数列的递推公式

1、 如果已知数列的第如果已知数列的第1项项(或前几项或前几项)，且从第，且从第2项项(或某一项或某一项)开始的任一项开始的任一项an与它的前一项与它的前一项an1(或前几项或前几项)间的关系可以用一个公式表示，间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫做这个数列的那么这个公式就叫做这个数列的递推公式递推公式，递推公式也是给出数列的一种方法。递推公式也是给出数列的一种方法。数列的递推公式数列的递推公式 a1=a， an=f(an1)，(n=2，3，4，)例例1已知数列已知数列an的第的第1项是项是2，以后各项由公，以后各项由公式式 给出，写出这个数列的前给出，写出这个数列的前5项项.111nnn

2、aaa解：解：a1=2， 2221 2a 3221 ( 2)3a 4223251 ()3a 5225271 ()5a 例例2. 已知直线已知直线l：y=x与曲线与曲线c： （如图所（如图所示），过曲线示），过曲线c上横坐标为上横坐标为1的一点的一点P1作作x轴的平行轴的平行线交线交l于于Q2，过，过Q2作作x轴的垂线交曲线轴的垂线交曲线c于于P2，再过，再过P2作作x轴的平行线交轴的平行线交l于于Q3，过，过Q3作作x轴的垂线交曲轴的垂线交曲线线c于于P3，设点，设点P1，P2，Pn，的纵坐的纵坐标分别为标分别为a1，a2，an，试求数列，试求数列an的递的递推公式。推公式。1( )2xy 解

3、：由题意，点解：由题意，点P1的横坐标为的横坐标为1，纵坐标为，纵坐标为a1= ，21 点点Qn+1与与Pn的纵坐标相同，都是的纵坐标相同，都是an，同时点同时点Pn+1与与Qn+1的横坐标相等，的横坐标相等， 点点Pn+1在曲线在曲线c： 上，上， 1( )2xy 由横坐标得它的纵坐标为由横坐标得它的纵坐标为 1( )2na即即11( )2nana这就是数列这就是数列an的递推公式。的递推公式。例例3. 根据下列各个数列根据下列各个数列an的首项及其递推公的首项及其递推公式，写出数列的前式，写出数列的前5项，并归纳出通项公式：项，并归纳出通项公式： （1）a1=0，an+1=an+(2n1)

4、，nN+； （2）a1=1， , nN+；122nnnaaa解：（解：（1）因为）因为a1=0，an+1=an+(2n1)，nN+；所以，所以， a2=1 ， a3=4， a4=9， a5=16 ， 归纳出它的通项公式是归纳出它的通项公式是an=(n1)2 。（2）a1=1， , nN+；122nnnaaa解解:1212223aaa2322122aaa3432225aaa4542123aaa归纳出它的通项公式是归纳出它的通项公式是21nan已知递推公式，用累加法求通项公式已知递推公式，用累加法求通项公式例2：已知在数列an中，a15，anan13(n2)，求数列an的通项公式思维突破：先对an

5、an13 从2 到n 进行取值，得到n1 个式子，再把这n1 个式子相加，消去中间项自主解答：由递推关系 anan13(n2)，得a2a13，a3a23，an1an23，anan13.将以上(n1)个式子左右两边同时相加，得a2a3an1ana13a23a33an13，消去a2a3an1，并整理，得ana13(n1)a15，an3n2.已知递推公式，用累乘法求通项公式已知递推公式，用累乘法求通项公式例3：已知a12，an12an，求an.思维突破：对an12an从 1 到n1 进行取值，得到n1个式子，再把这 n1 个式子相乘，消去中间项返回目录返回目录 1. 1.如何理解数列的递推公式如何理

6、解数列的递推公式? ?（1 1）递推公式是给出数列的一种重要形式，并不是）递推公式是给出数列的一种重要形式，并不是所有的数列都有递推公式，递推公式可用于求数列中的所有的数列都有递推公式，递推公式可用于求数列中的各项各项. .（2 2）递推公式与通项公式的区别与联系：）递推公式与通项公式的区别与联系：类别类别不同点不同点相同点相同点通项公式通项公式给出给出n n的值，可求出数列的值，可求出数列中的第中的第n n项项a an n可确定一个数列，求出可确定一个数列，求出数列中的任意一项数列中的任意一项递推公式递推公式由前一项（或前几项）由前一项（或前几项）的值，通过一次（或多的值，通过一次（或多次）运算，逐项求出第次）运算，逐项求出第n n项项a an n返回目录返回目录（3 3）这样的公式不是递推公式这样的公式不是递推公式. .因为数列因为数列 b bn n 是由数列是由数列 a an n 中的项，通过公式中的项，通过公式构造出来构造出来的，不是由数列的，不是由数列 b bn n 中的项经过递推构造出来的中的项经过递推构造出来的. .如果改如果改成成并给出数列并给出数列 b bn n 的第的第1 1项，第项，第2 2项，那么就是递项，那么就是递推公式了推