|OB|、|OC|、|OD|表示出 S1+S2,试研究 S1+S2是否有最小值，如果有,求出最小值，并写出此时直线AB 的方程；若没有最小值，请说明理由.23已知非空集合 A 是由一些函数组成，满足如下性质：-1-120.已知数列an中,an+1=-1+3n(n N ),ai=1 ;米)(1)(2)第5页(共 18 页)1对任意 f (X) A , f (x)均存在反函数 f(x)，且 f (x) A ；2对任意 f (x) A，方程 f (x) =x 均有解；3对任意 f (x)、g (x) A，若函数 g (x)为定义在 R 上的一次函数，则 f (g (x) A ；(1 )若 f (x)

9、=丄g (x) =2x - 3 均在集合 A 中，求证：函数 h ( x) = _ (2x- 3) A ；2i(2) 若函数 f (x) =(x 1)在集合 A 中，求实数 a 的取值范围；x+1(3)若集合 A 中的函数均为定义在 R上的一次函数，求证：存在一个实数 xo,使得对一切 f(x) A，均有 f(xo) =xo.第6页(共 18 页)2016 年上海市杨浦区高考数学三模试卷(理科)参考答案与试题解析一.填空题1 .函数 y=log2(x+1)的反函数为y=2x- 1 (x R).【考点】反函数.【分析】由 y=log2(x+1) (x - 1)解得 x=2y- 1,把 x 与 y

10、 互换即可得出.【解答】解：由 y=log2(x+1) ( x- 1)解得 x+1=2y,即 x=2y- 1,把 x 与 y 互换可得：y=2x-1 (x R). y=log2(x+1)的反函数为 y=2x- 1 (x R).故答案为：y=2x- 1 (x R).2.若直线 l1: 2x+my+1=0 与 l2：y=3x - 1 垂直，则实数 m= 6.【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系.【分析】 根据两直线垂直时，一次项对应系数之积的和等于0,解方程求得 m 的值.【解答】 解：直线 H：2x+my+1=0 与 b：y=3x - 1 垂直，即为 3x- y-仁 0.2x3+mx (-1

11、)=0,解得 m=6,故答案为：6 .23.若 2+i (i 虚数单位)是实系数一元二次方程x+px+q=0 的根，则 p+q= 1 .【考点】复数代数形式的混合运算.【分析】 可知 2 - i 也是实系数一元二次方程x2+px+q=0 的根，从而利用韦达定理求得.【解答】 解：T2+i 是实系数一元二次方程 x2+px+q=0 的根， 2 - i 是实系数一元二次方程 x2+px+q=0 的根， 2+i+2 - i= - p, ( 2+i) (2 - i) =q,解得，p= - 4, q=5 ;故 p+q=1 ;故答案为：1.31T【解答】解：Isinx=厂,x（ ，n）,4.已知sinx

12、岭 x (牛n),则行列式sinxSOCK的值等于-【考同角三角函数基本关系的运用.由已知利用同角三角函数基本关系式可求式的值即可得解.【分cosx，进而可求 secx 的值，再计算行列第7页(共 18 页)=sin xsecx+1=（二）+1=一.544 COSX=-“ L.r/-z=-：1,secx=-5cosxsinx -1secs第8页(共 18 页)故答案为2小5.已知 A=x| 1, B=x|log2(x - 1)v1，则 A AB= x| 1vxv2.X【考点】交集及其运算.【分析】求出 A 与 B 中不等式的解集分别确定出A 与 B,找出两集合的交集即可.【解答】解：集合 A

13、中不等式，当 x 0 时，解得：xv2，此时 Ovxv2;当 xv0 时，解得：x 2,无解， A=x| Ovxv2,集合 B 中不等式变形得：Iog2(x- 1)v1=log22，即 0vx- 1v2,解得：1vxv3,即 B=x| 1vxv3,则 A nB=x| 1vxv2,故答案为：x| 1vxv2.6.已知 A 地位于东经 30北纬 45 B 地位于西经 60北纬 45则 A、B 两地的球面距 TT离与地球半径的比值为3一【考点】球面距离及相关计算.【分析】求出球心角，然后 A、B 两点的距离，地的球面距离与地球半径的比值.【解答】 解：地球的半径为 R,在北纬 45而 AB=R，所以

14、 A、B 的球心角为：一,所以两点间的球面距离是：= R,所以 A、B 两地的球面距离与地球半径的比值为7T故答案为：.O 78+85+a+82+69=5X80,解得：a=86, s2= _ ( 78 - 80)2+ (85 - 80)2+ (86 - 80)5则他们成绩的方差等于 38,故答案为：38.Tt&在极坐标系下，点(2,厂)到直线 pcos (求出两点间的球面距离，即可求出7在某次数学测验中， 则他们成绩的方差等于极差、方差与标准差.根据披平均成绩求出 a 的值，根据方差的计算公式求出这组数据的方差即可.解： 5 位学生的成绩如下：5 位学生的成绩如下:38.78、 85、

15、a、82、【考点】【分析】78、85、a、82、69,他们的平均成绩为 80,2+ (82 - 80)2+ (69 - 80)2 =38,e-) =1 的距离为第9页（共 18 页）【考点】简单曲线的极坐标方程.【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式即可得出.【解答】 解：直线 pcos（ 0-） =1 化为：二 d . - 一 +-:. =1 ,即 x - *：-y+2=0 .点 P （2,）化为 P .,点 P 到直线的距离 d=1 .2故答案为：1.9.若（x+）n（ n N*）展开式中各项系数的和等于 64,则展开式中 x3的系数是 15 .【考点】二项式系数的性

16、质.【分析】令 x=1，则（x+ ）n（n N*）展开式中各项系数的和 =2n=64，解得 n.再利用 二项式定理的通项公式即可得出.【解答】解：令 x=1，则（x+ I ）n（ n N*）展开式中各项系数的和为：2n=64，解得 n=6 . |I*的展开式的通项公式 Tr+1=i 八 一亠=|；L令二-斗- -=3，解得 r=2 .展开式中 x3的系数为：:=15 .故答案为：15.【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率.【分析】利用间接法，先求从 9 个数中任取 3 个数的取法，再求三个数分别位于三行或三列 的情况，即可求得结论.【解答】解：从 9 个数中任取 3 个数共有 C93=

17、84 种取法，1取出的三个数，使它们不同行且不同列：从第一行中任取一个数有C3=3 种方法，则第二行只能从另外两列中的两个数任取一个有C21=2 种方法，第三行只能从剩下的一列中取即可有1 中方法，10.三阶矩阵a2la22a23 中有 9 个不同的数 aij(i=1 , 2, 3; j=1 , 2, 3),从中任取三个，则至少有两个数位于同行或同列的概率是23药一（结果用分数表示）a12第10页(共 18 页)共有 3X2=6 种方法三个数分别位于三行或三列的情况有6 种;所求的概率为84 6 _ 1384 F第11页（共 18 页）故答案为：称，贝U 0的最小值为_.【考点】函数 y=As

18、in (wx+0)的图象变换.【分析】由 y=Asin (必+0)的图象变换规律，结合正弦函数、余弦函数的图象的对称性可 得0+从而求得0的最小值.根据所得到的图象关于 y 轴对称，可得-可得0的最小值为一, 故答案为:a - b12.若两整数 a、b 除以同一个整数 m,所得余数相同，即 - =k (k Z),则称 a、b 对模 m 同余，用符号 a= b (mod m)表示，若 a= 10 (mod 6) (a 10),满足条件的 a 由小到 大依次记为a1, a2-an,，则数列an的前 16 项和为 976.【考点】整除的定义.【分析】由两数同余的定义， m 是一个正整数，对两个正整数

19、 a、b,若 a-b 是 m 的倍数， 则称 a、b 模 m 同余，我们易得若 a= 10( mod 6)(a 10)，则 a- 10 为 6 的整数倍，则 a=6n+10, 再根据等差数列 an的前 n 项公式计算即可得答案.【解答】解：由两数同余的定义，m 是一个正整数，对两个正整数a、b，若 a- b 是 m 的倍数，则称 a、b 模 m 同余，我们易得若 a= 10 (mod 6) (a 10),则 a- 10 为 6 的整数倍，则 a=6n+10,故 a=16, 22, 28,均满足条件.由等差数列 an的前 n 项公式 宀厶 一一-：16X(16- 1)则I=976.故答案为：97

20、6.13已知双曲线-丄_=1 （a N*）的两个焦点为Fi, F2, P 为该双曲线上一点，满足/42 211.若函数y=cos (x+：)的图象向右平移0个单位(00),所得到的图象关于 y 轴对【解解：把函数4Hy=cos(x+)的图象向右平移0个单位(00),可得 y=cos (x -00+的图象;=knk z.第12页(共 18 页)IF1F2I =|PFI|?|PF2| , P 到坐标原点 0 的距离为 d,且 5vdv9,贝卩 a =1 或 4.【考点】双曲线的简单性质.【分析】求得双曲线的 b, c,设 P 为右支上一点，| Ph|=m, |PF2| =n，运用双曲线的定义， 结

21、合条件，由两点的距离公式，解不等式可得a 的正整数解.【解答】 解：双曲线 r-二=1 的 b=2 , c2=a2+4,a24设 p 为右支上一点，|PFi|=m, | PF2| =n,由双曲线的定义可得 m - n=2a,2由题意可得 4c =mn ,222m +n =d ,可得（m- n）2+2mn=4a2+8c2=d2（ 25 , 81）,即 25v12a2+32v81,即为 a2v工,由 a 为正整数，可得 a=1, 2 ,12故答案为：1 或 4.14.如图，已知 AB 丄 AC, AB=3 , AC=，圆 A 是以 A 为圆心半径为 1 的圆，圆 B 是以B 为圆心的圆.设点 P,

22、 Q 分别为圆 A ,圆 B 上的动点，且：=,.,贝 U .-?的取值范围是-1, 11【考点】平面向量数量积的运算.【分析】设/ QBA=0,则/ PAC=90 +0,从而有 =:-：.，=-，通过计算求 出即可.【解答】 解：设/ QBA=0则/ PAC=90匸：,=-？ L：（：-：）?0 !） -4-*-*-*-*?丨 +厂7T厂兀厂 厂=2-乂 Feos+0)+3cos( n- 0) - VE?2?cos (三 +0)WS?2V5?cos-r=5+3 . sin0-3cos07T=5+6sin( 0-.),b/-1wsin(o-)CF时，EF=二-二:-.11当BEvCF时，EF=

23、.,化简均为 y=EF=27.;j -吋疋一5x+戈5, 0 x10综上所述，打店+弩侦,10 x 10T5_,故当点 E 距点 B2.5m，点 F 距点 C7.5m 时，EF 最短，其长度为 5 二.2 222已知圆 E: (x- 1)2+y2=4，线段 AB、CD 都是圆 E 的弦，且 AB 与 CD 垂直且相交于 坐标原点 O,如图所示，设 AOC 的面积为 S1,设厶 BOD 的面积为 S2；(1) 设点 A 的横坐标为 旳，用 X1表示| OA| ;(2) 求证：|OA|?|OB|为定值；(3)用|OA|、|OB|、|OC|、|OD|表示出+S2，试研究是否有最小值，如果有，求出最小

24、值，并写出此时直线AB 的方程；若没有最小值，请说明理由.【考点】圆方程的综合应用.第21页(共 18 页)【分析】(1)利用距离公式，即可用 X1表示| OA| ;第22页(共 18 页)(2) 分类讨论，计算|OA|?|OB|，即可证明|OA|?|OB|为定值；(3) 由(2)得| 0A|?|0B|=3，同理|0C| OD| =3，禾 U 用基本不等式，即可得出结论.【解答】(1)解：设 A ( xi， yi)，代入圆 E： ( x - 1)2+y2=4，得 yi2=-XI2+2XI+3,(2) 证明：设 B (X2, y2),同理可得| 0B| =二.：,/ | OA | ?| OB |

25、 = - 、- - - - :-:2xiMX2,设直线 AB 的方程为 y=kx，代入圆的方程得(k+1) x2- 2x - 3=0,23x1+x2=, X1X2=-,-I代入可得|0A| ?| 0B| =3,X1=X2， 直线过原点， 直线 AB 的方程为 x=0， 即 X1=X2=O,代入可得|OA|?|OB|=3 , 综上所述， | OA | ?|OB | =3 为定值；(3) 解：由(2)得 |OA|?|OB|=3，同理 |OC| OD| =3-S1+S2=,： (|OA| OC|+| OB| OD| )r；f| j：=3，当且仅当| OA| OC| =|OB| OD| 时取等号，此时

26、，S1+S2最小值为 3,直线 AB 的方程为 y= X.23已知非空集合 A 是由一些函数组成，满足如下性质：-1 11对任意 f (x ) A , f (x)均存在反函数 f(X)，且 f (x) A ；2对任意 f (x ) A，方程 f (x) =x 均有解；3对任意 f (x)、g (x) A，若函数 g (x)为定义在 R 上的一次函数，则 f (g (x) A ； A ；2(2) 若函数 f (x) = : _(x 1)在集合 A 中，求实数 a 的取值范围；x+1(3) 若集合 A 中的函数均为定义在 R 上的一次函数，求证： 存在一个实数 x0,使得对一切f (x) A，均有

27、 f (X0) =x0.【考点】反函数；函数解析式的求解及常用方法.0，使得_ =X0，由 g (x) =2x - 3 A，且为一次函数，根据性质 即可证明.22(2)由性质，方程_=x (x 1) ,即卩 a=x 在 x 1, +8)上有解，可得 a 1.变形K+12if (X) = =X+1+r - 2 , (X 1, +8).对 -与 2 的关系分类讨论，利用基本不 x+1龙十丄等式的性质即可得出.(1 )若 f (x). , g (x) =2x - 3 均在集合 A 中，求证：函数h ( x) = 亠(2x- 3)2【分(1)由 f (X) A，根据性质可得:f-1(X) =A，且存在X0(3)任取 fi(x) =ax+b, f2(x) =cx+d A，由性质(1) a,CM0,不妨设 a,CM1,(若a=1，贝 V b=0, fi(x) =x),由性质 函数 g (x) =fi(f2(x) =acx+ (ad+b) A，函数 h(x) =f