平面向量知识点归纳

1、第一章平面向量2.1向量的基本概念和基本运算16、向量：既有大小，又有方向的量. 有向线段的三要素：起点、方向、长度. 单位向量：长度等于i个单位的向量.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量：长度相等且方向相同的向量.17、向量加法运算： 三角形法则的特点：首尾相连. 平行四边形法则的特点：共起点.数量：只有大小，没有方向的量. 零向量：长度为0的向量.三角形不等式:< a b <ia b运算性质：交换律：a b a ；AB+BC=AC结合律：a，bLc a亠ib，c :a 0 = 40 aa坐标运算：设a =Xi,yi, b =X2,y

2、2，贝Ua b 二X2,yiy2.i8、向量减法运算：三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量.坐标运算：设 a = x1,y1 , b = x2,y2，则a -b=Xi - X2, yi - y2.设-二、三两点的坐标分别为x, yi,x2, y2，则为 X2yi y2I9、向量数乘运算：实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作九a =i川a ；积是当二3-0时，a的方向与a的方向相同；当/ :, 0时，a的方向与a的方向相反；当运算律：，,ya = J a :亠ja =，a h._：a : / a b = a "b .坐标运算：设 a二x,y，贝U，a二，x

3、, y二 x, y .20、向量共线定理：向量 a a = 0与b共线，当且仅当有唯个实数 ，使b二a .设 a 二 N，% , b hX2,y2，其中 b = 0，则当且仅当 xy? -X2yi =0 时，向量 a、b b = 0共线.2.2平面向量的基本定理及坐标表示2i、平面向量基本定理：如果ei、e是同一平面内 的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数 人、九2，使a = e +）2Q .（不共线的向量 e、e：作为这一平面内所有向量的一组基底）22、分点坐标公式：设点P是线段？1?2上的一点，?1、？2的坐标分别是 X,% , x2,y2 , 当即目时，点m

4、的坐标是.，= （当时'就为中点公式。2.3平面向量的数量积23、平面向量的数量积（两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。）： a b=dibcos日（扌式0,爲0,01 日 <180 ）零向量与任一向量的数量积为 0 性质：设a和b都是非零向量，则a _a b=o 当a与b同向时, aaib ；当a与b反向时，a b=曲点；a a=a2 =忖2或a=5/a才.a b兰間臨.一.斗.片44耳.呻斗寸#运算律：a b= b a : a ba b = a b: a bc a c b c.一、-、4彳 T坐标运算：设两个非零向量 a = Xi,% , b= x2,y2 , 则 a

5、 b = x, x2 + y, y2.若分=(x,y )，则 a? =x2 +y2，或自=Jx2 +y2 .设 2 = (X1,% ), b = (%,y2 )，则呻彳ab= x%+yy2=0.设a、b都是非零向量，：.：x1,y1b = x2, y2，二是a与b的夹角，则COSTX1X2yy知识链接：空间向量空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳.1、直线的方向向量和平面的法向量.TT若A、B是直线l上的任意两点，则AB为直线I的一个方向向量；与AB平行的任意非 零向量也是直线I的方向向量.平面的法向量：4斗呻若向量n所在直线垂直

6、于平面:-,则称这个向量垂直于平面:-,记作n _，如果n _ ：-,4那么向量n叫做平面二的法向量.平面的法向量的求法（待定系数法）： 建立适当的坐标系.设平面二的法向量为n =（x, y,z）.求出平面内两个不共线向量的坐标a =(a,a2,a3), b = (Dbg) H -I n , 根据法向量定义建立方程组 4 :n上=0=0 解方程组，取其中一组解，即得平面1、用向量方法判定空间中的平行关系线线平行设直线li,l2的方向向量分别是 a、b，则要证明li / I2，只需证明a / b，即a=kb（kR）.即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线。线面平行4*（法一）设直线l的方向向量

7、是a，平面的法向量是u，则要证明I / ：,只需证明a_u，即 au=0.即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可.面面平行IIIII444 444若平面:-的法向量为U ,平面-的法向量为V ,要证/：,只需证U / V ,即证u - ' V .即：两平面平行或重合两平面的法向量共线。3、用向量方法判定空间的垂直关系线线垂直I 4斗 斗 呻呻设直线Ii,l2的方向向量分别是 a、b，则要证明hJ，只需证明a b，即ab = 0. 即：两直线垂直两直线的方向向量垂直

8、。线面垂直III444 （法一）设直线I的方向向量是a，平面的法向量是u，则要证明I _，只需证明a4 网* / u，即 a = u.一 TT T （法二）设直线I的方向向量是a，平面内的两个相交向量分别为 m、n,若I1a m = 0 ,则 I _a n = 0即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直。面面垂直若平面:-的法向量为u ,平面1的法向量为V ,要证： 一：，只需证u _ V ,即证u 7=0.即：两平面垂直 =:两平面的法向量垂直。4、利用向量求空间角求异面直线所成的角已知a,b为两异面直线，A，C与B，D分别是a,

9、b上的任意两点，a,b所成的角为IAC.BS!贝U cosT = 耳士.AC BD求直线和平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的 角.求法：设直线I的方向向量为a,平面的法向量为u,直线与平面所成的角为 二,a与u的夹角为则二为'的余角或的补角的余角即有:=cos®'U-求二面角定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分， 其中的每一部分叫做半平面；从一条直 线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角， 这条直线叫做二面角的棱， 每个半平面叫做 二面角的面+面角的平面角是指在二面角二-I的棱上任取一点 O,分别在两个半平面

10、内作射-I -:的平面角求法：设二面角：-1 - 一：的两个半平面的法向量分别为 m、n ,再设m、n的夹角为:，.面角-I -:的平面角为二，则二面角二为m、n的夹角或其补角二-根据具体图形确定 -是锐角或是钝角:如果日是锐角，则cos日=cos申m nm，叫 即 v - arccos卜rlln!如果日是钝角，则COS0=_m n即 v - arccos5、利用法向量求空间距离点Q到直线I距离若Q为直线I外的一点，P在直线I 上, a为直线I的方向向量, h話亦F呻 Hb = PQ，则点Q到直线I距离为点A到平面:-的距离若点P为平面外一点，点M为平面:-内任一点，平面的法向量为n,则P到平

11、面的距离就等于 MP在法向量n方向上的投影的绝对值n MP直线a与平面之间的距离由此可知，直线到平面当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。n MPJ|Win即d两平行平面:-,-之间的距离利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。异面直线间的距离!4设向量n与两异面直线 a,b都垂直，M a,Pb,则两异面直线 a,b间的距离d就是44nMP在向量n方向上投影的绝对值。6、三垂线定理及其逆定理三垂线定理：在平面内的一条直线， 如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直

12、.推理模式：PA0：二 A= a_ PA -a u o ,a 丄 OA概括为：垂直于射影就垂直于斜线三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直推理模式：PAR ：二 A= a _ A0au a, a 丄 AP概括为：垂直于斜线就垂直于射影7、三余弦定理设AC是平面:-内的任一条直线，AD是的一条斜线 AB在内的射影，且BD丄AD,垂 足为D.设AB与:(AD)所成的角为“，AD与AC所成的角为 6，AB与AC所成的角为二.则COS V - cos-1 co2 .8、面积射影定理已知平面1内一个多边形的面积为S S原，它在平面:-内的射影图

13、形的面积为S S射 ，平面:-与平面一：所成的二面角的大小为锐二面角V，则a Ss射cos =.s s原9、一个结论长度为I的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为|2、l3，夹角分别为2 2 2 2 2 2 2R、 二2、d3,则有Il2 I3=COS 刁 COSR COSd3=12 2 2二 sin 刁 sin n sin =2.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）基础练习一 选择题1. 如图，点 0是正六边形 ABCDEF的中心，则以图中点 A, B, C, D, E, F , O中 的任意一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线的向量共有（）A

14、 . 6个B . 7个C. 8个D . 9个解析：选D.与向量共线的向量有，共 9个，故选D.2. 设不共线的两个非零向量ei, e2,且k（ei+ e2）/ （ei+ ke2）,则实数k的值为（）A . 1B. - 1C. ±D . 0答案：A3. 已知向量是不共线向量ei,勺，给出下列各组向量：1a = 2e-|, b= e-i + 勺； a= 2e1 e2, b = e1 + 2e2;a = er + e?, b = 2e1 2e?: a= e1 + e?, b = e1 e?.其中共线的向量组共有（）A . 1个B. 2个C . 3个D . 4个答案：B4. 已知E、F分别为

15、四边形 ABCD的边CD、BC边上的中点，设=a,="则=（）1 1A. 2（a + b）B . a + b）1C*2（a b）D*2（b a）答案：B5 .下列计算正确的有（）（7） >6a = 42a: a 2b + （2a + 2b）= 3a; a + b （a + b） = 0.A . 0个B . 1个C . 2个D. 3个解析：对，对，错，因为a+ b(a+ b) = 0.答案：C1 化简+所得结果是()A. B.C. 0D.答案：C2 在ABC 中，1,则 |的值为()A. 0B. 1C.,3D. 2答案：B3 .已知向量a / b,且|a|>|b|>0

16、，则向量a + b的方向()A .与向量a方向相同B .与向量a方向相反C.与向量b方向相同D .与向量b方向相反答案：A4.在平行四边形 ABCD中，对角线 AC与BD交于点0,+=入贝U冶答案：25向量(+ )+ (+ ) +等于()A.B.C.D.解析：(+ ) + (+ ) + = (+ )+ (+ )+ = + + = 故选 C.答案：C1. 如果ei、e2是平面a内所有向量的一组基底，那么()A .若实数入、b使入e+ >2e2= 0,贝V入=&= 0B .空间任一向量 a可以表示为a=为e1+ be2，这里 入、b是实数C.对实数b、b, be1 + be2不一定在

17、平面 a内D .对平面a中的任一向量a，使a = be+ be2的实数b、b有无数对答案： A2. 如果3ei + 4e2 = a,2ei+ 3良=b,其中a, b为已知向量，则ei=,良=答案：ei = 3a 4b e2= 2a + 3b3. 设ei, e2是平面内一组基底，如果=3ei 2勺，=4ei +勺，=8ei 9勺，则共线的二点是 （A . A、B、CB. B、 C、DC. A、B、DD. A、 C、D答案： C4设ei,e2是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（）A . e1 e2 和 e1 e2B. 3ei 2e2 和 4e2 6eiC. ei+ 2e

18、2 和 e2+ 2eiD e2 和 e1 e2解析：t 4e2 6ei = 2(3ei 2勺)， 3ei 2e2 与 4e? 6ei 共线，故选 B.答案： B1.若=（2，3），且点A的坐标为（1,2），则点B的坐标为（A. (1,1)答案： C2.已知平行四边形A. (1,1)OABC（O 为原点），=（2,0），= （3,1），则 OC 等于（B. (1， 1)C. (1，1)D. (1,1)解析： = (3,1)(2,0)=(1,1)，故选 A.答案： A3若向量 a = (1,1), b= (1, - 1), c= (1,2)，则 c 等于()13A 2a + qb31C. qa q

19、bB. a |b31D |a + |b答案：B1若 a= (2,3), b= (4, 1+ y),且 a/ b,则 y=()A 6B 5C 7D 8答案：C2.已知点M是线段AB上的一点，点P是平面上任意一点,3232c.2D2解析：用，表示向量,2 - +5十5,=+=+=35 5,3 + 2 十一 3 +5523.答案：D1.若向量a、b满足|a|=|b|= 1, a与b的夹角为60 °贝U aa十ab等于（）B.f1A.221.a = ( 4, 3), b= (5, 6)，贝U 3|a| 4a b 等于()A. 23B. 57C. 63D. 83解析：选 D. / |a|=(

20、4) 2 + 32= 5, a b= 4X5+ 3X6= 2, . 3|a|2 4a b= 3X52 4* 2)= 83.故选 D.2已知 A(2, 1), B(3, 2), C( 1, 4)，则 AABC 是()A 锐角三角形B 直角三角形C.钝角三角形D 任意三角形解析：选 B. = (1 , 1) 3, 3) = 3+ 3= 0故选 B.1.设坐标原点为0,已知过点0, 2的直线交函数y= p2的图象于A、B两点，则 的 值为()34a4B.33 一 4-C.4- 3-D.y= kx+ 2 与 y = x2 联k2+ k2 +=414,解析：选C由题意知直线的斜率存在可设为k,则直线方程

21、为1 o 1立得 x = kx+ -,二 X 2kx 1 = 0,二 xx2= 1, x + x? = 2k, yiy2= kx1 + 2 kx2+ 2 =伐血 + 4+x2)34.,1 =X1X2+ yy2= 1 + 4 =填空题2. 已知A, B, C是不共线的三点，向量 m与向量是平行向量，与是共线向量，则m解析：/ A, B, C不共线，.与不共线，又m与，都共线，m= 0.答案：06.已知 |= |a| = 3, |= |b| = 3, / AOB= 120° 则|a+ b| =答案：35.已知向量a, b不共线，实数x, y满足(3x 4y)a + (2x 3y)b=6a

22、+ 3b,贝卩 x y=解析：由题意，得3x 4y= 6且2x 3y= 3,解得x= 6, y= 3,.xy= 3.答案：36.如下图所示，已知E、F分别是矩形ABCD的边BC、CD的中点，EF与AC交于点6,若=a,= b,用a、b表示=.解析：v E、F分别为相应边中点,3=3(a+b)=4a+4b答案：；a + ；b4.已知 a=(1, 2),b=(2, 3)，实数 x, y满足 xa+ yb- (3, 4), 贝 y x=.答案：i5.若将向量a = C 3, 1)按逆时针方向旋转弓得到向量b,则b的 坐标为.答案：(1,3)6.已知平行四边形 ABCD中，A(1,1), B(6,1)

23、, C(8,5),则点D的坐标为答案：（3, 5）7.作用于原点的两个力Fi =（2, 2）, F2 = （1, 3）,为使它们平衡，需加力F3 =.答案：(3,- 5)3.已知？ABCD 四个顶点的坐标为 A(5,7), B(3, x), C(2,3), D(4,x)，贝y x=.答案：53已知向量a, b满足|b|= 2, a与b的夹角为60°,贝U b在a上的投影是 .解析：b 在 a 上的投影是 |b|cos a, b= 2cos60°= 1.答案：14已知|a|= 2|b|z 0，且关于x的方程x2 + |a|x+ a b= 0有实根，贝V a与b的夹角的取值范围是解析：由于|a|= 2|b|M 0,且关于x的方程x2+ |a|x+ a b = 0有实根，则|a|2 4a b> 0,设向量a与b的夹角为0,贝U cos 0 =a b _|a|b|4|a|127t答案:4在边长为.2的等边三角形ABC中，设=c,= a, = b，贝U a b + b c+ c a =解析：a b+ b c+ c a = .