113集合的基本运算

1、 考察下列各个集合，你能说出集合考察下列各个集合，你能说出集合C与集与集合合A、B之间之间的关系吗的关系吗？（1） A=1，3，5， B=2，4，6， C=1，2，3，4，5，6（2）A=x|x是有理数，是有理数， B=x|x是无理数，是无理数，C=x|x是实数是实数 结论：集合结论：集合C是由所有属于集合是由所有属于集合A或属于或属于B的元的元素组成的素组成的 一般地，由所有属于集合一般地，由所有属于集合A或属于集合或属于集合B的元素所的元素所组成的集合，称为集合组成的集合，称为集合A与与B的的并集并集（Union set）记作：记作：AB（读作：（读作：“A并并B”） 即：即： AB =x

2、| x A ，或，或x BVenn图表示：图表示： ABAB 说明说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与与B 的所有元素组成的集合（的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素重复元素只看成一个元素）ABABABAB例例1 1设设A=4=4，5 5，6 6，88，B=3=3，5 5，7 7，88，求求AU UB解：解：8 , 7 , 5 , 38 , 6 , 5 , 4 BA8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3 例例2 2设集合设集合A=x|-1|-1x22，B=x|1|1x33， 求求AU UB解：解：31 |21| xxxxB

3、A31|xx可以在数轴上表示例可以在数轴上表示例2 2中的并集，如下图：中的并集，如下图： 考察下面的问题，集合考察下面的问题，集合C与集合与集合A、B之之间间有什么关系吗有什么关系吗？（1） A=2，4，6，8，10， B=3，5，8，12，C=8（2）A=x|x是是新华中学新华中学2004年年9月在校的女同学月在校的女同学， B=x|x是新华中学是新华中学2004年年9月入学的高一年级同学月入学的高一年级同学， C=x|x是新华中学是新华中学2004年年9月入学的高一年级女同月入学的高一年级女同学学结论：集合结论：集合C是由那些既属于集合是由那些既属于集合A且又属于集且又属于集合合B的所有

4、元素组成的的所有元素组成的 一般地，由属于集合一般地，由属于集合A且属于集合且属于集合B的所有元素组的所有元素组成的集合，称为成的集合，称为A与与B交交集集（intersection set）记作：记作：AB（读作：（读作：“A交交B”） 即：即： A B =x| x A 且且x BVenn图表示：图表示： 说明说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与与B 的公共元素组成的集合的公共元素组成的集合ABABABABABB求求 例例3 新华中学开运动会，设新华中学开运动会，设 A=x|x是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学，是新华中学高一年级

5、参加百米赛跑的同学， B= x|x是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学，是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学， BA 解解： 就是新华中学高一年级中那些既参加百就是新华中学高一年级中那些既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学组成的集合米赛跑又参加跳高比赛的同学组成的集合 所以，所以， = =x| |x是新华中学高一年级既参加百是新华中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学米赛跑又参加跳高比赛的同学. .BABA 例例4 设平面内直线设平面内直线 上点的集合为上点的集合为 ,直线直线 上点的集合上点的集合为为 ,试用集合的运算表示试用集合的运算表示 、 的位置关系的位置关系.1l2l1L2L1

6、l2l 解解： 平面内直线平面内直线 、 可能有三种位置关系，即相交于可能有三种位置关系，即相交于一点，平行或重合一点，平行或重合.1l2l（1）直线）直线 、 相交于一点相交于一点P可表示为可表示为2l1l21LL =点点P（2）直线）直线 、 平行可表示为平行可表示为21LL 1l2l2121LLLL1l2l（3）直线）直线 、 重合可表示为重合可表示为说明：定义中的说明：定义中的“或或”字的意义，用它连接字的意义，用它连接的并列成分之间不一定是互相排斥的，的并列成分之间不一定是互相排斥的，“xA或或xB”这一条件，包括下列三种情况，这一条件，包括下列三种情况， xA但但xB; xB但但x

7、A; xA且且xB.很明很明显，适合第三种情况的元素构成的集合就是显，适合第三种情况的元素构成的集合就是交集，它不一定是空集交集，它不一定是空集ABABAB 在下面的范围内求方程在下面的范围内求方程 的解集：的解集：0322xx（1 1）有理数范围；（）有理数范围；（2 2）实数范围）实数范围 并回答不同的范围对问题结果有什么影响？并回答不同的范围对问题结果有什么影响？ 20322xxQx 解：解：（1 1）在有理数范围内只有一个解）在有理数范围内只有一个解2 2，即：，即：（2 2）在实数范围内有三个解）在实数范围内有三个解2 2， ， ，即：，即：333, 3, 20322xxRx 一般地

8、，如果一个集合含有我们所研究问题中所一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合涉及的所有元素，那么就称这个集合全集全集（Universe set）通常记作）通常记作U 对于一个集合对于一个集合A ，由全集，由全集U中不属于集合中不属于集合A的所的所有元素组成的集合称为集合有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集相对于全集U 的的补集补集（complementary set）,简称为集合简称为集合A的补集的补集Venn图表示：图表示： 说明说明：补集的概念必须要有全集的限制补集的概念必须要有全集的限制记作：记作： A 即：即： A=x| x U 且且x AAUA

9、例例5 5设设U= =x| |x是小于是小于9 9的正整数的正整数，A= =1，2，3，B= =3，4，5，6，求，求 A， B 解：根据题意可知：解：根据题意可知： U= =1，2，3，4，5，6，7，8，所以：所以： A= =4，5，6，7，8， B= =1，2，7，8 例例6 6设全集设全集U= =x| |x是三角形是三角形 ，A= =x| |x是锐角三是锐角三角形角形 ，B= =x| |x是钝角三角形是钝角三角形. . 求求AB， （AB） 解：根据三角形的分类可知解：根据三角形的分类可知AB ，AB x| |x是锐角三角形或钝角三角形是锐角三角形或钝角三角形，（AB）x| |x是直角

10、三角形是直角三角形 1 1求集合的求集合的并、交、补并、交、补是集合间的基本运算，是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合运算结果仍然还是集合 3 3注意结合注意结合VennVenn图或数轴图或数轴进而用集合语言表进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法达，增强数形结合的思想方法 2 2区分交集与并集的关键是区分交集与并集的关键是“且且”与与“或或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件眼出发去揭示、挖掘题设条件性性 质质 AA = A = AA = A =AAA=AB BAAB BA AB A A AB AB B

11、 B AB 若若AB=A,则则A B反之反之,亦然亦然. 若若AB=A,则则A B反之反之,亦然亦然. 一、交集、并集的概念：一、交集、并集的概念： AB=x|xA，且且xB；AB=x|x或或xB二、求集合的交集、并集是集合的基本运算，二、求集合的交集、并集是集合的基本运算，两个集合经过运算得到了一个新的集合。两个集合经过运算得到了一个新的集合。三、集合运算的性质：三、集合运算的性质： 四、（四、（AB）C可记作可记作ABC； （AB）C可记作可记作ABC四、交集、并集的性质图示交集交集与并与并集的性集的性质质1结合律：(A B) C = A (B C) = A B CA B CA B CA

12、B CA B CA B C四、交集、并集的性质图示交集交集与并与并集的性集的性质质2 结合律：( A U B) U C = A U ( B U C) = A U B U CA B CA B CA B CA B CA B C五、交集、并集性质的图示交集交集与并与并集的性集的性质质3分配律：A U (B C) = (A U B) (A U C) A B CA B CA B CA B CA B C五、交集、并集的性质图示交集交集与并与并集的性集的性质质4分配律：A (B U C) = (A B) U (A C) A B CA B CA B CA B CA B C六、应用-排容原理以Sor n(S)表

13、示集合S的元素个数。（1）A U B ABAB=ABAB六、应用-排容原理（2）A U B U CABC ABBCCA +A B CABCABC=-+ABACBCA B CA+B+C七、基本测验集合的表示法集合的运算补集合集合的元素名称交集并集由所有属于A且属于B的元素所组成的集合叫做A与B的交集由所有属于A或属于B的元素所组成的集合叫做A与B的并集BA(读作“A交B”）BA(读作“A并B”）BxAxxBA且BxAxxBA或AB定 义 记号简而言之图示AB一、重要知识点一、重要知识点 用文氏图考查交集并集用文氏图考查交集并集(1)没有公共元素没有公共元素 A B (2) 有公共元素有公共元素 A B (3)包含包含 A B AB=ABAB=B设设a、bR