实变函数试题库1及参考答案

1、实变函数试题库及参考答案（1）本科一、填空题1设 A, B 为集合，则A B U BA U B （用描述集合间关系的符号填写）2设 A 是 B 的子集，则AB（用描述集合间关系的符号填写）3如果 E 中聚点都属于E ，则称 E 是4有限个开集的交是5设 E1 、 E2 是可测集，则m E1 U E2mE1mE2 （用描述集合间关系的符号填写）6设 E? n 是可数集，则m* E07设 fx 是定义在可测集E 上的实函数，如果a? 1 ， E x fxa是，则称 fx 在 E 上可测8可测函数列的上极限也是函数9设 fnxfx ， gn xg x ，则 f n xgn x10设 fx 在 E 上

2、 L 可积，则fx在 E 上二、选择题1下列集合关系成立的是（）ABAIABABIACABUBADBAUAB2若ER n 是开集，则（）AEEBE 0ECEEDEE3设f n x是 E 上一列非负可测函数，则（）Alim fnxdxlimf nx dxBlim fnx dxlimfnx dxE nnEE nnEClim f nxdxlimf nx dxDlimf nx dxlim fnxE nnEnEE n三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案）1设 E0,1 中无理数，则（）AE 是不可数集BE 是闭集CE 中没有内点DmE12设 E? n 是无限集，则（）AE 可以和自身的某个真子集

3、对等BEa （ a 为自然数集的基数）CEDm* E03设 fx 是 E 上的可测函数，则（）A 函数fx在 E 上可测Bfx 在 E 的可测子集上可测Cfx 是有界的Dfx 是简单函数的极限4设 fx 是 a,b 上的有界函数，且黎曼可积，则（）AfxCfx在在a, ba, b上可测Bfx 在 a, b 上 L 可积上几乎处处连续Dfx 在 a,b 上几乎处处等于某个连续函数四、判断题1. 可数个闭集的并是闭集.（）2. 可数个可测集的并是可测集.（）3. 相等的集合是对等的.（）4.称 fx , g x 在 E 上几乎处处相等是指使fxg x 的 x 全体是可测集 .（）五、定义题1. 简

4、述无限集中有基数最小的集合，但没有最大的集合.2. 简述点集的边界点，聚点和内点的关系.3. 简单函数、可测函数与连续函数有什么关系？4. a,b 上单调函数与有界变差函数有什么关系？六、计算题x2x Ef x dx .1. 设 f x3x，其中 E 为 0,1 中有理数集，求x0,1 E0,12.设 rn为 0,1 中全体有理数， f n1xr1 , r2 ,L rnxx0,1，求0r1, r2 ,L rnlimf n x dx .n0,1七、证明题1证明集合等式：( A B) U BA U B2设 E 是 0,1 中的无理数集，则E 是可测集，且mE13设 f ( x), g( x) 是

5、E 上的可测函数，则E x | f ( x)g( x) 是可测集4设 f ( x) 是 E 上的可测函数，则对任何常数a 0 ，有1| f ( x) |dxmE x | f ( x) | aaE5设 f ( x) 是 E 上的 L可积函数， En 是 E 的一列可测子集，且 lim mEn0 ，则nlimf (x)dx0nEn实变函数试题库及参考答案（1）本科一、填空题1.= 2.3. 闭集 4. 开集 5.6.=7.可测集8.可测9. fxg x10.可积二、单选题ABB三、多选题ACD ABABDABC四、判断题× 五、定义题1. 答：因为任何无限集均含有可数集，所以可数集是无限

6、集中基数最小的，但无限集没有基数最大的，这是由于任何集合 A ， A 的幂集 2A 的基数大于 A 的基数 .2. 答 : 内点一定是聚点，边界点不一定是聚点，点集的边界点或为孤立点或为聚点.3. 答：连续函数一定是可测函数；简单函数一定是可测函数；简单函数可表示成简单函数或连续函数的极限4. 答：单调函数是有界变差函数，有界变差函数可表示成两个单调增函数之差.六、解答题1. 解：因为 mE0 ，所以fxx3, ae. 于 0,1 ，于是fx dxx3dx ，0,10,1而 x3 在 0,1 上连续，从而黎曼可积，故由黎曼积分与勒贝格积分的关系，x3dxR x3dxx41|1010,10441

7、因此fx dx.0,142.解：显然fn x 在 0,1 上可测，另外由fn x 定义知，fn x0, a.e 于 0,1n1所以f n x dx0dx 00,10,1因此 limfn x dx0n0,1七、证明题1. 证明( A B) U B( A I Bc) U B( A I Bc ) U ( A I B) U BA I ( B U Bc ) U BAU B2. 证明设 F 是 0,1 中的有理数集，则F 是可数集，从而m* F0 ，因此 F 是可测集，从而 F c 可测，又 E0,1F0,1 I F c ，故 E 是可测集 .由于 E I F，所以1m0,1m(E U F )mEmF0m

8、F ，故 mF13. 证明 设 rn 为全体有理数所成之集，则E x | f ( x)g( x)U E x | f ( x) rn g( x) U E x | f (x) rn I E x | g (x) rn n 1n 1因为f ( x), g ( x) 是 E 上的可测函数，所以E x | f ( x) rn ， E x | g(x)rn 是可测集，n 1,2,L，于是由可测集性质知 E x | f ( x)g (x) 是可测集4.证明因为 f ( x) 在 E 上可测，所以| f ( x) |在 E 上非负可测，由非负可测函数积分性质，adx| f ( x) | dx| f ( x) | dxE x| f ( x)| aE x | f ( x)| a E而adxa mE x | f (x) |a ，所以E x | f ( x)| a1mE x | f (x) |a| f ( x) |dxa E5.证明因