平行四边形全章复习与巩固提高知识讲解

1、并能运用这四边形平行四边彫正一个対是直角西组时边/四边形孚行四边形矩形一组邻边相等菱形一个角是.直角正方形平行四边形全章复习与巩固(提高)责编：杜少波【学习目标】1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，了解它们之间的关系2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法些知识进行有关的证明和计算3. 掌握三角形中位线定理【知识网络】1 组邻边相等【要点梳理】要点一、平行四边形1 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形ADB2 性质：(1)对边平行且相等；(2) 对角相等；邻角互补；(3) 对角线互相平分；(4) 中心对称图形.3 .面积：S平行四边形二底咼4.

2、 判定：边：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2 )两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.角：(4 )两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(5) 任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形.边与角：(6) 组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形;对角线：(7)对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：平行线的性质：(1) 平行线间的距离都相等；(2) 等底等高的平行四边形面积相等 .要点二、矩形1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.性质：(1) 具有平行四边形的所有性质;(2) 四个角都是直角；(3) 对角线互相

3、平分且相等；(4) 中心对称图形，轴对称图形3.面积：S矩形=长宽4 判定：(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形(2) 对角线相等的平行四边形是矩形 .(3) 有三个角是直角的四边形是矩形 .要点诠释：由矩形得直角三角形的性质：(1 )直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；(2)直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半. 要点三、菱形1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2性质：(1)具有平行四边形的一切性质；(2)四条边相等；(3)两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角;(4)中心对称图形，轴对称图形3.面积:s菱形=底咼=对角线对角线4判定：(1) 一组邻

4、边相等的平行四边形是菱形；(2) 对角线互相垂直的平行四边形是菱形；(3) 四边相等的四边形是菱形 .要点四、正方形1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形2. 性质：(1)对边平行；(2)四个角都是直角；(3 )四条边都相等；(4) 对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；(5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形;(6) 中心对称图形，轴对称图形 .xC13面积：S正方形二边长x边长=x对角线x对角线 24.判定：(1)有一个角是直角的菱形是正方形；(2) 一组邻边相等的矩形是正方形；(3) 对角线相等的菱形是正方形；(4) 对角线互相垂直的矩形是正方形；(

5、5) 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；(6) 四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形【典型例题】类型一、平行四边形IF 1、（2015?海淀区二模）如图 1,在厶ABC中，AB=AC / ABC=a, D是BC边上一点, 以 AD为边作 ADE 使 AE=AD / DAEk BAC=180 .（1）直接写出/ ADE的度数（用含 a的式子表示）；（2）以AB AE为边作平行四边形 ABFE如图2，若点F恰好落在 DE上，求证：BD=CD如图3，若点F恰好落在BC上，求证：BD=CF圏1圏2郅【思路点拨】（1）由在 ABC中，AB=AC / ABC=a ,可求得/ BAC=180

6、 - 2 a ,又由AE=AD / DAEk BAC=180，可求得/ DAE=2 a，继而求得/ ADE的度数；（2）由四边形 ABFE是平行四边形，易得/ EDCk ABC= a ,则可得k ADCk ADEk EDC=90 , 证得ADLBC 又由AB=AC根据三线合一的性质，即可证得结论；由在 ABC中，AB=ACk ABC=a，可得k B=k C= a，四边形ABFE是平行四边形，可得AE/ BF,AE=BF即可证得：/ EACk C= a ,又由（1）可证得 AD=CD又由AD=AE=BF证得结论.【答案与解析】解：（1 ）在 ABC 中，AB=ACk ABC=a ,k BAC=1

7、80 - 2 a , k DAEk BAC=180 , k DAE=2a ,/ AE=AD k ADE=90 - a ;（2 证明：四边形 ABFE是平行四边形, AB/ EF. k EDCk ABC=a ,由（1）知，k ADE=90 - a , k ADCk ADEk EDC=90 , ADL BC/ AB=ACBD=CD证明： AB=ACk ABC= a , k C=k B= a . 四边形ABFE是平行四边形， AE/ BF, AE=BF k EACk C= a ,由（1）知，k DAE=2a , k DAC=a , k DACk C.AD=CD/ AD=AE=BF BF=CD BD=

8、CF【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的性质与判定.注意(2) 中证得ADL BC是关键，(2)中证得 AD=CD是关键.举一反三：【变式】已知 ABC中，AB= 3, AC= 4, BC= 5,分别以 AB AC BC为一边在 BC边同侧作 正厶ABD正厶ACE和正厶BCF求以A、E、F、D四点为顶点围成的四边形的面积.F证明： AB = 3, AC= 4, BC= 5,F/ BAC= 90°/ ABD ACED BCF为正三角形， AB= BD= AD, AC= AE= CE, BC= BF= FC , / 1 + Z FBA=Z 2+Z FBA= 60&

9、#176;/ 1 = Z 2易证 BACA BDF (SAS ,DF= AC= AE= 4,Z BDF= 90°同理可证厶BACA FECAB= AD= EF= 3四边形AEFD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)/ DF/ AE, DFL BD延长EA交BD于H点，AH丄BD贝U H为BD中点3平行四边形 AEFD的面积=DFX DH= 4X = 6.2类型二、矩形 2、如图，0是矩形ABCD勺对角线的交点，E、F、G H分别是OA OB OC 0D上的点,且 AE= BF= CG= DH(1) 求证：四边形 EFGH是矩形；(2) 若E、F、G H分别是 OA O

10、B OC 0D的中点，且 DGL AC 0F= 2 cm，求矩形 ABCD的面积.【答案与解析】(1)证明：四边形 ABCD是矩形,/. OA= 0B= OCf= OD/ AB BF= CG= DH AO- AE= OB- BF= CO- CG= DO- DH 即：OB OF= OG= OH(2)解：TG是OC勺中点,四边形EFGH是矩形； GO= GC / DGL AC / DG&/ DGC= 90°,又 DG= DG DGC DGO CD= ODF 是 BO中点，OF= 2 cm , BO= 4 cm , 四边形ABCD是矩形， DO= BO= 4 cm , DC= 4

11、cm , DB= 8 cm , CB= DB2 -DC4、3 ,矩形 ABCD的面积=4x 4 .3 =16、3cm2 .【总结升华】 本题主要考查矩形的判定，首先要判定四边形是平行四边形，然后证明对角线相等.举一反三：【变式】(2016春?宜昌校级期中)如图，平行四边形ABCD中 P是AD上一点，E为BP上一点，且 AE=BE=EP(1) 求证：四边形 ABCD是矩形；(2) 过 E作 EF丄 BP于 E,交 BC于 F,若 BP=BC Sbef=5, CD=4 求 CF.【答案】(1)证明：AE=BE=EP / EAB=Z EBA / EAD玄 EPA/ ABE+Z EAB+Z EAP+Z

12、 APE=180 , 2/ EAB+2/ EAP=180 , / EAB+Z EAP=90° , Z BAD=90°,平行四边形ABCD四边形ABCD为矩形；(2)解：如图连接 PF,作PM丄BC于M EN丄BC于N,D四边形ABCD为矩形，/ C=Z D=Z PMC=O°,四边形PMC为矩形，同理四边形 ABMF为矩形, PM=CD=4 / PMCM PMF=90 ,/ BE=EP EN/ PM BN=NM1 ENj PM=221 BF- EN=52 BF=5,/ EF± BP, BE=EP PF=BF=5 FM=3 AP=BM=8 BC=BP=4、5

13、 , CF=BC-BF=4,5-5 . 3、在 Rt ABC 中，/ ACB=90 , BC=4 过点 A 作 AE! AB 且 AB=AE过点 E 分别作 EF± ACED£ BC分别交 AC和BC的延长线与点 F，D.若FC=5求四边形 ABDE的周长.【思路点拨】 首先证明厶ABCA EAF,即可得出 长，进而得出四边形 EFCD是矩形，求出四边形【答案与解析】解：/ ACB=90 , AE!AB / 1+Z B=Z 1+Z 2=90°. / B=Z2./ EF! AC / 4=Z 5=90°. / 3=Z4.BC=AF AC=EF再利用勾股定理得

14、出 AB的 ABDE的周长即可.在厶ABC和厶EAF中，.3 二/4II /2=：/B ,AB =AE ABCA EAF( AAS . BC=AF AC=EF/ BC=4 AF=4/ FC=5 AC=EF=9在 Rt ABC 中， AB= CB2 AC2 二.42 92 97 . AE= . 97 ./ EDL BC / 7=/ 6=/ 5=90°.四边形EFCD是矩形. CD=EF=9 ED=FC=5四边形 ABDE的周长=AB+BD+DE+EA=97 +4+9+5+、97 =18+2、, 97 .【总结升华】此题主要考查了全等三角形的判定以及矩形的判定与性质和勾股定理等知识， 根

15、据已知得出AC=EF=9是解题关键.类型三、菱形©4、如图，平行四边形 ABCD中, AB丄AC AB= 1 , BC= J5 .对角线AC BD相交于点O,将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交 BC, AD于点E, F.(1) 证明：当旋转角为 90°时，四边形 ABEF是平行四边形；(2) 试说明在旋转过程中，线段 AF与EC总保持相等；(3) 在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能， 说明理由并求出此时 AC绕点O顺时针旋转的度数.【思路点拨】(1)当旋转角为90°时，/ AOF=90，由 AB丄AC可得AB/ EF,即可证明四

16、边形ABEF为平行四边形；(2)证明 AOFA COE即可；(3)当EFL BD时，四边形BEDF为菱形，又由AB丄AC AB=1, BC=s/5 ,易求得OA=AB即可得/ AOB=45 ,求得/ AOF=45 ,则可得此时AC绕点O顺时针旋转的最小度数为 45°.【答案与解析】(1)证明：当/ AOF= 90° 时，AB/ EF,又 AF/ BE,四边形ABEF为平行四边形.(2) 证明：丫四边形ABCD为平行四边形， AO= CQ / FAO=Z ECQ / AOF=Z COE. AOFA COE AF= CE(3) 四边形BEDF可以是菱形.理由：如图，连接 BF,

17、 DE由(2)知厶 AOFA COE 得 OE= OF, EF与BD互相平分.当EF丄BD时，四边形BEDF为菱形.在 Rt ABC中，AC 二.口 =2 , OA= 1 = AB,又 AB丄 AC,AOB= 45° , / AOF= 45 ° , AC绕点O顺时针旋转45°时，四边形BEDF为菱形.【总结升华】 要证明四边形是菱形， 先证明这个四边形是平行四边形，再利用对角线互相垂直的特征证明该平行四边形是菱形.举一反三：【变式】已知：如图所示，BD> ABC的角平分线,EF是BD的垂直平分线,且交 AB于E , 交BC于点F.求证：四边形BFDE是菱形【

18、答案】 证明： EF是BD的垂直平分线, EB=ED / EBD2 EDB.又/ EBD= / FBD, / FBD玄 EDB ED/ BF.同理,DF/ BE,四边形BFDE是平行四边形又 EB=ED四边形BFDE是菱形5、在口 ABCD中 ,对角线AC BD相交于点 O, BD=2AB点E、F分别是OA BC的中点.连 接 BE、EF.图(1)求证：EF=BF;在上述条件下，若EBFG的形状，并证明你的结论.(2)边形【思路点拨】(1)根据平行四边形性质推出 BD=2B0推出AB=B0根据三线合一定理得出 BE! AC在厶BEC 中，根据直角三角形斜边上中线性质求出EF=BF=CF即可；A

19、C=BD G是BD上一点，且 BG: GD=3 1，连接EG FQ 试判断四(2)根据矩形性质和已知求出 G为0D中点,1根据三角形中位线求出 EG/ AD EGBC,求21出 EG/ BC EG= BC,求出 BF=EG BF/ EG2EG=GF得出平行四边形，根据菱形的判定推出即可.【答案与解析】(1) 证明：四边形 ABCD是平行四边形， BD=2B0/ BD=2AB AB=BOE为0A中点， BE! AC/ BEC=90 ,F为BC中点， EF=BF=CF 即 EF=BF；(2) 四边形EBFG是菱形， 证明：连接CG 四边形ABCD是平行四边形，四边形ABCD是矩形， AD=BC A

20、B=CD AD/ BC BD=2B0=20, BD=2AB=2CD 0C=CD/ BG GD=3 1, 0B=0DG为0D中点， CGL 0D (三线合一定理)，即/ CGB=90 ,F为BC中点，1 1 GF= BC= AD,2 2 E为0A中点，G为0D中点，图AC=BD EG/ AD EG=AD,21 EG/ BC EG=_ BC,2F为BC中点，1 BF=_BC, EG=G F2即 EG/ BF, EG=BF四边形EBFG是平行四边形,/ EG=GF平行四边形EBFG是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).【总结升华】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形性质，菱形性质，三角形的中

21、位线,直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形的性质等知识点，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，注意：直角三角形斜边上中线等于斜边的一半.类型四、正方形、正方形 ABCD勺边长为3, E、F分别是 AB BC边上的点，且/ EDF= 45.将 DAE绕点D逆时针旋转90 °,得到 DCM(1) 求证：EF= FM(2) 当AE= 1时，求EF的长.【答案与解析】解：(1)证明：DAE逆时针旋转90°得到 DCM DE= DM / EDIM= 90°, / EDFZ FDM= 90°,/ EDF= 45°, / FDM=Z EDF= 45°,在厶DEF和ADMF中，DE 二 DM,EDF =NMDFDF =DF DEFA DMF( SAS