二重积分的计算

1、一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分二重积分的计算上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页如果D是X型区域: D=(x, y)|j1(x)yj2(x), axb, 则 v在直角坐标系下二重积分的计算注: 由 x, y 取定值的平行直线网划分积分区域, 面积元素 .ddxdy=21( )( )( , )( , )bxaxDf x y df x y dy dxjj= xyOddxdy=( , )Df x y dxdy上页下页铃结束返回首页 二、利用极坐标计算二重积分v坐标变换公式cossinxy=( , )P x yOyxv面积元素提示: 用从极点 O 出发的一族射线与以极点

2、为中心的一族同心圆构成的网将区域 D 划分. 小区域 i 的面积iiiiddd =上页下页铃结束返回首页jjdfdddfD=)()(21)sin,cos()sin,cos( ddfdyxfDD)sin,cos(),(=. v在极坐标系下的二重积分v在极坐标系下二重积分的计算 如果积分区域可表示为 D: j1()j2(), , 则jjdfdddfD=)()(21)sin,cos()sin,cos(. 上页下页铃结束返回首页提示: jdfdddfD=)(020)sin,cos()sin,cos(. 讨论: 区域如下图, 如何确定积分限?(1)(2)(2) jdfdddfD=)(020)sin,co

3、s()sin,cos(1) jdfdddfD=)(0)sin,cos()sin,cos(jdfdddfD=)(0)sin,cos()sin,cos(. 上页下页铃结束返回首页2: 02, 12.Dyxxx 解 积分区域如图示, 表示为 型区域: 0,4D1x =222xyx=22yxx=22 cos=2提示: xyOsec2cos 例1 化 为极坐标形式的二次积分,其中( , )Df x y d122yxx=cos1=sec=2cos=( , )Df x y d2cos40sec( cos ,sin )dfd =上页下页铃结束返回首页xyO222xy=xy=2:2, 01.Dyxyy 解 积分

4、区域如图示, tan sec2 例2 化 为极坐标形式的二次积分,其中( , )Df x y d240tan sec( cos ,sin )dfd =表示为 型区域: 0,4Dxy=22sincos=提示: 2yx=tan sec=( , )Df x y d上页下页铃结束返回首页 解 积分区域如图示, 表示为 型区域:2xy=2xy=xyO2212( , )yydyf x y dx 例3 化 为极坐标形式的二次积分.:,42D2y =cos2sin=2cossin=提示: 2xy=sin2=2csc=22csccossin212( , )yydyf x y dx1/22csc/42(cossi

5、n )( cos ,sin )dfd =上页下页铃结束返回首页2: 02, 01.Dyxxx 解 积分区域如图示, 表示为 型区域, 分两部分: 例4 化 为极坐标形式的二次积分,其中22()Df xydxdy22yxx=xyO11: 0,4D0sec ;2:,42D02cos .22()Df xydxdy/4sec200()dfd =/22cos2/40()dfd 上页下页铃结束返回首页 利用上述结果可以计算广义积分dxex20 . 解 例 5 计算Dyxdxdye22, 其中 D 是由中心在原点、半径 为a的圆周所围成的闭区域. 在极坐标系中, 闭区域D可表示为: 0a , 02 . 于是

6、 =DDyxddedxdye222=DDyxddedxdye222 deddeaa02020021 22 =deddeaa02020021 22 =)1 ()1 (212220aaede=)1 ()1 (212220aaede=. 注: 同济五版P89-90 上页下页铃结束返回首页02acos , 2 0. 例6 求球体x2y2z24a2被圆柱面x2y2=2ax所截得的(含在圆柱面内的部分)立体的体积. 解 由对称性, 立体体积为第一卦限部分的四倍. =DdxdyyxaV22244, 其中 D 为半圆周22xaxy=及 x 轴所围成的闭区域. 在极坐标系中D可表示为 上页下页铃结束返回首页 例6 求球体x2y2z24a2被圆柱面x2y2=2ax所截得的(含在圆柱面内的部分)立体的体积. 解 由对称性, 立体体积为第一卦限部分的四倍. 在极坐标系中D可表示为 )322(332)sin1 (33222032=ada)322(332)sin1 (33222032=ada. 于是 =20cos2022224444aDdadddaV=20cos2022224444aDdadddaV 02aco