专题3.10 规律问题六大类型-重难点题型（举一反三）（解析版）

1、专题3.10 规律问题六大类型-重难点题型【知识点 找规律】解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论.有时候还需要通过类比联想才能找到隐含条件.一般有下列几个类型：一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号之间的关系.一列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号之间的关系.图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号之间的关系.图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数.数形结合的规律：观察前项（一般前3项）及利用题中的已知条件，

2、归纳猜想一般性结论. 常见的数列规律： 1，3，5，7，9， ，（为正整数） 2，4，6，8，10，（为正整数） 2，4，8，16，32，（为正整数） 2，5，10，17，26，（为正整数） 0, 3, 8, 15， 24， （为正整数） 2， 6， 12， 20， （为正整数） ，（为正整数） ，（为正整数） 特殊数列： 斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和. 三角形数：1,3,6,10,15,21，.【题型1 数列的规律】【例1】（2021韶关一模）按规律排列的一列数：12，25，38，411，514，则第2021个数是 202160

3、62【分析】由所给的数可得，奇数项为负，偶数项为正，其分母为3n1，据此即可作答【解答】解：12=(1)1×13×11，25=(1)2×23×21，38=(1)3×33×31，411=(1)4×43×41，514=(1)5×53×51，第n个数为：(1)n×n3n1，第2021个数为：(1)2021×20213×20211=20216062故答案为：20216062【变式1-1】（2021沂南县模拟）观察下列两行数：0，2，4，6，8，10，12，14，16，0，3

4、，6，9，12，15，18，21，24，探究发现：第1个相同的数是0，第2个相同的数是6，若第n个相同的数是102，则n等于（）A20B19C18D17【分析】由所给的数字可发现：第1个相同的数是06×（11），第2个相同的数是66×（21），第3个相同的数为126×（31），从而可得其规律：第n个相同的数为：6（n1），则可求解【解答】解：第1个相同的数是06×（11），第2个相同的数是66×（21），第3个相同的数为126×（31），第n个相同的数为：6（n1），6（n1）102，解得：n18故选：C【变式1-2】（2021诸城市

5、三模）按一定规律排列的一列数依次为2，5，10，17，26，37，按此规律排列下去，这列数中的第20个数是 401【分析】根据题目中的数字，可以发现这列数的符号一正一负的出现，数字是12+1、22+1、32+1、42+1，从而可以写出第n个数的表达式【解答】解：一列数依次为：2，5，10，17，26，这列数的第n个数为：（1）n+1（n2+1），则第20个数为：（1）20+1（202+1）401故答案为：401【变式1-3】（2021盘龙区一模）观察下列一组数：13，45，97，169，2511，它们是按照一定规律排列的，那么这组数的第n个数是（）An22n+1B（1）n2n2n+1C（1）n

6、n22n1D（1）n1n22n+1【分析】通过观察数列形式，可知分数的分子是1，4，9，16，25.可变式为12，22，32，42，52，.可归纳为n2，分母是3，5，7，9，11.可归纳为2n+1，再看序列正负变化，可归纳为（1）n+1或者（1）n1.即可求出答案【解答】解：首先观察序列是个分数，分子是1，4，9，16，25.可变式为12，22，32，42，52，.可归纳为n2，分母是3，5，7，9，11.可归纳为2n+1，整个序列是一正一负交替变化，可归纳为（1）n+1或者（1）n1可得答案为（1）n+1n22n+1或（1）n1n22n+1故选：D【题型2 数表的规律】【例2】（2021春

7、柳南区校级月考）将正奇数按下表排成5列：第1列第2列第3列第4列第5列第1行1357第2行1513119第3行171921232725若2021在第m行第n列，则m+n（）A256B257C510D511【分析】观察图表，每一行都有四个数，且奇数行排在第25列，偶数行排在第14列，根据2021在正奇数中的位置来推算m，n【解答】解：首先，从图表观察，每一行都有四个数，且奇数行排在第25列，偶数行排在第14列，其次，奇数可以用2x1表示，当x1011时，2x12021，即2021是排在第1011个位置在上表中，因为每行有4个数，且1011÷42523，因此2021应该在第253行，第4

8、列，即m253，n4m+n257，故选：B【变式2-1】（2021武汉模拟）观察下面倒“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为（）A2020B2021C4040D4039【分析】首先分析得左上数字1，3，5分别是1、2、3的2倍与1的差，而下面的数21，22，23对应的指数正好也是1，2，3，即可以得出结果【解答】解：由题意得：12×11，32×21，52×31a2×202014039故选：D【变式2-2】（2021广汉市模拟）右边是一个按某种规律排列的数阵：根据规律，自然数2021应该排在从上向下数的第m行，是该行中的从左向右数的第n个

9、数，那么m+n的值是（）A131B130C129D128【分析】每行的最后一个数是这个行的行数m的平方，第m行的数字的个数是 2m1，所以2021在第45行，45行最后一个数字是2025，从2025往前数4个数据得到2021，进而得出2021是第85个数据，从而得出答案【解答】解：每行的最后一个数是这个行的行数m的平方，第m行的数字的个数是 2m1，4421936，所以2021在第45行，4522025，45行最后一个数字是2025，第45行有2×45189个数字，从2025往前数4个数据得到2021，从而得出2021是第85个数据，m45，n85，m+n45+85130故选：B【变

10、式2-3】（2021镇江）如图，小明在3×3的方格纸上写了九个式子（其中的n是正整数），每行的三个式子的和自上而下分别记为A1，A2，A3，每列的三个式子的和自左至右分别记为B1，B2，B3，其中，值可以等于789的是（）AA1BB1CA2DB3【分析】把A1，A2，B1，B3的式子表示出来，再结合值等于789，可求相应的n的值，即可判断【解答】解：由题意得：A12n+1+2n+3+2n+5789，整理得：2n260，则n不是整数，故A1的值不可以等于789；A22n+7+2n+9+2n+11789，整理得：2n254，则n不是整数，故A2的值不可以等于789；B12n+1+2n+7

11、+2n+13789，整理得：2n25628，则n是整数，故B1的值可以等于789；B32n+5+2n+11+2n+17789，整理得：2n252，则n不是整数，故B3的值不可以等于789；故选：B【题型3 图形的规律】【例3】（2021九龙坡区模拟）按如图所示的规律搭正方形：搭1个小正方形需要4根小棒，搭2个小正方形需要7根小棒，搭3个小正方形需要10根小棒，搭2021个这样的小正方形需要小棒（）根A8084B6066C6063D6064【分析】通过归纳与总结得出规律：正方形每增加1，火柴棒的个数增加3，由此求出第n个图形时需要火柴的根数的代数式，然后代入求值即可【解答】解：搭2个正方形需要4

12、+3×17根火柴棒；搭3个正方形需要4+3×210根火柴棒；，搭n个这样的正方形需要4+3（n1）3n+1根火柴棒；搭2021个这样的正方形需要3×2021+16064根火柴棒；故选：D【变式3-1】（2021春开封期末）如图所示的图案是由相同大小的圆点按照一定的规律摆放而成的，按此规律，第n个图形中圆点的个数为（）An+3Bn2+nC3n+1D2n+2【分析】根据图形可知每个图形都比前一个多3个圆点，又第一个图形有3+1个，即第n个图形就有3n+1个【解答】解：由题知，第1个图形圆点个数为：3×1+14；第2个图形圆点个数为：3×2+17；第

13、3个图形圆点个数为：3×3+110；第4个图形圆点个数为：3×4+113；.第n个图形圆点个数为：3×n+13n+1；故选：C【变式3-2】（2021安徽模拟）观察下列图形与等式：（1）观察图形，写出第（7）个等式：（1+2+3+4+5+6）×2+772；根据图中规律，写出第n个图形的规律：（1+2+3+.+n1）×2+nn2；（用含有n的式子表示）（2）求出10+11+80的值【分析】（1）观察图形的变化可得第（7）个等式，进而可得第n个图形的规律；（2）根据（1）中第n个图形的规律即可进行计算【解答】解：（1）根据图形的变化可知：第（7）个

14、等式为：（1+2+3+4+5+6）×2+772；所以第n个图形的规律为：（1+2+3+.+n1）×2+nn2；故答案为：（1+2+3+4+5+6）×2+772；（1+2+3+.+n1）×2+nn2；（2）因为（1+2+3+4+.+80）×2+81812，（1+2+3+4+.+9）×2+10102，1+2+3+4+.+80=812812=3240，1+2+3+4+.+9=102102=45，所以10+11+80（1+2+3+4+.+80）（1+2+3+4+.+9）3195【变式3-3】（2020秋滦南县期末）按如下规律摆放五角星：（1）

15、填写表格：图案序号1234n五角星个数4710133n+1（2）直接写出第20个图案的五角星个数，个数为61；（3）若按上面的规律继续摆放，是否存在某个图案，其中恰好含有2021个五角星？（4）计算前20个五角星图案中五角星的总个数【分析】（1）把五角星分成两部分，顶点处的一个不变，其它的分三条线，每一条线上后一个图形比前一个图形多一个，根据此规律找出第n个图形中五角星的个数的关系式为3n+1；（2）将n20代入3n+1解答即可；（3）令3n+12021，能求得整数解就是存在，否则不存在；（4）将前20个五角星图案中，五角星的个数相加解答即可【解答】解：（1）观察图形规律：第一个图形有4个五角

16、星，第二个图形比第一个图形多3个五角星，即有4+37个五角星，第三个图形比第二个图形多3个五角星，即有4+3+310个五角星，第四个图形比第三个图形多3个五角星，即有4+3+3+313个五角星，以此类推，第n个图形中的五角星有4+3（n1）（3n+1）个五角星，故答案为：10，13，3n+1；（2）将n20代入3n+1中，得3×20+161（个），故答案为：61；（3）假设存在第n个图案，恰好含有2021个五角星依题意可得3n+12021，解得n6731，n为正整数才符合题意，不存在恰好含有2021个五角星的图案（4）前20个五角星图案中，五角星的总个数为：4+7+10+13+58+

17、61（4+61）+（7+58）+（31+34）65+65+6565×10650（个），前20个五角星图案中，五角星的总个数为650个【题型4 算式的规律】【例4】（2021秋吴中区月考）探索发现：请观察下列算式：（1）11×2=112，12×3=1213，13×4=1314，14×5=1415则第10个算式为 110×11110111第n个算式为 1n(n+1)1n1n+1（2）运用以上规律计算：12+16+112+190+1110+1132；（3）仿照以上方法计算：13+115+135+199+1143【分析】（1）通过观察可得11

18、0×11=110111，1n(n+1)=1n1n+1；（2）原式=11×2+12×3+13×4+19×10+110×11+111×12，再由（1）的规律运算即可；（3）原式=11×3+13×5+15×7+19×11+111×13，再由（1）的规律运算即可；【解答】解：（1）110×11=110111，1n(n+1)=1n1n+1，故答案为：110×11，110111，1n(n+1)，1n1n+1；（2）12+16+112+190+1110+1132=11&

19、#215;2+12×3+13×4+19×10+110×11+111×12 112+1213+1314+1111121112=1112；（3）13+115+135+199+1143=11×3+13×5+15×7+19×11+111×13 =12×（113+1315+1517+111113）=12×（1113）=12×1213 =613【变式4-1】（2021春庐阳区校级期末）观察下列等式：11×3=12×（113）；13×5=12

20、5;（1315）；15×7=12×（1517）根据上述等式的规律，解答下列问题：（1）请写出第个等式：17×9=12×(1719)；（2）写出你猜想的第n个等式（用含有n的等式表示），并证明这个等式（3）应用你发现的规律，计算：21×3+23×5+25×7+27×9+22019×2021【分析】（1）根据题目中的例子写出第个式子即可；（2）由所给的例子不难看出第n个等式为：1(2n1)(2n+1)=12×12n112n+1，把等式右边进行运算即可证明；（3）所求的式子先提取一个2出来，再利用发现

21、的规律进行运算即可【解答】解：（1）第个等式为：17×9=12×(1719)；故答案为：17×9=12×(1719)；（2）11×3=12×（113），整理得：1(2×11)×(2×1+1)=12×(12×1112×1+1)；13×5=12×（1315），整理得1(2×21)×(2×2+1)=12×(12×2112×2+1)；15×7=12×（1517），整理得：1(2

22、5;31)×(2×3+1)=12×(12×3112×3+1)；第n个等式为：1(2n1)(2n+1)=12×12n112n+1，证明：右边=12×2n+1(2n1)(2n+1)2n1(2n1)(2n+1)=12×2n+12n+1(2n1)(2n+1) =12×2(2n1)(2n+1) =1(2n1)(2n+1)，左边右边（3）21×3+23×5+25×7+27×9+22019×20212×（11×3+13×5+15×

23、7+17×9+12019×2021）2×12×（113+1315+1517+1719+1201912021）112021=20202021【变式4-2】（2021秋庐阳区校级月考）探究规律：（1）计算：211；22211；2322211；242322211；（2）根据上面结果猜想：2202022019220182322211；2n2n12n22322211；2122112102928272664【分析】（1）利用乘方的意义和减法法则求得结果即可；（2）类比（1）得出结论即可【解答】解：（1）计算：211，22211，2322211，242322211；故

24、答案为：1；1；1；1；（2）2202022019220182322211；2n2n12n22322211；212211210292827262122112102827262524232221+25+24+23+22+2+11+25+24+23+22+2+164故答案为：1；1；64【变式4-3】（2021春开江县期末）观察下列各式：13+231+89，而（1+2）29，13+23（1+2）2；13+23+3336，而（1+2+3）236，13+23+33（1+2+3）2；13+23+33+43100，而（1+2+3+4）2100，13+23+33+43（1+2+3+4）2；猜想并填空：（1）

25、13+23+33+43+53（1+2+3+4+5）2152；根据以上规律填空：（2）13+23+33+n3（1+2+3+.+n）2n(n+1)22；（3）求解：163+173+183+193+203【分析】（1）通过观察材料中算式的计算规律进行计算；（2）通过观察材料中算式的计算规律进行计算；（3）利用（2）中的结论进行计算【解答】解：（1）由题意可得：13+23+33+43+53（1+2+3+4+5）2152，故答案为：（1+2+3+4+5）；15；（2）13+23+33+n3（1+2+3+.+n）2n(n+1)22，故答案为：（1+2+3+.+n）；n(n+1)2；（3）原式（13+23+

26、33+163+173+183+193+203）（13+23+33+153）（1+2+3+.+20）2（1+2+3+.+15）220×(1+20)2215×(1+15)2221021202441001440029700【题型5 程序运算】【例5】（2020秋温江区校级期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为24，我们发现第1次输出的结果为12，第2次输出的结果为6，则第2021次输出的结果为（）A6B3C24D12【分析】根据运算的程序，把24代入，求出前几个数，可发现从第2个数开始，每2个数循环出现，据此作答即可【解答】解：第1次输出的数为：12×24=12

27、；第2次输出的数为：12×12=6；第3次输出的数为：12×6=3；第4次输出的数为：3+36；第5次输出的数为：12×6=3；由此得从第2个数开始，每2个数循环出现，（20211）÷21010，第2021次输出的数为3故选：B【变式5-1】（2020秋晋安区期末）如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为625，则第2020次输出的结果为（）A1B5C25D625【分析】依次求出每次输出的结果，根据结果得出规律，即可得出答案【解答】解：当x625时，15x125，当x125时，15x25，当x25时，15x5，当x5时，15x1，当x1时，x+4

28、5，当x5时，15x1，依此类推，以5，1循环，（20202）÷21009，能够整除，所以输出的结果是1，故选：A【变式5-2】（2020秋龙华区期末）如图是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为2，则第2020次输出的结果为4【分析】依次求出每次输出的结果，根据结果得出规律，即可得出答案【解答】解：第一次输入：x20，x+12+11，第二次输入：10，x+11+10；第三次输入：x+10+11，第四次输入：10，x251254，第五次输入：40，x+14+13，第六次输入：30，x+13+12，第七次输入：20，x+12+11，依此类推，2020÷63364，所以输出的

29、结果是4，故答案为：4【变式5-3】（2021春新蔡县期末）按下面的程序计算：若输入x100，输出结果是501，若输入x25，输出结果是631，若开始输入的x值为正整数，最后输出的结果为556，则开始输入的x值可能有（）A1种B2种C3种D4种【分析】由5x+1556，解得x111，即开始输入的x为111，最后输出的结果为556；当开始输入的x值满足5x+1111，最后输出的结果也为556，可解得x22；当开始输入的x值满足5x+122，最后输出的结果也为556，但此时解得的x的值为小数，不合题意【解答】解：输出的结果为556，5x+1556，解得x111；而111500，当5x+1等于111

30、时最后输出的结果为556，即5x+1111，解得x22；当5x+122时最后输出的结果为556，即5x+122，解得x4.2（不合题意舍去），所以开始输入的x值可能为22或111故选：B【题型6 定义新运算】【例6】（2021春奉贤区期中）定义：a是不等于1的有理数，我们把11a称为a的差倒数如3的差倒数是113=12，1的差倒数是11(1)=12，已知a2是a1的差倒数，a13，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，以此类推，则a20203【分析】根据新定义找到这列数的前几项，从而可以发现数字的变化特点然后即可得到a2020的值【解答】解：a13，根据差倒数的定义可得：a2=113=12，a3=11(12)=23，a4=11(23)=3，由上可发现这列数依次以3，12，23循环出现，2020÷36731，a20203，故答案为：3【变式6-1】（2020锦江区模拟）定义运算xy=xy