求函数定义域和值域方法和典型题归纳

1、精品资料欢迎下载<一 >求函数定义域、值域方法和典型题归纳一、基础知识整合1.函数的定义： 设集合 A 和 B 是非空数集， 按照某一确定的对应关系f，使得集合 A 中任意一个数x,在集合 B 中都有唯一确定的数f(x) 与之对应。则称 f:为 A 到 B 的一个函数。2.由定义可知：确定一个函数的主要因素是确定的对应关系（f ） , 集合 A的取值范围。 由这两个条件就决定了f(x) 的取值范围y|y=f(x),x A 。3. 定义域：由于定义域是决定函数的重要因素，所以必须明白定义域指的是：（ 1）自变量放在一起构成的集合，成为定义域。（ 2）数学表示：注意一定是用集合表示的范

2、围才能是定义域，特殊的一个个的数时用“列举法” ；一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。4. 值域：是由定义域和对应关系（ f ）共同作用的结果，是个被动变量，所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。（ 1）明白值域是在定义域A 内求出函数值构成的集合：y|y=f(x),x A。（ 2）明白定义中集合 B 是包括值域，但是值域不一定为集合 B。二、求函数定义域（一）求函数定义域的情形和方法总结1 已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。（ 1）常见要是满足有意义的情况简总：表达式中出现分式时： 分母一定满足不为 0；表达式中出现根号时 ：开奇次方时，

3、根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下满足大于或等于 0（非负数） 。表达式中出现指数时： 当指数为 0 时，底数一定不能为 0.根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0.表达式中出现指数函数形式时： 底数和指数都含有 x，必须满足指数底数大于 0 且不等于 1. （ 0<底数 <1; 底数 >1）表达式中出现对数函数形式时： 自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于 0，且式子本身有意义即可；自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大于0且不等于1.（ f (x)log x ( x21) ）注：（ 1）出现任何情形都是要注意，让所

4、有的式子同时有意义， 及最后求的是所有式子解集的 交集。（ 2）求定义域时， 尽量不要对函数解析式进行变形，以免发生变化。 ( 形精品资料欢迎下载如：x 2 )f ( x )x2. 抽象函数（没有解析式的函数）解题的方法精髓是“换元法”，根据换元的思想，我们进行将括号为整体的换元思路解题，所以关键在于求括号整体的取值范围。总结为：（1）给出了定义域就是给出了所给式子中x 的取值范围；（ 2）在同一个题中 x 不是同一个 x；（ 3）只要对应关系 f 不变，括号的取值范围不变。（ 4）求抽象函数的定义域个关键在于求 f(x) 的取值范围，及括号的取值范围。例 1：已知 f(x+1) 的定义域为

5、-1,1 ，求 f （2x-1 ）的定义域。解： f(x+1) 的定义域为 -1,1；（及其中x 的取值范围是-1,1） 0x12 ；（ x+1 的取值范围就是括号的取值范围） f(x) 的定义域为 0,2 ；（ f 不变，括号的取值范围不变） f(2x-1) 中02x121 3 x22 f(2x-1) 的定义域为13x |x223. 复合函数定义域复合函数形如： y f ( g( x) , 理解复合函数就是可以看作由几个我们熟悉的函数组成的函数，或是可以看作几个函数组成一个新的函数形式。例 2：若函数 f ( x)的定义域为 ( 2,3), g(x)f ( x 1)f (x 2),求 g(x

6、)的定义域。分析：由题目可以看出 g(x) 是由 y=x+1 、y=x-2和 y=f(x)三个函数复合起来的新函数。此时做加运算，所以只要求出f(x+1) 和 f(x-2)的定义域，再根据求函数定义域要所有式子同时满足，即只要求出f(x+1)和 f(x-2) 的定义域的交集即可。解： 由 f(x) 的定义域为（ -2,3 ），则f(x+1) 的定义域为（ -3,2 ）， f(x-2)的定义域为（ 0,4）；3x20x，解得 0<x<24所以， g(x) 的定义域为（0,2 ） .精品资料欢迎下载（二）求定义域的典型题1. 已知函数解析式（1）求下列函数的定义域(1) f ( x)x

7、1;(2)01;(3)f ( x)x214f ( x) ( x 1)x2 3x;x31(4) f ( x)( x1)x 2 ;(5)f ( x)log (2 x 3) ( x21 );(6)f (x)21x21.4x（2）求下列函数的定义域lg( x2)f ( x)(1)f (x)1;(2)xx1;(4)f ( x)(3) f ( x)1 log 1x2(3) 与函数定义域有关的问题题1 2x1 ;x216xx2若函数 f (x)x4的定义域为 R，求实数 m的取值范围。x2(2 m1)x m2函数 ykx22kxk6 的定义域为 R，求 k 的取值范围。函数 f ( x)mx26mxm8 的

8、定义域为 R，求 m的取值范围。2. 求抽象数定义域若函数 f(x)的定义域为（ -2,6），求 f (1 x1) 的定义域。2f (2 x) 的定义域。若数 f ( x)的定义域为 0,2,求函数 g( x)x1若数 f ( x1)的定义域为 -1,2,求函数g(x)f (x1的2)3x7定义域。若函数 f ( x)的定义域为 0,1,g( x) f ( x a)f ( xa),( a1 ) ，2求函数 g(x) 的定义域。精品资料欢迎下载若 f ( x)loga (x1), g ( x)log a (1x) ， (a0,且a1)，令F（ x） =f(x)-g(x),求 F（ x）的定义域。

9、二、求函数值域（一）求函数值域方法和情形总结1.直接观察法（利用函数图象）一般用于给出图象或是常见的函数的情形，根据图象来看出y 值的取值范围。2.配方法适用于二次函数型或是可以化解成二次函数型的函数，此时注意对称轴的位置，在定义域范围内（以a<0 为例），此时对称轴的地方为最大值，定义域为内端点离对称轴最远的端点处有最小值；对称轴在定义域的两边则根据单调性来求值域。总结为三个要点：（ 1）含参数的二次型函数，首先判断是否为二次型，即讨论a；（ 2）a 不为 0 时，讨论开口方向； （ 3）注意区间，即讨论对称轴。例 1：求 f ( x) x24x6在 1,5上的值域 .解：配方： f

10、(x)(x2) 22f(x) 的对称轴为x=2 在 1,5中间yminf (2)2（端点 5 离 x=2 距离较远，此时为最大值）ymaxf (5)11所以， f(x) 的值域为 2,11.3. 分式型（1）分离常量法：是可以看作整体为应用于分式型的函数，并且是自变量x 的次数为1，或1 的函数。 具体操作： 先将分母搬到分子的位子上去，观察与原分子的区别，不够什么就给什么，化为yd。a5x1的值域 .bxc例 2： 求 f ( x)4x25x15 (4x2)11057解： f ( x)444x24x242(4x2)精品资料欢迎下载由于分母不可能为0，则意思就是函数值不可能取到5 ，54即：函

11、数 f(x)的值域为 . y | y4跟踪练习：已知 f ( x) ax24(a1) x3(x0,2) 在 x=2 处有最大值，求 a 的取值范围 .1 ,2（ 2 ）利用 x20 来求函数值域：适用于函数表达式为分式形式，并且只出现 x2 形式，此时由于为平方形式大多时候x 可以取到任意实数，显然用分离常量法是行不通，只有另想它法（有界变量法）。例 3：求函数 f (x)3x21的值域 .x22解： 由于 x22 不等于 0，可将原式化为yx22y3x21即 ( y3)x21 2 y （由于 x20 ）只需 y3, 则有x21 2 y0( y 3) ( 1 2 y) 0y3所以，函数值域y1

12、,3 .2（ 3）方程根的判别式法： 适用于分式形式， 其中既出现变量 x 又出现 x 2混合，此时不能化为分离常量，也不能利用上述方法。对于其中定义域为R的情形，可以使用根的判别式法。例 4：求函数 y2x的值域x2 1精品资料欢迎下载解：由于函数的定义域为R，即x210原式可化为yx22xy0（由于 x 可以取到任意的实数，那么也就说总有一个 x 会使得上述方程有实数根，即方程有根那么判别式大于或等于 0，注：这里只考虑有无根，并不考虑根为多少）所以，44 y20所以，函数值域为y1,1跟踪练习：求下列函数值域（ 1） y11x2（ 3） y1( 4 y)x2（ 2） y1x21 x223x 61 xx（5）若 ylog 3mx28xn 的定义域为R，值域为0,2 ，求常数 m,nx21的值（ m=n=5）4. 换元法通过换元将一个复杂的问题简单化更便于求函数值域，一般函数特征是函数解析式中含有根号形式，以及可将问题转换为我们熟悉的函数形式等问题。而换元法其主要是让我们明白一种动态的方法来学习的一种思路，注重换元思维的培养，并不是专一的去解答某类问题，应该多加平时练习。注：换元的时候应及时确定换元后的元的取值范围。例 5：求函数 f ( x)2xx1 的值域解：