填空题的解题技巧

1、题型概述填空题是一种只要求写出结论， 不要求解答过程的客观性试题， 有小巧灵活、 覆盖面广、 跨度大等特点，突出考查准确、严谨、灵活运用知识的能力 . 根据填空时所填写的内容形式， 可以将填空题分成两种类型：一是 定量型， 要求考生填写数值、数集或数量关系，如：方程的解、不等式的解集、函 数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等等 . 由于填空题和选择题相比， 缺少选择支的信息，所以高考题中多数是以定量型问题出现 .二是 定性型， 要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定的数学对象的某种性质， 如：给定二次曲线的准线方程、 焦点坐标、 离心率等等 . 近几年出现了定性型的具有多

2、重选择 性的填空题 .解答填空题时， 由于不反映过程， 只要求结果， 故对正确性的要求比解答题更高、 更严 格，考试说明中对解答填空题提出的基本要求是 “正确、合理、迅速 ”.为此在解填空题时 要做到：快 运算要快，力戒小题大作；稳 变形要稳，不可操之过急；全 答案要 全，力避残缺不齐；活 解题要活，不要生搬硬套；细 审题要细，不能粗心大意 . 由于填空题不像选择题那样有备选提示，不像解答题那样有步骤得分，所填结果必须准确、 规范，因此得分率较低 .解答填空题的第一要求是“准”，然后才是“快”、“巧”，要合理 灵活地运用恰当的方法，不可“小题大做” .方法一 直接法 直接法就是直接从题设出发，

3、利用有关性质或结论，通过巧妙地变形，直接得到结果的方法 要善于透过现象抓本质， 有意识地采取灵活、 简捷的方法解决问题 .直接法是求解填空题的基 本方法 .log2 1 x 1， x<1，例 1 (1) 已知函数 f(x) 若 f(a) 3，则 a x 2， x 1，sin 2A(2)(2015 北·京 )在 ABC 中，a4，b5，c6，则 sin C .解析 (1)a1 时， f(a) 1，不适合 .f(a)log2(1a)13，a 3.(2)由余弦定理：b2c2a2 2536 16 3 cos A2bc 2×5×6 4，sin A 47，a2b2c2

4、16 25 36 1 cos C2ab 2×4×5 8，2× 4×5sin C3 72×34× 47 sin 2A 4 4 1. sin C 3 7 1.8答案 (1) 3 (2)1思维升华 利用直接法求解填空题要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化，从而得到结果，这是快速准确地求解填 空题的关键 .22跟踪演练 1 (1)已知 F 为双曲线 C：x y 1的左焦点， P，Q为 C上的点 .若 PQ 的长等于9 16虚轴长的 2 倍，点 A(5,0)在线段 PQ 上，则 PQF

5、的周长为 .(2)(2015 安·徽 )已知数列 an是递增的等比数列， a1a49，a2a38，则数列 an的前 n 项和 等于 .答案 (1)44 (2)2n 1解析 (1)由题意，得 PQ16，线段 PQ 过双曲线的右焦点，则 P，Q 都在双曲线的右支上由双曲线的定义，可知 PF PA2a，QF QA2a，两式相加，得，PF QF(PAQA)4a，则 PFQF 4aPQ4×31628，故PQF 的周长为 PFQFPQ 281644.a1a4 8， (2)由等比数列性质知 a2a3 a1a4，又 a2a38，a1 a49，联立方程解得a1a4 9，a11，a1 8，或a

6、48a4 1，又数列 an 为递增数列， a11，a48， 从而 a1q38， q2.1 2n数列 an的前 n 项和为 Sn2n1.12方法二 特例法 当填空题的已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息 暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值(特殊函数，特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等)进行处理，从而得出待求的结论 .这样可大大地简化推理、论证的过程.例 2 (1)cos2 cos2( 120 °) cos2( 240 °)的值为 .(2)如图，在三棱锥 OABC 中，三条棱 OA

7、，OB，OC 两两垂直，且 OA>OB>OC，分别经过 三条棱 OA，OB ，OC 作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S1，S2，S3，则 S1，S2，S3 的大小关系为 .解析 (1)令 0°，3则原式 cos20° cos2120° cos2240 °2.(2)要满足各个截面使分得的两个三棱锥体积相等，则需满足与截面对应的交点E， F，G 分别为中点即可 .故可以将三条棱长分别取为 OA 6，OB 4，OC 2，如图，则可计算 S1 3 5， S2 2 10， S3 13，故 S3<S2<S1.答案(1)32(2)S3

8、<S2<S1思维升华 求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此种方法仅限于 求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种 方法求解 .跟踪演练 2 (1)在锐角三角形 ABC 中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且ba6cos C， ab则tan Ctan C tan A tan B(2)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x4) f(x)，且在区间 0,2上是增函数，若方程 f(x) m(m>0)在区间 8,8上有四个不同的根 x1， x2， x3， x4， 则 x1 x2 x3 x4 .答案 (1)4

9、 (2) 81解析 (1) 用特例法 .令锐角三角形 ABC 为等腰三角形， 此时 cos C31.不妨设 ab3(如图)，作 ADBC 垂足为 D，所以 CD1，AD2 2，所以 tan C2 2，tan Atan B 2，tan C tan C 所以ttaann ACttaann CB4.(2)根据函数特点取 f(x)sin4x，再由图象可得 (x1x2)(x3x4)(6×2)(2×2) 8.方法三 数形结合法 对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对 图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果.这类问题的几何意义一般较为明显，如

10、一次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等，求解的关键是明确几何含义， 准确规范地作出相应的图形 .例 3 (1) 函数 f(x)的定义域为 D，若满足： f(x)在 D 内是单调函数；存在 a，b? D，使得 f(x) 在 a， b上的值域为 2a,2b，则称函数 f(x)为“成功函数” . 若函数 f(x) logc(c4x 3t)(c>0， c1)是“成功函数”，则 t 的取值范围为 .f x ，x 2，(2)已知函数 f (x) log2x，g(x)若关于 x 的方程 g(x) k 有两个不相等的实f 4 x ， x<2， 数根，则实数 k 的取值范围是 .解

11、析 (1)不妨设 c>1，因为 c4x4t 在其定义域内是单调递增函数，所以f(x)logc(c4x3t)也c4a 3t c2a，是单调递增函数，所以 c4b3tc2b， 故 a，b 是方程 c4xc2x3t0 的两个实数根，即方程 3tc4xc2x有两个不同的实数根，也即函数yc4xc2x与直线 y3t 有两个不同的交 点.令 c2x u，则 c 4x u2，所以问题转化为函数 y u2u(u>0)与 y3t 有两个不同的交点，结合函数的图象可知当 0<3t<14，即 0<t<112时，两图象恰有两个交点，应填答案 (0， 112).(2)画出函数 yg(

12、x)的图象 (如图 ).由图知，当函数 y g(x)和 y k 的图象有两个交点时， k>1.1答案 (1)(0 ，112) (2)(1 ， )思维升华 数形结合法可直观快捷地得到问题的结论， 充分应用了图形的直观性， 数中思形， 以形助数 .数形结合法是高考的热点， 应用时要准确把握各种数式和几何图形中变量之间的关 系.跟踪演练 3 (1)(2015 ·湖南 )若函数 f (x) |2x 2|b 有两个零点，则实数 b 的取值范围是(2)(2016 济·宁模拟改编 )若函数 y f(x)图象上不同两点M、N 关于原点对称，则称点对M，N是函数 y f(x)的一对“和

13、谐点对”(点对 M，N与 N，M看作同一对“和谐点对”).已知函数xe，x<0，f(x)x24x， x>0，则此函数的“和谐点对”有对.答案 (1)(0,2) (2)2解析 (1) 由 f(x)|2x2|b0，得|2x2|b.在同一平面直角坐标系中画出 y |2x 2|与 yb 的图象，如图所示则当 0<b<2 时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x) |2x 2|b 有两个零点ex， x<0，(2)作出 f(x)的图象， f(x)的“和谐点对 ”数可转化为 yex (x<0)和 y x2x2 4x， x>04x(x<0)的图象的交点个数由图象

14、知，函数 f(x)有两对 “ 和谐点对 ”方法四 构造法 用构造法解填空题的关键是由条件和结论的特殊性构造出数学模型，从而简化推导与运算过 程 .构造法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的，首先应观察题目，观察已知(例如代数式 )形式上的特点，然后积极调动思维，联想、类比已学过的知识及各种数学结构、数学模 型，深刻地了解问题及问题的背景( 几何背景、代数背景 )，从而构造几何、函数、向量等具体的数学模型，达到快速解题的目的 .例 4 如图，已知球 O 的球面上有四点 A，B，C，D，DA平面 ABC，ABBC，DA AB BC 2，则球 O 的体积等于 .解析 如图，以 DA ，AB，BC

15、为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为 R，则正方体的体对角线长即为球 O 的直径，所以 CD2 2 2 2 2 2 2R，所以 R 26，故球 O 的体积 V43R 6.答案6思维升华 构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决 的问题确定构造的方向，一般通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型将问题转化为自己熟悉的问题 .在立体几何中， 补形构造是最为常用的解题技巧 .通过补形能将一般几何体的有关问题在特殊的几何体中求解，如将三棱锥补成特殊的长方体等e4 e5 e6跟踪演练 4 (1)16，25，36(其中 e 为自然对数的底数)的大小关系是(2)已知

16、三个互不重合的平面 ， m，n? 件： m，n? ； m ， n ； m? ， n .，且直线 m、 n 不重合，由下列三个条能推得 m n 的条件是答案(1) 1e6<2e5<3e6 (2)16 25 36解析(1)由于1e64e42，2e555e25，3e666e62，故可构造函数f(x)xex2，于是f(4)1e64，f(5)2e55，f(6)e6.36.x(x)(xe2)ex·x2 ex·2x ex x2 2xx4，令 f (x)>0，得 x<0 或 x>2，即函数 f(x)在 (2，x4e4 e5 e6)上单调递增，因此有 f(4)&

17、lt;f(5)<f(6)，即 1e6<2e5<3e6.(2) 构建长方体模型， 如图，观察选项特点， 可优先判断条件 ：取平面 为平面 ADD A，平面为平面 ABCD ，则直线 m 为直线 AD.因为因为m ，故可取平面 为平面 A BCD， n? 且 n ，故可取直线 n 为直线 AB.则直线 AD 与直线 A B为异面直线，故 m 与 n 不平行 .对于：、取中平面，取平面 为平面 BCCB，可取直线 n 为直线 BC，故可推得 mn.对于 ：，取中平面，取 为平面 AB C D，取直线 n 为直线 BC，故可推得 mn.综上，能推得 m n的条件是 .方法五 正反互推

18、法多选型问题给出多个命题或结论， 要求从中选出所有满足条件的命题或结论.这类问题要求较高，涉及图形、符号和文字语言，要准确阅读题目，读懂题意，通过推理证明，命题或结论 之间互反互推，相互印证，也可举反例判断错误的命题或结论 .例 5 已知 f(x)为定义在 R 上的偶函数， 当 x0时，有 f(x1)f(x)，且当 x0,1)时，f(x) log2(x1)，给出下列命题： f(2 016)f(2 017)的值为 0； 函数 f(x)在定义域上为周期是 2 的周期函数； 直线 y x 与函数 f(x)的图象有 1 个交点； 函数 f(x)的值域为 ( 1,1). 其中正确命题的序号为 .解析 根

19、据题意，可在同一坐标系中画出直线y x 和函数 f(x)的图象如下：根据图象可知： f(2 016) f( 2 017) 0正确； 函数 f(x)在定义域上不是周期函数，所以 不正确； 根据图象确实只有一个交点，所以 正确； 根据图象，函数 f(x)的值域是 ( 1,1)， 正确.综上，正确命题的序号为 .答案 思维升华 正反互推法适用于多选型问题，这类问题一般有两种形式：一是给出总的已知条 件，判断多种结论的真假；二是多种知识点的汇总考查，主要覆盖考点功能.两种多选题在处理上不同， 前者需要扣住已知条件进行分析， 后者需要独立利用知识逐项进行判断 .利用正反 互推法可以快速解决多选型问题 .

20、跟踪演练 5 过抛物线 y2 2px (p>0)焦点 F 的直线与抛物线交于 A、B两点，作 AC，BD 垂直抛物线的准线 l 于 C、D ，O为坐标原点，则下列结论正确的是 (填写序号 ). ACCDBDBA； 存在 R，使得 AD AO成立； FC·FD 0； 准线 l 上任意点 M ，都使得 AM·BM>0.答案 解析 设 AB： xtyp2代入 y2 2px (p>0)可得 y2 2tpy p2 0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1 x2 p1|AF| |BF|x1x2p2t2p 2p.而 AB 的中点到准线的距离 d2t2pp 2A

21、B，所以以 AB为直径的圆与准线相切， 所以不正确 .又因为 kAOy12p，kOD y2 2y2 2py2 x1 y1p p y1y222p，kFCy ，kDF y ，所以 kOAkOD，kCF·kDFy y2 1，即 A，O，D 共线且 CFDF， y1p pp2所以都是正确的 .显然正确，故应填 .填空题突破练A 组 专题通关1. 已知函数 f(x)ax3bsin xm3 是定义在 n，n 6上的奇函数，则 m n .答案 0解析 因为函数 f(x)ax3bsin xm3 是定义在 n， n 6上的奇函数，nn60，所以 f 0 m 3 0，解得 m 3， n 3，所以 mn0

22、.2. 某校采用简单随机抽样的方法， 从 180 名教师中抽取 20 名教师调查家访的次数， 结果用茎叶图表示 (如图 )，则据此可估计这 180 名教师中家访次数在 1525(含 15 和 25)的人数为答案 63解析 因为这 20 名教师家访次数在 15 25 的人数为 7，频率为 270，所以可估计这 180 名教 师中家访次数在 1525 的人数为 270×18063.2x，x1，3. 已知函数 f(x) 2 若关于 x 的函数 g(x)f(x) m 有两个零点，则实数 m x22x2，x>1，的取值范围是 .答案 (1,2解析 g(x)f(x)m 有两个零点等价于函数

23、 f(x)的图象与函数 ym 的图象有两个交点， 作出函数 f(x)的图象如图，由图可知4. 函数 f(x)sin(x4)sin 2x (xR)的最大值是9答案 98解析 根据题意可知，2f(x) 2 (sin xcos x) 2sin xcos x.令 sin xcos x t 2， 2，则有 sin 2x 2sin xcos x t2 1，所以 f(t)1t2 22t (t 42)2 89， t 2， 2则 f(t)的图象开口向下，对称轴为 t 42 2， 2的抛物线，所以当 t 42时9 ， ymax 8，9 即 f(x) 有最大值 8.5.执行如图所示的流程图，若输入m 2sin ，则

24、输出的 m 的值不小于 121 的概率为答案 14解析 输入 m 2sin 后，按顺序执行程序 m 6sin 1， n2，m 18sin 4， n 3，m 54sin 13，n 4，执行到 m 162sin 40，n 5 时，再执行判断框，满足 n>4，跳出循1环，输出 162sin 40，若 162sin 40121，则 sin 2，注意到 1sin 1，1故所求概率为 4.16.若曲线 f(x)2e 1x2 与曲线 g(x)alnx 在它们的公共点 T(m， n)处有公共切线，则实数 a答案 11解析 根据题意可知， f (x) 1ex， g ea(x)x，x>0，两曲线在点

25、T(m， n)处有公切线，ma所以 mema，即 m ae，2代入m2e aln m，解得 a1.7.已知数列 an 满足 a10， an 1an2 an1，则 a13 答案 144解析 由 an1an2 an 1，可知 an1( an 1)2，即 an1 an 1，所以数列 an是公差为 1 的等差数列，a13 a1 12，则 a13 144.8.已知 F1，F2分别是椭圆 C：4x92y41的左，右焦点， P 是椭圆上的一点，且 PF16，则49 24经过 F1，F2，P 三点的圆的方程为答案 x2y2 25解析 由椭圆定义知 PF1 PF22a14，且 PF16，故 PF2 8，又 F1

26、F22c 10，由勾股定理得 PF1PF2，所以圆的方程为 x2 y2 25.x0，9.设 x，y 满足约束条件 xy0，2x y10，则目标函数 zxy 的取值范围为1答案 81，1解析 可行域为一个三角形 OBC 及其内部，其中 O(0,0)，B(0,1)，C( 1， 1)，因此当 z>0时， y xz过点 C 时， z取最大值 1；当 z<0时， y xz与直线 2xy10 相切时 z 取最小值 xx18；当 x0 时， z 0.1综上，目标函数 zxy 的取值范围为 8，1.10. 已知三棱锥 PABC 的顶点都在球 O 的表面上， ABC 是正三角形，且 APO BPO

27、CPO 30°，三棱锥 PABC 的体积为 18 3，则球的表面积为 .答案 64解析 因为 APO BPO CPO30°，则球心 O 在三棱锥如图，设球心 O 在底面 ABC 的射影为 D.设 AP2a，则 ADa，PD 3a， ABC 的边长为 3a，1 VPABC SABC ·PD313×a)2· 3a34a3，3即4a318 3， a2 3，在AOP 中，球半径 R OAOP， AP 3R，43R 3 4，球的表面积 S 球 4 R2 64 .B 组 能力提高11. 已知 AB 3，C是线段 AB 上异于 A，B的一点，ADC，BCE 均为等边三角形， 则 CDE 的外接圆的半径的最小值是 .答案 23解析 设 AC m， CB n，则 mn 3，在CDE 中，由余弦定理知 DE2CD2 CE2 2CD ·CE·cos DCEm2n2mn(mn)2 3mn93mn，m n9 3 3又因为 mn( 2 ) 2 94，当且仅当 mn32时，取 “ ”，所以 DE32.又因为 CDE 的外接圆的半径 RDE DE 3，所以 CDE 的外接圆的半径的最2sin DCE3 2小值是 3. x2 4x，0x<4，12. 已知函数 f(x