利用点差法处理圆锥曲线的“中点弦问题”

1、专题复习：利用点差法处理圆锥曲线的“中点弦问题”【知识要点】已知直线与圆锥曲线交于 A, B两点，点P（x0,y0）为弦AB的中点，由点差法可得出以下公式:1.2椭圆：（1）焦点x在轴上：2 ' a2b2=12.3.焦点y在轴上:双曲线：（1）焦点x在轴上:焦点y在轴上:抛物线：（1）焦点x在轴上:焦点y在轴上:2y2a2y2ax2b2'y2 = mxx2 = my b2x2 ay。2 ax0b2y0b2x2 ay°2 ax._b2y0m2y°mkAB2xokAB【例题分析】类型1：已知曲线及弦的中点，求直线2 2【例1】 已知直线l与椭圆-1交于过点A,

2、B两点，若线段 AB的中点恰好为点 P（2，），64则直线丨的方程为 :【实战演练】（2009新课标全国卷）已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为 F（1,0），直线I与 抛物线C相交于代B两点，若AB的中点为（2, 2），则直线l的方程为.类型2:已知直线及弦的中点，求曲线【例2】已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （ J7，0），直线y = X-1与其相交于M、N两点,MN中点的横坐标为 -2，则此双曲线的方程为3-1(3 b 0)【实战演练1】(2014江西高考)过点M(1,1)作斜率为-丄的直线与椭圆2交于 代B两点，若M是的中点，则椭圆的离心率为 .2 2【实战演练2】(2013新课标

3、全国卷)已知椭圆E :冷召-1(3 b 0)的右焦点为F(3,0)，a b过点F的直线交E于A, B两点，若AB的中点为(1,-1)，则E的方程为 .类型3 :已知曲线及直线，求弦的中点【例3】已知直线-x 3与抛物线y2 =2x交于A, B两点，贝U AB中点坐标为 .【实战演练】(2013浙江高考)设F为抛物线C:y2 =4x的焦点，过点P(-1,0)的直线I交抛物线于代B两点，点Q为AB的中点，若 FQ = 2，则直线l的斜率为.【题型强化训练】x2111. (1)若椭圆y2 =1的弦被点(一，-一)平分，则这条弦所在直线方程为2222 2x y若直线y二x T与椭圆1相交于 代B两点，

4、贝U AB中点坐标为 .2.已知中心在原点，一焦点为42F (0, . 50)的椭圆被直线l : y = 3x - 2截得的弦的中点横坐标为则该椭圆的方程为.2 23已知直线y二-x 3与椭圆x2 y2 =1(a b 0)交于 代B两点，若AB中点为(2,1)，则该椭 a b圆的离心率为;24.直线l:ax-y-a，5 =0 ( a是参数)与抛物线f : y二x 1的相交弦是 AB，则弦AB的中点轨迹方程是；25 已知抛物线C: y=4x，直线I与抛物线C交于代B两点，若线段AB的中点坐标为(2,2),则直线l的方程为6. 已知直线丨与抛物线y2 =8x交于A, B两点，点M(2,2)为AB中

5、点，贝U S AO2兀7. 过抛物线y =2px(p 0)的焦点F ,且倾斜角为的直线与抛物线交于 A, B两点，若弦AB的4垂直平分线过点(0,2)U AOB的面积S aob二.2 28.已知椭圆 -1上总有不同的两点关于直线y =4x m对称，则实数 m的取值范围432 29.已知椭圆C:笃 厶=1 (a b 0)的右焦点为F(2,0),且过点P(2,.2).直线I过点F且交椭a b圆C于A、B两点若线段AB的垂直平分线与x轴的交点为M(丄,0 )，则直线l的方程为.22 211.已知双曲线T:笃-每a b2F3= 1(a0,b0)的右焦点为F(2,0)，且经过点R( ,0) , ABC的

6、3三顶点都在双曲线 T上，O为坐标原点，设 ABC三条边AB,BC, AC的中点分别为 M ,N, P ,1 1 1且三条边所在直线的斜率分别为匕*2加，若kOM ' kON k o -1，贝U.k1 k2 kg12.已知 ABC的三个顶点都在抛物线 y2 =32x上，其中A 2,8，且 ABC的重心G是抛物线的焦点，求直线BC的方程.13 过点0,2的直线I与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点,21 一直线y x过线段AB的中点，同时椭圆 C上存在一点与右焦点关于直线I对称.2(1)求直线I的方程；(2)求椭圆C的方程.X2V2f 9)14.已知椭圆 +=1上

7、三点A(x“ yi ), B . 4,-，C(x2,y2 )与焦点F(4,0 )的距离成等差数列25 9I 5 丿(1)求证：x1 x2 =8 ； (2)若线段AC的垂直平分线与x轴交于点T ,求直线BT的斜率k .2 2Fi, F2，离心率为短轴长为2 。15.已知椭圆 笃爲=l(a b 0)的左右焦点分别为a b(1)求椭圆的标准方程;(2)若过点F1的直线丨与椭圆交于M ,N两点，且B fN a，求直线l的方程.16.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，一个顶点为(0, -1)，且右焦点到直线2 2 =0的距离为3.( 1)求椭圆的标准方程；1(2)若过点Q(,1)的直线l与椭圆交于 M , N两点，且BM二BN，求直线l的方程.42 21