利用常数列求数列的通项公式

1、利用常数列求数列的通项公式一【问题背景】在数列On中，若an an,nN ,则数列an为常数列，其通项公式为aai.在 求一些递推数列通项公式时，若能根据其结构特点，合理地构造常数列是往往可化难为易， 轻松突破解题窠臼。构造常数列推导等差数列求和公式：在等差数列an中，an -'an= d,( n 丄 2, n N )，则 an nd uan-( n-"1)d , an -nd是一个常数列， a* - nd 二 ai -d ,：an 二 a(n - 1)d .而且，用此方法还很容易得到an -nd二am -md，即an二am (n - m)d .构造常数列推导等比数列求和公式

2、：在等比数列an中，虫 =q,(n _ 2,n N )，则肆二聽，書是一个常数列,anq q qanOindn -， an 二 aqqqan黑还可得ann -m-amq、【范例】n坤例1在已知数列an中，ai = 1, an卅=an (n匸N )，则a2°i6 =n +1n1分析与解：由 an 1 = an 得(n - 1)an T=nan, 2016a2016 =1 6n +12016例 2 已知数列an中，a1 =2,an41 = an+2n(nN*)，则解：由 an 1 =an ' 2n得an 1 -2n 1=an -2n ,- a100_2100二 a99 - 299

3、二 a1 -21,-a100-2100例3已知数列an中，a1二2,an 4an -3n 1(n N ),求数列an的通项公式.an - n a 1 - -114_4，4nan - n，二宀是常数列，4an 斗一(n +1)an n4n 1解:由 a.* =4a“ _3n +1 得已知数列an中，a1 =1, nan d = (n 2)an (n N ),求数列an的通项公式.解:由 nan 1a=(n 2)an得匚1n ，二 n是常数列,(n +1)( n+2)n(n+1) n(n+1)an 1ana1ann(n 1)1 2'n(n 1).例5已知数列an中,a1 =1,n a. 1

4、 =( n 1)an 1(nN ），求数列an的通项公式.解：由 nan 1 = (n - 1)anann11an=2n -1.解:已知数列an中，6=2色1= 4an1(n N )，求数列an的通项公式.由 an 1 = 4an1an11得 八3 二4an4n，畀1n 3是常数列,4nan1+ 3 4n1+ a47 n4 1 433设非零数列an满足anan 2二an12' (-1)n tnN ).当 a1 = 1, a2 = 2/ =3，求证：an!：；2 二 an 3an 1 证明：a2 +3由条件知爲27,a1由 anan 2二 a；1（-1）n1 得22 丄n+2an 2 anan 1an 2an - an _ an 13( _)_ anan 1a nan 1anan 1- an_ 3( _1)an1- an1 an Jan d _an Jan 1 anan 1an所以数列an 2 - an a3 _ a1an 1a2整理即得an 2 二 an 3an 1 a例8 设数列an满足d =1,a2 =2,an2an 12 ”（n1），求a.*与an之间的递推an 1厂，关系式 an 1 = f (an) 解:由 a1 =1月2 二 2,-an2 n： ；1a亠1斗 (n_1)易知对一切n-1, an=O ,an 1-1时，由已