高等数学 (自动保存的)

1、uu1.正项数项级数的敛散性：要点一：正项级数是可以缺项的(因为正项级数的每项大于等于零)交错级数不可以(因为交错级数的每一项都大于零)(交错级数的第一项可以是正的值，也可以是负的值)要点二：正项级数的前n项和数列是单调递增的，如果正项级数的前n项和数列有上界(有界),正项级数的前n项和数列在n趋于无穷大时的极限存在，正项级数的值存在要点三：正项级数的值存在，正项级数的前n项和数列的在n趋于无穷大时的极限存在(级数的前n项和数列的极限是级数的另一种表达形式，所以级数的前n项和数列的极限存在等价于级数收敛)，正项级数的前n项和数列有上界(有界)要点四：两个正项级数的通项的值一大一小(构造两个值一

2、大一小的正项级数的通项的方法是，观察题干中的无穷级数的通项中是否有小于一的式子进而可以将通项放缩成常见的正项级数)，通项的值大的正项级数收敛，通项的值小的正项级数收敛，通项的值小的正项级数发散，通项的值大的正项级数发散要点五：两个正项级数的通项是n趋于无穷大时的无穷小(根据等价无穷小替换，泰勒公式，无穷小比阶的定义判断题干中的正项级数的是无穷小(有时也需要判定，如根据数列的极限存在，数列必须是某个未定式)的通项是否是常见的正项级数的通项的同阶，高阶，等价无穷小)，且u是v的高阶无穷小，u对应的正项级数发散，v对应的正项级数发散，v对应的正项级数收敛，u对应的正项级数收敛；且u是v的同价无穷小，

3、u对应的正项级数与v对应的正项级数的敛散性相同要点六：正项级数的n+1项除正项级数的n项在n趋于无穷大时的极限存在，极限大于1，正项级数发散，级数小于1，正项级数收敛要点七：正项级数的通项复杂，可以先求正项级数的通项在n趋于无穷大时极限的值是否为0，若不是，正项级数发散(级数收敛的必要条件)要点八：正项级数的通项复杂(含有n项连乘的式子),通项含有参数，用要点六的方法处理要点九：级数的结论(级数的通项乘不为零的常数得到的新的级数与原来的级数有相同的敛散性)(级数的项的无穷多一部分项组成的新的级数与原来的级数有相同的敛散性)(所以收敛级数的前n项和数列在n趋于无穷大时的极限等于收敛级数的前n-1

4、项和数列在n趋于无穷大时的极限，所以收敛数列的通项在n趋于无穷大时的极限是零)(级数的项与一部分有限的项组成的新的级数与原来的级数有相同的敛散性)(通过括号对级数的项重新组合得到的新的级数与原来的级数有相同的敛散性，是充分条件，其逆否命题是判定级数发散的依据)(通项是收敛级数的通项与发散级数的通项的线性组合的级数是发散的) (通项是发散级数的通项与发散级数的通项的线性组合的级数的敛散性不能确定) (通项是收敛级数的通项与收敛级数的通项的线性组合的级数的和是收敛级数的和与收敛级数的和的线性组合)要点十：正项级数收敛，组成正项级数的项数是偶数的项组成的级数是收敛的，组成正项级数的项数是奇数的项组成

5、的级数是收敛的2.不等式的证明要点一：证明不等式要转化成证明辅助函数在定义区间或者定义区间的子区间上的函数值大于(等于)零或者小于(等于)零（借助辅助函数的导函数判断辅助函数在定义区间或者定义区间的子区间(根据辅助函数的驻点不可导点无定义点划分的定义区间的子区间，根据辅助函数的特点=辅助函数的定义域+辅助函数的性态，特别是奇偶性划分的定义区间的子区间，根据不等号的朝向划分的定义区间的子区间)上的单调性，根据定义区间的函数值是零或者极限值是零的端点或者定义区间的子区间的函数值是零或者极限值是零端点，判断辅助函数在定义区间或者定义区间的子区间的点对应的函数值大于(等于)零或者小于(等于)零）要点二

6、：辅助函数的构造以求导方便为原则(分式转化为整式，式子之间的幂运算转化为乘法运算)定义区间的选取以合适为原则(辅助函数有奇偶性，选择辅助函数的由值是正的自变量组成的定义区间)要点三：重要不等式要点四：中值定理可以在可导可积函数与可导可积函数的导函数与可导可积函数对应的变上限积分函数之间建立联系，为根据三者中的一者符合的不等关系判断其它两者符合的不等关系创造条件要点五：正弦函数的绝对值小于等于(自变量为零）自变量的绝对值要点六：两部分的和的绝对值小于等于两部份绝对值的和，两部分差的绝对值大于等于两部分绝对值的差的绝对值要点七：非负数的算术平均数不小于非负数的几何平均数(乘积开根号)要点八：某一部

7、分小于等于某一部分加非负部分，在可除的条件下，某一部分除某一部分加非负部分的值小于等于一，该性质是放缩不等式的工具3.方程根的问题要点一：讨论方程根的个数要转化成讨论辅助函数在定义区间或者定义区间的子区间(根据函数的驻点不可导点无定义点划分的定义区间的子区间，根据辅助函数的特点=辅助函数的定义域+辅助函数的性态，特别是奇偶性划分的定义区间的子区间)上的零点的个数要点二：讨论的一般方法，验证辅助函数在定义区间或者定义区间的子区间上是否符合零点定理(广义的零点定理)(定义区间或者定义区间的子区间的端点的函数值或者极限值正负号相同，根据定义区间或者定义区间子区间内的函数值与定义区间或者定义区间的子区

8、间的端点的函数值或者极限值正负号不同的点对定义区间或者定义区间的子区间进一步划分)以明确辅助函数的定义区间或者定义区间的子区间内是否存在零点，明确辅助函数在定义区间或者定义区间的子区间上的单调性以明确辅助函数的定义区间或者定义区间的子区间内的零点是否有唯一性要点三：讨论的特殊方法，验证辅助函数在定义区间或者定义区间的子区间上是否符合零点定理（广义的零点定理）时，发现定义区间或者定义区间的子区间的端点对应的函数值或者极限值含有参数，验证该端点是否是极小值点，分情况讨论极小值与零的关系，关系不同，参数不同，辅助函数在定义区间或者定义区间的子区间上的零点的个数不同要点四：讨论的特殊方法，辅助函数在定

9、义区间或者定义区间的子区间上的零点比辅助函数的导函数在定义区间或者定义区间的子区间上的零点多一个要点五：讨论函数交点的个数要转化成讨论方程根的个数要转化成讨论辅助函数在定义区间或者定义区间的子区间上的零点个数4.原函数(概念相关)要点一：函数的定义区间或者定义区间的子区间内有可去间断点，跳跃间断点（第一类间断点），无穷间断点，不存在定义在函数的定义区间或者定义区间的子区间上的另一个导函数是函数的函数要点二：函数是可导的有奇偶性的函数，函数的导函数是有奇偶性的函数，奇偶性与函数的奇偶性相反要点三：函数是可导的有周期性的函数，函数的导函数是有周期性的函数，周期与函数的周期相同要点四：可导函数的导函

10、数在定义区间上有界，可导函数在定义区间上有界（不等式的证明要点四）5.定积分(概念相关)要点一：定义在闭区间上的连续函数可积要点二：定义在闭区间上的，在闭区间内有有限个间断点的函数可积要点三：函数在某个区间上可积，函数在某个有限区间上有界（变上限积分函数的定义区间一定是有限区间）要点四：变上限积分函数是连续函数，变上限积分函数中的被积函数是连续函数，变上限积分函数是可导函数，变上限积分函数是变上限积分函数中的被积函数的原函数（变上限积分函数中的被积函数的间断点是变上限积分函数的不可导点）(变上限积分函数不一定是变上限积分函数中的被积函数的原函数)要点五：下限是零的变上限积分函数中的被积函数有奇

11、偶性，下限是零的变上限积分函数有奇偶性，奇偶性与被积函数的奇偶性相反要点六：下限是非零常数的变上限积分函数中的被积函数是奇函数，下限是非零常数的变上限积分函数是偶函数要点七：下限是非零常数的变上限积分函数中的被积函数是周期函数被积函数在长度的值是周期的值的区间上的定积分是零，下限是非零常数的变上限积分函数是周期函数，且周期是被积函数的周期(充要条件)要点八：可积分的周期函数在长度的值是周期的值的区间上的定积分是定值6.一阶线性微分方程要点一：变量可分离型的一阶微分方程(恒等变形实现等号的两边只有因变量或者只有自变量，对等号两边的式子同时积分)齐次型的一阶微分方程(替换因变量为自变量与替换变量的

12、乘积，替换变量是自变量的函数)线性一阶微分方程(微分的比值+因变量乘函数一等于函数二，等式两边同乘与因变量相乘的函数的不定积分与指数函数的复合函数)（解一阶微分方程优先通过恒等变形式使微分方程中出现微分的比值）要点二：求解一阶微分方程的过程中默认分母不等于零，求出的含一阶微分方程的阶数个独立常数的通解，不一定是一阶微分方程的全部解，如果需要求出一阶微分方程的全部解，需要分析分母等于零的条件下，一阶微分方程是否有解要点三：齐次微分方程与非齐次微分方程的关系是，去掉非齐次微分方程中的已知函数，非齐次微分方程转化为齐次微分方程要点四：齐次微分方程与非齐次微分方程的关系是，非齐次微分方程的通解等于齐次

13、微分方程的通解+非齐次微分方程的一个特解要点五：在已经求出未知函数的情况下，才可以根据初始条件确定未知参数7.二重积分要点一：在轴对称的积分区域的两对称部分内取点-判断两对称部分内的点对应的二元函数的关系-判断轴对称的积分区域对应的二重积分是否为零要点二：将二重积分的积分区域的解析表达式的X替换成Y(-Y)(-X),Y替换成X(-X)(-Y),二重积分的积分区域的解析表达式不变，说明二重积分有轮换对称性(对二重积分的积分函数，积分区域的解析表达式中的字母做任意替换，二重积分的积分函数变化，二重积分的积分区域的面积不发生变化，在xoy面中的位置不发生变化，有轮换对称性的二重积分，二重积分的积分区

14、域不发生变化)要点三：射线长度是角度的函数，通过二重积分的积分区域的解析表达式解出；解出r=1，注意被积函数的替换，考虑几何意义；积分区域是圆域的二重积分建议使用极坐标计算的原因是其对应的射线-角度函数的定义域内的所有点对应的函数关系是相同的要点四：积分区域的解析表达式是圆的方程，画出积分区域的草图的前提是确定圆的圆心在xoy面中的位置-圆的半径在xoy面中对应的线段的长度(线段的长度平方的值有可能是组成圆的圆心的非零部分的坐标的平方的和的值)-确定XY的正负以确定积分区域是圆的全部还是圆的一部分要点五：积分区域的解析表达式是不等式，画出积分区域的草图的前提是确定基本区域的下界(解析表达式是等

15、式)的图形表达式(曲线)和上界的图形表达式，上下界的图形表达式与附加条件的图形表达式围成的封闭图形是积分区域的草图要点六：确定上下限确定方便的变量的上下限(组成变量在轴上的投影的点的坐标的非零部分)(负的二重积分的被积函数可以通过交换二重积分对应的累次积分的上下限变为正的函数=不是二重积分的积分函数，有一种命题手段是考察能否根据交换上下限后的累次积分确定正确的二重积分的被积函数)-做垂直于上下限确定方便的变量的取值范围在xoy面中对应的线段的直线初次确定上下限确定不方便的变量的上下限-视上下限确定方便的变量为常数，根据积分区域的解析表达式再次确定上下限确定不方便的变量的上下限-根据变量的上下限

16、写出二重积分的累次积分形式要点七：使用极坐标求二重积分时，可以根据角度的正切等于切线的斜率确定角度的值要点八：积分区域的草图关于横轴或者纵轴对称，取关于横轴或者纵轴对称的一组点-带入函数，根据函数的值的正负(根据函数的奇偶性判断函数的值的正负，函数的奇偶性无法判断，根据函数的导函数的奇偶性判断函数的奇偶性,函数=下限是零的，被积函数是函数的导函数的变上限积分函数)判断定义在轴对称的积分区域或者轴对称的积分区域的一部分上的二重积分是否有普通对称性要点九:被积函数是线性函数的二重积分等于被积函数是线性函数的子函数的二重积分的线性组合，为利用二重积分的普通对称性化简化二重积分的计算创造条件要点十：计

17、算属于二重积分的积分区域不同部分的点对应的函数值不同的二重积分(特别是积分函数是绝对值函数，最值函数，取整函数，符号函数)转化为计算积分区域是二重积分的积分区域的不同部分多个二重积分要点十一：计算积分区域是规则图形的线性组合的二重积分转化为计算积分区域是规则图形的若干个二重积分的线性组合要点十二：二重积分的被积函数是抽象函数的组合，考虑使用要点二的结论处理要点十三：二重积分的被积函数时抽象函数和具体函数的组合，考虑使用要点八，要点九处理要点十四：积分区域的解析表达式是射线-角度函数不是因变量-自变量(实际上两个都是自变量)函数，可以根据射线-角度函数，极坐标与直角坐标的关系，确定因变量的取值范

18、围，自变量的取值范围，角度的范围，进而画出积分区域的草图要点十五：根据二重积分画出积分区域的草图，可以把画出因变量-自变量函数的图形表达，根据自变量的上下限确定的自变量的取值范围，根据因变量的上下限确定的因变量的取值范围作为入手的角度要点十六：除题目要求外，交换积分次序一般基于简化不定积分的计算或者使不可计算的不定积分变成可计算的不定积分要点十七：积分区域是规则图形且积分区域的形心的坐标是明确的，被积函数是自变量，积分区域是规则图形的二重积分的值等于规则图形的面积乘自变量对应的组成形心的坐标的部分，被积函数是因变量，积分区域是规则图形的二重积分的值等于规则图形的面积乘因变量对应的组成形心的坐标

19、的部分(这种方法不可作为求二重积分的值的第一选择)8.多元微分要点一：根据二元函数的偏导函数等于零的条件确定二元函数各个驻点(自变量与因变量各由一个方程解出，二元函数的驻点是自变量与因变量的排列)-确定二元函数的三个二阶偏导函数在各个驻点处的函数值-根据二元函数的三个二阶偏导函数在各个驻点处的函数值确定二元函数的各个驻点的判别式的值-根据二元函数的各个驻点的判别式的值确定二元函数的各个驻点是否是二元函数的极值点要点二：拉格朗日函数的形式是多元函数与转化为齐次方程形式(应用型问题区分约束条件和多元函数的依据)的约束条件的线性组合，拉格朗日函数的自变量的个数是多元函数的自变量的个数加约束条件的个数

20、-根据拉格朗日函数的偏导函数等于零的条件确定拉格朗日函数的驻点-根据二元函数在拉格朗日函数的驻点的一部分组成的点上的函数值确定函数的最值要点三：确定多元函数在闭区域内的最值-根据多元函数的偏导函数等于零确定多元函数的在开区域内的驻点-确定多元函数在约束条件(闭区域的边界)下的驻点-比较多元函数在各个驻点处的函数值以及在某个约束条件下，多元函数在某个约束条件下转化成的一元函数在其定义区间内的最值，进而确定多元函数在闭区域内的最值要点四：组成极限的函数是二元函数，二元函数在某一点的函数值，二元函数的偏导函数在某一点的函数值，形式是二元函数的自变量与某一点的坐标的值的差的函数的线性组合除形式是二元函

21、数的自变量与某一点的坐标的值的差的平方的和的开方的无穷小，组成极限的趋向过程是使无穷小的极限是零的趋向过程，根据这个极限我们可以确定二元函数在某个点是否可微，确定二元函数的偏导函数在某个点处的函数值要点五：注意这个重要的观点，抽象型复合函数的导函数是因变量-中间变量函数的导函数乘中间变量-自变量的导函数，抽象型复合函数的导函数是因变量-第一个中间变量函数的导函数乘第一个中间变量-自变量的导函数加因变量-第二个中间变量函数的导函数乘第二个中间变量-自变量的导函数要点六:求二元函数的偏导函数在某一点的函数值，把二元函数转化成一元函数，把求二元函数的偏导函数在某一点的函数值转化成求一元函数的导函数在

22、某一点的函数值要点七：极限的唯一性是极限存在的充要条件，可以根据这个命题的逆否命题判断二元函数在某点的极限是否存在(取在定义区域内不同路径上的点，计算其对应的一元函数的极限,进而判断二元函数在某点的极限是否有唯一性，进而判断二元函数在某点的极限是否存在)要点八：二元函数的偏导函数在某一点连续-二元函数在某一点可微-二元函数在某一点的偏导数存在；二元函数在某一点可微-二元函数在某一点连续-二元函数在某一点的极限存在；二元函数在某一点可微分-二元函数在某一点连续-二元函数在某一点有定义9.一元函数微分学的经济应用要点一：可变成本-产量函数的导函数是边际成本-产量函数要点二：总收益-销售量函数的导函

23、数是边际收益-销售量函数要点三：消去单位(变化量除基期的量)的因变量的变化量(瞬时变化量=微分，非瞬时变化量)除消去单位的自变量的变化量10.一元函数微分学的几何应用要点一：研究对象是函数，研究的工具是函数的导函数，函数的极限研究的内容包括函数的极值点(根据极值点的定义，一定是函数的连续点,否定某个点是函数的极值点的理论依据)，最值点，函数在某个区间上的单调性(判定某个连续点是否是极值点的依据)，函数的渐近线要点二：研究对象是导函数，研究的工具是导函数的导函数(函数的二阶导函数)(确定某个连续点是否是函数的极值点的依据)导函数的导函数的导函数(函数的三阶导函数)（确定某个连续点是否是导函数的极

24、值点的依据，确定某个点是否是函数的拐点的依据),研究的内容包括导函数的极值点（是函数的拐点的一部分，不一定是函数的连续点,根据极值点的定义，一定是导函数的连续点）,导函数在某个区间上的单调性(函数在某个区间上的凹凸性)(判定某个连续点是否是导函数的极值点的依据，判断某个点是否是函数的拐点的依据)，导函数的正负(确定函数的单调性的依据),导函数与横轴的交点(函数的驻点)，导函数的尖点(函数的不可导点)要点三：函数的极值点=函数的不可导的点的一部分+函数的驻点的一部分要点四：函数最值点=函数的在定义区间内的极值点的一部分+函数的定义区间的端点的一部分要点五：确定函数的定义域-求函数在定义区间非定义

25、域的端点的极限值确定函数的垂直渐近线-求函数在定义域的端点的极限值确定函数的水平渐近线或者求函数在定义域的端点的极限值确定函数的斜渐近线的斜率，进而确定函数的斜渐近线的截距，进而确定函数的斜渐近线11.泰勒公式与泰勒级数要点一：泰勒公式使用的前提是函数在某一点的邻域内有n+1阶导函数要点二：拉格朗日型余项与佩亚诺型余项是同一内容的两种表达形式要点三：泰勒公式的实质是满足泰勒公式使用的前提的函数等于幂函数的线性组合要点四：函数的泰勒级数存在的前提是函数在某一点的邻域内有任意阶导函数要点五：函数不一定等于泰勒级数(某一点的领域不一定是泰勒级数的收敛区间),泰勒级数需要满足泰勒级数收敛于函数的充要条

26、件(自变量趋于无穷大，未知参数被精确表示的拉格朗日型余项函数的极限是零)，函数等于泰勒级数要点六：常见函数的麦克劳林公式，常见函数的麦克劳林级数，常见函数的收敛区间(指数函数的麦克劳林级数的一般项是指数函数除项数的阶乘，收敛域半径是无穷大，收敛中心点是零)(解不等式等比幂级数的公比幂函数小于1确定等比幂级数的收敛区间，和函数是组成幂级数的第一项除1减等比幂级数的公比函数)12.非正项数项级数要点一：交错级数(每一项都大于零=通项恒大于零，相邻两项符号相反)符合级数收敛的必要条件且后项不大于前项(注意交错级数的通项不包括使交错级数有相邻两项符号相反的性质的项)(如果有一项以上使交错级数有相邻两项

27、符号相反的性质的项，合并)(使交错级数有相邻两项符号相反的性质的项有时需要根据交错级数的通项的特点构造)交错级数收敛要点二：任意项级数(每一项有可能大于零，有可能等于零，有可能小于零)的每一项的绝对值组成的正项级数收敛，任意项级数是绝对收敛的任意项级数(把任意项级数转化为正项级数，根据正项级数的敛散性判断任意项级数的敛散性的依据)要点三：任意项级数的每一项的绝对值组成的正项级数发散，任意项级数收敛，任意项级数是条件收敛的任意项级数要点四：条件收敛的任意项级数的符号是正(负)的项组成的级数是发散的(条件收敛的任意项级数-条件收敛的任意项级数的项的绝对值组成的正项级数是发散的-条件收敛的任意项级数

28、的符号是正的项组成的正项级数是发散的)(条件收敛的任意项级数-条件收敛的任意项级数的项的绝对值组成的正项级数是发散的-条件收敛的任意项级数的项的绝对值乘负1组成的级数是发散的-条件收敛的任意项级数的符号是负的项组成的级数是发散的)要点五：通项是绝对收敛的任意项级数的通项与绝对收敛的任意项级数的通项的线性组合的级数是绝对收敛的任意项级数要点六：通项是条件收敛的任意项级数的通项与绝对收敛的任意项级数的通项的线性组合的级数是条件收敛的任意项级数要点七：通项是条件收敛的任意项级数的通项与条件收敛的任意项级数的通项的线性组合的级数是收敛的任意项级数13.幂级数要点一：根据离散型函数(数列)与幂函数的乘积写出比值判别法形式的离散型函数-求比值判别法形式的离散型函数在n趋于无穷大时的极限-极限是roll函数-求解不等式roll函数小于1-自变量的取值范围是幂级数的收敛区间-令幂函数的自变量等于幂级数的收敛区间的端点，幂级数转化成数项级数-判定数项级数的敛散性-确定幂级数的收敛域要点二：根据离散型函数(数列)写出比