实数的完备性及其应用PPT课件

1、一、实数不可数1、 稠密性稠密性(1)有理数集是稠密的有理数集是稠密的: 任意两个有理数间必有任意两个有理数间必有一个有理数一个有理数;(2)无理数集是稠密的无理数集是稠密的: 任意两个无理数间必有任意两个无理数间必有一个无理数一个无理数;(3)实数集是稠密的实数集是稠密的: 任意两个实数间必有一个任意两个实数间必有一个实数实数.注记1：自然数集不稠密自然数集不稠密第1页/共33页比如，比如，偶数集、有理数集都是可数集偶数集、有理数集都是可数集. 证证 (反证法反证法) ,)1 , 0(,)1 , 0(,)1 , 0(2,1nxxxN的的元元素素可可以以排排序序，设设为为即即有有一一一一对对应

2、应可可以以与与那那么么是是可可数数集集设设目的目的: :认识都是无认识都是无限限集的自然数集、偶数集、集的自然数集、偶数集、 有理数集和实数集的差别有理数集和实数集的差别. .2、不可数性、不可数性.)1 , 0(是是不不可可数数集集集集是是不不可可数数集集，从从而而实实数数R定理定理1.,为为不不可可数数集集建建立立一一一一对对应应；否否则则称称与与自自然然数数集集可可以以如如果果为为可可数数集集称称为为一一无无穷穷数数集集设设NEEE定义定义1第2页/共33页,. 0,. 0,. 0,. 0321333231323222121312111nnnnnaaaxaaaxaaaxaaaxx 写成十

3、进制形式：写成十进制形式：将将 1211,. 021kkkkkkaabbbbb若若若若其中其中现构造一个十进制的数现构造一个十进制的数.,),1 , 0(Nnxbbn 但但显然显然.,)1 , 0(不可数不可数所以所以不可数不可数故故R注记注记2：此方法称为对角线方法；可数集有此方法称为对角线方法；可数集有时时 也称为可列集也称为可列集.结论1：有理数集是可数集有理数集是可数集; ; 无理数集是不无理数集是不可数集可数集; ; 实数集是不可数集实数集是不可数集. .第3页/共33页1.确界存在定理确界存在定理2.单调数列收敛定理单调数列收敛定理3. 区间套定理区间套定理4. 有限覆盖定理有限覆

4、盖定理5. 聚点原理聚点原理6. 收敛子列定理收敛子列定理(致密性定理致密性定理)7. 柯西收敛原理柯西收敛原理二、实数完备性基本定理第4页/共33页.,:;,:;| , 0:, axExabxExbMxExME 下下界界上上界界界界对对于于数数集集1、确界存在定理、确界存在定理首先定义数集的界首先定义数集的界, 上界上界, 下界下界.定义定义2., 0 (2);, (1),. MxExMxExEMRE使使如果如果的上确界的上确界为为称称设设记记.SupremumSup.SupSup的缩写的缩写是拉丁文是拉丁文xEMEx 定义定义1第5页/共33页定义3., 0 (2);, (1),. mxE

5、xmxExEmRE使使如果如果的下确界的下确界为为称称设设记记.InfimumInf.Infinf的缩写的缩写是拉丁文是拉丁文xEmEx 注记1: 上确界意为最小上界上确界意为最小上界; ;下确界意为最大下界下确界意为最大下界. .定理1(确界存在定理)(1)非空有下界的数集必有下确界非空有下界的数集必有下确界;(2)非空有上界的数集必有上确界非空有上界的数集必有上确界.例例1 1. 0Inf; 1Sup, 2 , 1,1 EEnnE定理定理22、单调数列收敛定理单调有界数列有极限单调有界数列有极限. .第6页/共33页定义定义3).(0 (2);, 2 , 1, 1)(:, 2 , 1,)(

6、1, 1, nabnbabanbannnnnnnn闭闭区区间间列列是是指指满满足足下下列列条条件件的的序序列列一一个个闭闭区区间间套套3、区间套定理区间套定理例例2., 2 , 1,1, 0)2(;, 2 , 1,1,1)1(都是闭区间套都是闭区间套 nnnnn定理定理3(Cantor).limlim,2 , 1,nnnnnnnnbanbaba 且且唯唯一一的的则则存存在在是是一一个个闭闭区区间间套套列列设设Cantor: 康托尔康托尔,18451918,德国德国第7页/共33页定义定义4.,)2(.,)1(.,.,EEEIxIExERRE有有限限覆覆盖盖则则称称中中存存在在有有限限个个区区间

7、间覆覆盖盖若若的的开开覆覆盖盖是是则则称称是是中中的的区区间间都都是是开开区区间间时时若若使使如如果果覆覆盖盖称称中中一一些些区区间间组组成成的的集集合合是是设设 4 4、有限覆盖定理有限覆盖定理例例3., 2 , 1),2 ,1(),2 , 0()2(,),21,U(,1 , 0)1(的开覆盖的开覆盖是是的开覆盖；的开覆盖；是是EnnEEExxE 定理定理4(Borel 有限覆盖定理有限覆盖定理).,EEEbaE有有限限覆覆盖盖，即即个个开开区区间间覆覆盖盖中中存存在在有有限限则则一一个个的的开开覆覆盖盖是是设设 BorelBorel: :波雷尔波雷尔,18711956,18711956,法

8、国法国第8页/共33页例例4.2 , 0,2 , 0()2(;0, 2 , 1,1)1(的聚点的聚点都是都是的聚点的聚点是是EPEEPnnE 定理定理5(Weierstrass 聚点原理聚点原理) 有界无穷点集至少有一个聚点有界无穷点集至少有一个聚点. .,PxPxExEPnnn 存在数列存在数列的聚点的聚点是是引理引理Weierstrass:维尔斯特拉斯维尔斯特拉斯,18151897,德国德国5、聚点原理、聚点原理定义定义5.)(),( EPPUPUPEP的的邻邻域域的的聚聚点点，如如果果称称为为点点集集点点定义5.)(),(: EPPUPUPEP使使的邻域的邻域的聚点是指的聚点是指不是不是

9、点点第9页/共33页定理定理6(Bolzano6(BolzanoWeierstrassWeierstrass 致密性定理致密性定理) ) 有界数列必有收敛子列有界数列必有收敛子列. . .有界有界是柯西列，则是柯西列，则若数列若数列引理引理nnxxCauchy: 柯西柯西,17891857,法国法国6、致密性定理、致密性定理定义定义6).(Cauchy.|, 0或或基基本本列列列列为为则则称称有有时时使使得得当当满满足足条条件件：若若数数列列nmnnxxxNmnNx Bolzano:波尔察诺波尔察诺,17811848,捷克捷克7.柯西收敛原理柯西收敛原理定理7(柯西收敛准则).是是柯柯西西列列

10、收收敛敛数数列列nnxx第10页/共33页三、定理的证明确界定理确界定理单调有界单调有界闭区间套闭区间套有限覆盖有限覆盖柯西准则柯西准则致密性致密性聚点原理聚点原理第11页/共33页1、确界、确界定定理理 单调单调有界有界定理定理定理定理2 单调有界数列有极限单调有界数列有极限. .第12页/共33页2、单调有界单调有界定理定理 闭区间套闭区间套定理定理定理定理3(Cantor).limlim,2 , 1,nnnnnnnnbanbaba 且且唯唯一一的的则则存存在在是是一一个个闭闭区区间间套套列列设设定义定义3).(0 (2);, 2 , 1, 1)(:, 2 , 1,)(1, 1, nabn

11、babanbannnnnnnn闭闭区区间间列列是是指指满满足足下下列列条条件件的的序序列列一一个个闭闭区区间间套套证证 (1) 存在性存在性第13页/共33页(2) 唯一性唯一性第14页/共33页定义定义4.,)2(.,)1(.,.,EEEIxIExERRE有有限限覆覆盖盖则则称称中中存存在在有有限限个个区区间间覆覆盖盖若若的的开开覆覆盖盖是是则则称称是是中中的的区区间间都都是是开开区区间间时时若若使使如如果果覆覆盖盖称称中中一一些些区区间间组组成成的的集集合合是是设设 定理定理4 (有限覆盖定理有限覆盖定理).,EEEbaE有有限限覆覆盖盖，即即有有限限个个开开区区间间覆覆盖盖中中存存在在则

12、则一一个个的的开开覆覆盖盖是是设设 3、区间区间套套定理定理 有限覆盖有限覆盖定理定理证证 (反证法反证法).E覆覆盖盖中中不不存存在在有有限限个个开开区区间间设设 .,2,2,11babbabaaba记记为为有有限限覆覆盖盖由由则则必必有有一一子子区区间间不不能能二二等等分分为为将将 ., 2211baba记记为为有有限限覆覆盖盖有有一一个个子子区区间间不不能能由由则则同同样样必必二二等等分分再再将将 第15页/共33页., ,的的有有限限覆覆盖盖没没有有的的且且所所有有得得到到一一区区间间套套上上述述步步奏奏无无限限重重复复 nnnnbaba., 0, nabbabannnn 由由区区间间

13、套套定定理理知知).,(,),(, 开开区区间间所所以以存存在在一一个个的的开开覆覆盖盖是是又又因因为为baba.,),(,0Ebabamabmmmmnn有有限限覆覆盖盖故故的的有有限限覆覆盖盖矛矛盾盾没没有有这这与与使使得得区区间间知知存存在在再再由由 第16页/共33页4、有限覆盖定理有限覆盖定理 聚点原理聚点原理证证 (反证法反证法).没没有有聚聚点点设设E.,.,的的聚聚点点不不是是由由假假设设使使得得有有界界知知存存在在由由EPBAPBAEBAE 定理定理5(Weierstrass 聚点原理聚点原理) 有界无穷点集有界无穷点集 E 至少有一个聚点至少有一个聚点. 定义定义5.)(),

14、( EPPUPUPEP的邻域的邻域的聚点，如果的聚点，如果称为点集称为点集点点定义5.)(),(: EPPUPUPEP使使的的邻邻域域的的聚聚点点是是指指不不是是点点第17页/共33页.)( ),(, EPPUPUPBAP使使得得的的邻邻域域于于是是.,)(,BA,BA,)()(11,是是有有限限集集从从而而覆覆盖盖所所以以而而覆覆盖盖有有限限个个子子集集存存在在EEPUEPUPUiniiniBAP 由由有有限限覆覆盖盖定定理理知知的的一一个个开开覆覆盖盖构构成成这这样样,A,)(,BPUBAP .,至至少少存存在在一一个个聚聚点点故故是是无无限限集集矛矛盾盾这这与与EE第18页/共33页5、

15、聚点原理聚点原理 致密性定理致密性定理证证 分情况分情况定理定理6(Bolzano6(BolzanoWeierstrassWeierstrass 致密性定理致密性定理) ) 有界数列必有收敛子列有界数列必有收敛子列. . .|,)2(是是有有界界无无限限集集则则集集合合不不含含无无限限个个相相等等的的项项若若NnxExnn .,(1)有有收收敛敛子子列列故故常常数数子子列列的的一一个个则则这这些些项项构构成成有有无无限限项项相相等等nnnxxx.,.的的子子列列存存在在收收敛敛于于知知根根据据极极限限的的定定义义存存在在聚聚点点于于是是由由聚聚点点原原理理知知 nxE故有界故有界数列必有收敛子

16、数列必有收敛子列列. .第19页/共33页6、致密性致密性定理定理 柯西收敛准则柯西收敛准则.有有界界是是柯柯西西列列，则则若若数数列列引引理理nnxx定义定义6).(Cauchy.|, 0或或基基本本列列列列为为则则称称有有时时使使得得当当满满足足条条件件：若若数数列列nmnnxxxNmnNx 定理7(柯西收敛准则).是是柯柯西西列列收收敛敛数数列列nnxx证证(必要性必要性)第20页/共33页（充分性）（充分性）第21页/共33页7、柯西收敛柯西收敛准则准则 确界定理确界定理证证 只证只证(2), (1)类似类似定理1(确界存在定理)(1)(1)非空有下界的数集必有下确界非空有下界的数集必

17、有下确界; ;(2)(2)非空有上界的数集必有上确界非空有上界的数集必有上确界. .定义定义2., 0 (2);, (1),. MxExMxExEMRE使使如果如果的上确界的上确界为为称称设设第22页/共33页第23页/共33页注记: : 1.1.确界存在定理称为实数的连续性定理确界存在定理称为实数的连续性定理, ,柯西柯西存存 在准则称为实数的完备性定理在准则称为实数的完备性定理, ,由上面的等由上面的等价价 性性知知连续性与完备性是等价的连续性与完备性是等价的. .2.2.完备性本质上是对极限运算封闭完备性本质上是对极限运算封闭, ,有理数是有理数是不不 完备的完备的. .第24页/共33

18、页四、闭区间上连续函数性质的证明1、有界性定理、有界性定理2、最大最小值定理、最大最小值定理3、零、零点存在定理点存在定理第25页/共33页1、有界性定理、有界性定理有限覆盖定理有限覆盖定理+极限局部有界性极限局部有界性第26页/共33页2、最值定理、最值定理第27页/共33页确界定理确界定理+致密性定理致密性定理+连续定义连续定义+极限夹逼准则极限夹逼准则第28页/共33页3、零点存在定理零点存在定理第29页/共33页区间套区间套定理定理+连续定义连续定义+极限保序性极限保序性第30页/共33页五、小结u 实数不可数u 实数完备性的七个等价基本定理u 闭区间上连续函数性质的证明第31页/共33页作 业1.1.