基与维数的求法

1、线性空间基和维数的求法（邓云斯、李秀珍、高华艳）方法一 （定义法 ）:根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数,即：在线性空间 V 中，如果有 n 个向量 1, , n 满足 :（1） 1, 2 , n 线性无关； （2） V 中任一向量 总可以由1, 2, , n线性表示 . 那么称 V为 n维（有限维）线性空间， n为V的维数，记为 dimv n， 并称 1, 2, , n 为线性空间 V 的一组基 .如果在 V 中可以找到任意多个线性无关的向 量，那么 V 就成为无限维的 .0a例 1 数域 P 上全体形如 的二阶方阵， 对矩阵的加法及数与矩阵的乘法所组成的线 ab性空间，求此空间的维

2、数和一组基 .01,000a解易证为线性空间Va,bp的一组线性无关的向量1001ab0a0a0100组，且对 V 中任一元素有a+babab10010 1 0 0按定义 ,为V 的一组基， V 的维数为 2.1 0 0 1 方法二 （维数确定基法 ）:在已知线性空间的维数为 n 时，任意 n 个向量组成的线性无关向量组 均作成线性空间的基 .例 2 假定 R x n 是一切次数小于 n 的实系数多项式添上零多项式所形成的线性空间， 证明： 1, x 1 , x 1 2 ,L , x 1 n 1 构成 R x n 的基 .n1 证明 k1 1 k2 x 1 L kn x 1 0 由xn 1的系

3、数为 0得kn 0 ，并代入上式可得 xn 2的系数 kn 1 0 依此类推便有 kn kn 1 L k1 0 ，n1故1, x 1 ,L , x 1 n 1 线性无关n1又R x n的维数为 n ,于是1, x 1 ,L , x 1 n 1为R xn的基.方法三 （利用同构求维数法 ）:数域 p 上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数 .01例3设A10，证明：由实数域上的矩阵 A 的全体实系数多项式 f A 组成的空间Vf A A01与 复 数 域 C 作 为 实 数 域 R 上 的 线 性 空 间10V'a bia,bR同构，并求它们的维数 .证明 V 中任一多

4、项式可记为 f A =aE bA, a,b R ，建立V'到V 的如下映射 : 1 a1 b1if1 A a1E b1A a1,b1 R易证 是V'到V 上既是单射又是满射即一一映射 .再设 2 a2 b2i, a2,b2 R,K R，则有12a1 a2 b1 b2 ia1 a2 E b1 b2 Ak1ka1 kb1ika1E ka1A k x1故 是V'到V 的同构映射，所以 V 到V'同构 另外，易证 V '的一个基为 1，i，故 dimV' 2QV ; VdimV 2方法四 （求可逆矩阵确定基法 ）：设 1, 2,L , n与 1, 2,L

5、 , n是n维线性空间 V 中两组向量，已知1, 2,L ,n可由 1, 2,L ,n 线性表出1a111 a21 2Lan1 n2a121 a22 2Lan2 nna1n1 a2n 2Lann na11令Aa21an1a12La1na22 Lan2 Lanna2n如果1, 2 ,Ln为V 的一组基，那么当且仅当 A可逆时，2,L , n也是V 的一组基 .例4已知 1,xx2,x3 是 p x证明因为0xx2x31111x2所以 1,1 x, 1x2方法五 ( 向量等价求基法空间的一组基 .24 的一组基，证明 1,1 x, 1 x , 1 x 也是 p x 4 的一组基 .x3x33也为

6、p x 4 的一组基 .):如果空间 V 中一向量组与 V 中一组基等价，则此向量组一定为此例 5 设R x 2表示次数不超过 2 的一切实系数一元多项式添上零多项式所构成的线性空间的一组基，证明 x2 x,x2x,x 1 为这空间的一组基 .证明 k1x2x2k3 x 1 0则 k1 k1 k3k2k20k3解得 k3k1是 x2x,x2 x,x1线性无关，它们皆可由 x2, x,1线性表示，因此 x2x,x2 x,x 1 与2x ,x,1等价，从而22R x 2 中任 意多项式皆 可由 x2 x,x2 x,x 1线 性表示， 故x2 x,x2 x,x 1为 R x 2的基 .方法六（求两个

7、子空间交集的基确定维数法） ：对以一组向量 1, 2, 1, 2 为列向量做成的 矩阵施行行初等变换和列初等变换， 不改变矩阵 1, 2, 1, 2 间的线性关系 .任何一个 m nIr B矩阵 A ，总可以通过行初等变换和列变换化为标准阶梯型矩阵： r，其中I r表示 r 阶0 0 r单位矩阵 .依据这两个定理，我们可以很方便地求出V1I V2 的一个基，从而确定了维数 .例 6 设 V1 L 1, 2 ,V2 L 1, 2 是 数域 F 上 四维 线性空 间的 子空间， 且1 1,2,1,0 , 2 1,1,1,1 ; 1 2, 1,0,1 , 2 1, 1,3,7 .求V1 I V2 的

8、一个基与维 数.解 若 r V1 I V2 ，则存在 x1,x2, y1, y2 F ，使r x1 1 x2 2 y1 1 y2 2 （1 ）即有 x1 1 x2 2 y1 1 y2 2 0 （2 ）若 1, 2, 1, 2线性无关，（ 2）仅当 x x2 y1 y2 0 时成立那么 V1 I V2是零子空间，因而没有基，此时维数为0 ，V1 V2是直和若存在不全为零的数 x1,x2,y1, y2使（ 2 ）成立，则 V1I V2有可能是非零子空间 若为非零子空间，由（ 1）便可得到基向量 r .以1, 2 ,1,2为列向量作矩阵A ，经行初等变换将A 化为标准阶梯形矩阵 A112110 0

9、1211101 0 4A1103 行初等变换 00 1 3A011700 0 0214231r1423 1 25,2,3,4是V1 I V2的一个基dimV1IV21同时知， 1, 2是V1的一个基， dimV1 21, 2 是V2的一个基， dimV2 21, 2, 1, 2 是V1 V2 的一个基， dim V1 V2 秩 A =3方法七 （极大无关组确定基法 ）:线性空间 V 中任意一个向量，都可以表示成 V 中的一组线性无关向量组的线性组合，则这一组线性无关向量组就是 V 的基 .例 7 求V1 L（ 1， 2）与V2 L（ 1， 2） 的交的基和维数 .1 （1,2,1,0） 1 （

10、2， 1,0,1） 设，2 （ 1，1,1,1）2 （1， 1,3,7）解 任取V1 I V2 ，则V1，x11x22 ，且V2，y1 1y22 ，V1 V2中将 线性表出）x1 1 x2 2 y1 1 y2 （注：此时 虽然已表成一线性组合的形式， 但它仅仅是在 V1 、x11 x22 y11 y20 ，求 x1,x2,y1,y2x1x22y1 y202x1x2y1 y20x1x23y20x2y1 y20解得 （x1,x2,y1, y2)(k,4k,3k,k)k( 14 2)k(312) k(5, 2,3, 4)故V1IV2是一维的，基是(5,2,3,4)V2 中的表示，并非本题所求，即要在

11、空间易知 （5, 2,3,4） 是非零向量，是线性无关的 .方法八（利用维数公式求子空间的基和维数法） ：按维数公式求子空间的交与和的维数和基维 数 公 式 ： 如 果 V1,V2 是 有 限 维 线 性 空 间 V 的 两 个 子 空 间 ， 那 么 dim V1 dim V2 dim V1 V2 dim V1 I V2例 8 已知 1 3, 1,2,1 , 2 0,1,0,2 1 1,0,1,3 , 2 2, 3,1, 6 求 由向 量1, 2生成的 p4的子空间 V1 L 1, 2 与向量 1, 2 生成的子空间 V2 L 1, 2 的交 与和空间的维数的一组基 .解因为 V1V2 L

12、1,2, 1,2 ，对以1, 2, 1, 2 为列的矩阵施行行初等变换301200 0 0110311 0 3A201100 1 1B123600 0 3秩 A 秩B3，所以 V1V2 的维数是 3且1, 2,1,2为极大线性无关组，故它们是V1 V2 的一组基 .又由 1, 2线性无关知 V1的维数为 2，同理 V2的维数也为 2，由维数公式知 V1I V2的维数 为 2 2 3 1.从矩阵 B 易知 1 2 1 2 2,故 1 2 3, 3,2, 3 是V1,V2公有的非零向量，所以 它是交空间 V1I V2 的一组基 .方法九 （替换定理法 ）:由替换定理确定交空间的维数 .替换定理：设

13、向量组1, 2,L , r线性无关，并且 1, 2,L , r 可由向量组 1, 2,L , s线性表出，那么1 r s2 必要时可适当对 1, 2,L , s 中的向量重新编号，使得用 1, 2,L , r 替换1, 2,L , r后所得到的向量组 1, 2,L , r, r 1,L , s与向量组 1, 2,L , s等价. 特别，当 r s时，向量组 1, 2,L , s与向量组 1, 2,L , s 等价 .例 9 已知向量组 1 2,0,1,3 , 2 0,3,1,0 , 3 1,2,0,2 , 4 2,6,3,3 , 设它们是 向量组 1, 2, 3的线性组 合， 又设 向量 组 r1,r2,L ,rm与向量 组 1, 2, 3等价， 试求 r1,r2,L , rm生成的空间的交空间的基和维数 .201304031003解120212263306显然1,2,3