因式分解的方法与技巧

1、因式分解的方法与技巧因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛 地应用于初等数学之中，在数学求根作图、解一元二次方程方 面也有很广泛的应用。是解决许多数学问题的有力工具。把一 个多项式在一个范围 ( 如有理数范围内分解，即所有项均为有 理数) 化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项 式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。因式分解的方法与技巧1 、 提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个 公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。例 1 、 分解因式 x3 -2x 2-xx3 -2x2 -x=x(x2 -2x-1)2 、 应用公式法 由于分解因

2、式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公 式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。例 2 、分解因式 a2 +4ab+4b2解：a2 +4ab+4b2 =(a+2b)23 、 分组分解法要把多项式 am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分 成一组，并提出公因式 a，把它后两项分成一组，并提出公因 式 b ，从而得到 a(m+n)+b(m+n), 又可以提出公因式 m+n，从而 得到 (a+b)(m+n)例 3 、分解因式 m2 +5n-mn-5m解： m2 +5n-mn-5m= m 2-5m -mn+5n= (m2 -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =

3、(m-5)(m-n)4 、 十字相乘法对于 mx2 +px+q 形式的多项式，如果 a×b=m,c×d=q 且 ac+bd=p，则多项式可因式分解为 (ax+d)(bx+c)例 4 、分解因式 7x2 -19x-6 分析： 1 ×7=7, 2 ×(-3)=-6 1×2+7×(-3)=-19 解：7x2 -19x-6=(7x+2)(x-3)5 、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配 成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分 解。例 5 、分解因式 x2 +6x-40解 x2 +6x-40=x2 +6x

4、+( 9) -(9 ) -40 =(x+ 3)2 -(7 ) 2 =(x+3)+7*(x+3) 7 =(x+10)(x-4)6 、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。 例 6 、分解因式 bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解： bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)- ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b)换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成 另一个未知数，然后进行因式分

5、解，最后再转换回来。例 7、分解因式 2x4 x3 -6x2 -x+2( 也叫相反式，在这 里以二次项系数为中心对称项的系数是相等的，如四次项与常 数项对称，系数相等，解法也是把对称项结合在一起 )解： 2x 4 x3 -6x2 -x+2=2(x4 +1)-x(x2 +1)-6x2=x2 2x2 + ()2-(x+ )-6令 y=x+ ,x2 2x2 +( )2-(x+)-6= x2 2(y2 -2)-y-6= x2 (2y2 -y-10)=x 2(y+2)(2y-5)=x2 (x+ +2)(2x+ -5)= (x2 +2x+1) (2x2 -5x+2)=(x+1)2 (2x-1)(x-2)8

6、 、 求根法令多项式 f(x)=0, 求出其根为 x1,x2 ,x3 , xn , 则多 项式可因式分解为 f(x)=(x-x1 )(x-x 2)(x-x3 ) (x -xn )( 一般情况下是试根法，并且一般试 -3,-2,-1,0,1,2,3 这些数 是不是方程的根 )例 8 、分解因式 2x4 +7x3 -2x2 -13x+6解：令 f(x)=2x4 +7x3 -2x2 -13x+6=0通过综合除法可知， f(x)=0 根为 ，-3 ，-2，1 ,则 2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)9 、 图象法 ( 这种方法在以后学函数的时候会用到。现在

7、只是作为了解内容，它和第八种方法是类似的 )令 y=f(x) ，做出函数 y=f(x) 的图象，找到函数图象与 X 轴的交点 x1 ,x2 ,x3 , xn ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x1 )(x-x2 )(x-x3) (x -xn )例 9 、因式分解 x3 +2x2 -5x-6 解：令 y= x3 +2x2 -5x-6 作出其图象，可知与 x 轴交点为 -3，-1 ，2 则 x3 +2x 2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)10 、 主元法 先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高 到低排列，再进行因式分解。例 10 、分解因式 a2 (b-c)+

8、b2 (c-a)+c2 (a-b) 分析：此题可选定 a 为主元，将其按次数从高到低排列 解：a2 (b-c)+b2 (c-a)+c2 (a-b)=a2 (b-c)-a(b2 -c2)+bc(b-c)=(b-c) a2 -a(b+c)+bc=(b-c)(a-b)(a-c)11 、 利用特殊值法将 2或 10(或其它数 )代入 x，求出数 P，将数 P分解质因 数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成 2 或 10 的和与差的形式，将 2 或 10 还原成 x ，即得因式分解式。 例 11 、分解因式 x 3+9x2 +23x+15解：令 x=2，则 x3 +9x 2+23x+15=8

9、+36+46+15=105将 105 分解成 3 个质因数的积，即 105=3× 5×7 注意到多项式中最高项的系数为 1，而 3、5、7 分别为 x+1， x+3， x+5，在 x=2 时的值则 x3 +9x2 +23x+15=(x+1)(x+3)(x+5)12 、待定系数法首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系 数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。例 12、分解因式 x4 x3 -5x2 -6x-4 如果已知道这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两 个二次因式。解：设 x4 x3 -5x2 -6x-4=(x2 +ax+b)(x2 +cx+d)= x4

10、+(a+c)x3 +(ac+b+d)x2 +(ad+bc)x+bd从而 a+c=-1,ac+b+d=-5,ad+bc=-6,bd=-4所以 解得则 x4 x3 -5x2 -6x-4 =(x 2+x+1)(x2 -2x-4)。因式分解应该注意哪些问题 ?一、要注意到“ 1”的存在而避免漏项 在提取公因式时 , 多数同学易忘记观察被分解多项式的项 数是多少 , 更没有理解因式分解与乘法运算之间的关系, 而在分解因式时应注意到“ 1”在这个多项式分解中的存在和作用。例 1 分解因式 23x+5xy+x=x(3x+5y)错解 : 23x+5xy+x=x(3x+5y), 这样就漏了“ x”这一项 , 提

11、 出“ x”后应由“ 1”来补其位。 正解: 23x+5xy+x=x(3x+5y+1)二、提取公因式时要注意符号的变化 牢记在有理数的乘法运算中“括号前是负号 , 去括号时括 号里的各项都要变号”这一运算律 , 而因式分解与乘法运算之 间互为逆变形 , 首相为负号应提取负号 , 但加括号并且括号里的 各项都要变号。例 2 分解因式 2-10x+10xy.错解 : 2-10x+10xy=-10x(x+y), 错在括号里没有变号。正解 : 2-10x+10xy=-10x(x-y).三、要注意整体与个体之间的关系在公式 22a-b=(a+b)(a-b) ，222a+2ab+b=(a+b), 222a

12、- 2ab+b=(a-b) 中,a、b 代表符合这一特点的整个代数式里的整 个因式,而不只代表这个代数式里的某一个因式。如 216x 是表 示 2(4x), 而不是 216x. 因此再分解因式时要注意整体与个体之 间的关系。例 3 分解因式 29x-1错解: 29x-1=(9x+1)(9x-1),错在 29x-1 只能写为 2(3x)不能写为 29x. 正解: 29x-1=(3x+1)(3x-1).四、要注意分解完整 因式分解即是把一个多项式分解为几个不能再分解的因式 的乘积形式 , 因式分解需要分解到不能再分解为止。例 4 分解因式 4216x-72x+81错解: 4216x-72x+81=

13、22(4x-9), 很多学生就分解到此为止 但没有注意到 24x-9 还可以分解。因为 24x 可以写成 2(2x),9 可以写成 2(3), 故 24x-9 符合平方差公式的特点应继续分解。正解: 4216x-72x+81=22(4x-9)=2(2x+3)(2x- 3)=22(2x+3)(2x-3) 例 5分解因式 4x-9 ( 在实数范围内 )错解: 4x-9=22(x+3)(x-3),错在许多学生还未注意到2(x-3) 中的“ 3”还可以写为2(3), 因此 2(x-3) 写为 2x-2(3), 这就符合平方差公式的特 点应继续分解。正解: 4x-9=22(x+3)(x-3)=2(x+3)(x+3)(x-3)五、应注意因式与整式乘法的关系因式分解是要把一个多项式分解为几个