康托尔集合论

1、康托尔集合论集合论是19世纪70-80年代由德国数学家康托尔创立，它建立在一种无限观一一实无限”的基础上。所谓 实无限”即把 无限”作为一个已经完成了的观念实体来看待。例如，在集合论中用N=n : n是自然数表示全体自然数的集合就是如此。需要指出的是，在此之 前的几千年数学发展史中，占主导地位的是另一种无限观，即古希腊哲学家亚里士多德所主张的 潜无限”观念。所谓 潜无限”是把 无限”作为一个不断发展着的、又永远无法完成的 过程来看待。例如，把自然数看成一个不断延伸的无穷无尽的序列1, 2, 3,，n,就是如此。集合论是数学观念和数学方法上的一次革命性变革，由于它在解释旧的数学理论 和发展新的数

2、学理论方面都极为方便，因而逐渐为许多数学家所接受。实数理论奠定在集合论的基础上，而且各种复杂的数学概念都可以用集合”概念定义出来，而各种数学理论又都可以 嵌入”集合论之内。因此，集合论就成了全部数学的基础，而且有力地促进了各个数学 分支的发展。现代数学几乎所有的分支都会用到集合这个概念。康托尔集， 格奥尔格康托尔在1883年引入，是位于一条线段上的一些点的集合， 具有许多显著和深刻的性质。通过考虑这个集合，康托尔和其他数学家奠定了现代点集 拓扑学的基础。虽然康托尔自己用一种一般、抽象的方法定义了这个集合，但是最常见 的构造是康托尔三分点集，由去掉一条线段的中间三分之一得出。康托尔自己只附带介

3、绍了三分点集的构造，作为一个更加一般的想法一一一个无处稠密的完备集的例子。1 2康托尔集是由不断去掉线段的中间三分之一而得出。将基本区间0,1用分点， 与3 31 2三等分，并除去中间的开区间（一，一）。把余下的两个闭区间各三等分，并除去中间的开331 27 8区间（一，一），（一，-）。然后再将余下的四个闭区间同法处理，如此等等。这样便得到9 99 9康托尔三分集Po与开集GoGo =12127812781920，C）U（ o2 ，2）U（c 2 ，2 ）U（c 3 ，3 ）U（3 ，3 ）U（3 ，3）33333333333325U（ 3，33263 ）U-33Po是Go的补集。康托尔集就

4、是由所有过程中没有被去掉的区间0, 1中的点组成。康托尔三分集的性质及证明(1)Po是一个闭集，不含有任何区间。这是显然的，Go是任意个开集的并，所以Go仍是开集，Po是Go的补集，所以Po是闭集。这表明不含有任何区间的闭集是存在的。(2)Po是完全集证明：要证Po是完全集即证它不含有孤立点。假设Po有一孤立点Xo，则存在(a,3 )使(a,3 )中不含Po中除X。以外的任 点。所以(a，Xo) - Go, ( Xo ,B) Go。于是Xo将成为Go的某两个区间的公共端点，但由于Go的做法是不可能的。所以不存在这样的点 Xo，与假设矛盾，所以得证 Po是完全集。(3) Fo是不可列的证明：假设

5、Po是可列的，将Po中点编号成点列X! , X2，Xk，也就是说,Po中任一点必在上述点列中出现。Xi ,显然，o,1与2,!中应有一个不含有IL 3.IL3用Ii表示这个闭区间。将Ii三等分后所得的左与右两个闭区间中，应有一个不 含X2，用丨2表示它。然后用丨3表示三等分丨2时不含X3的左或右的那个闭区间,如此等等。这样，根据归纳法，得到一个闭区间列 I kk. N。由所述取法知,li 二 * 二二 4 二，Xk? Ik , k N,同时，易见Ik的长为 丿3k T 0 （ kT闵）。于是根据数学分析中区间套定理,存在点x ? Ik , k? N。可是x是Ik等的端点集的聚点，从而是闭集Po

6、的聚点,故X ? Po。由于上面已指出xk ? I k , k N,故x 1 xk, k?N。这是一个矛盾。故F0不可列。（4） P0的势等于d与0,1同势证明：引进1 20,1中小数的三进表示来考察区间（-，一）中每个点x可表示成33x=0.1 X2 X3，其中X2 , X3，是0 , 1, 2三个数字中之一。这区间的两个端点均有两种表示，规定采用（不出现数字1）:=0.0222 ，2§ =0.2000 ,、1278一、区间（2，），（2）中的点 x 可表示成 x=0.01 x3 x4 或 x=0.21 x3 x4 ,3333其中X3 , X4，是0, 1 , 2中任一数字。而区间

7、端点则采用（不出现数字1 ）：132 =0.0022 ，732 =0.2022 ,2g2 =0.0200 ，832=0.2200 。如此等等。根据归纳法分析可知， 依上述规定，G。中的点的三进表示中必有一位数字是1，且只有这样的点才属于G。因而F0与集A=0. X1 X2 X3 ：每个 Xk0, 2成一一对应。且 A显然与0,1对等，故A的势为d,从而R）的势为do（5） m P°=0证明：因为G°是开集由测度的定义有 m Po =1- m Go =1-1=01m G0=+322 +=132我们得到F0是一个测度为零的不可列集。(6) Fo是稀疏集因为Fo=F0，不能包含R中的任何一个邻域，所以 Fo不在R中的任何一