微分几何课后习题答案第四版梅向明黄敬之编

1、rasin ,bcos ,0 , rt 0,0,1。所以切平面方程为:§ 1曲面的概念1.求正螺面r = u cosv ,u sinv, bv 的坐标曲线.、 r解 u-曲线为 r =u cosvo ,u si n vo,bv 0 = O,O,bv°+ u cosvo, si n vo ,0, 为曲线的直母线；v-曲线为r = u0 cosv, u0 sinv,bv 为圆柱螺线.2 .证明双曲抛物面r = a (u+v) , b (u-v ) ,2uv 的坐标曲线就是它的直 母线。证 u-曲线为 r = a (u+v0) , b (u- v0) ,2u v0= av0, b

2、vO,O+ ua,b,2 v0表示过点 a v°, b v°,0以a,b,2 v。为方向向量的直线；、 rv-曲线为 r = a ( u0+v) , b ( u 0 -v ) ,2 u 0 v = au°, bu 0 ,0 +va,-b,2 u 0表示过点（au。，b u°,0）以a,-b,2 u。为方向向量的直线。法线方程为cossin , a cossin ,asin,acos ,上任r =:意点的切平面a cos sin至和法线方程,a cos cos,a sinsina coscosy acossinz a sina sincosa sinsin

3、a cos0a cossina coscos0sin + zsi n-a = 0cosya cos sinza sin3 .求球面r =a cos解 r = a sin cosx任意点的切平面方程为Osincos,0x a coscos sin即 xcos cos + ycos24.求椭圆柱面令a2解椭圆柱面务ax a cosy bsi nz ta sinb cos00，即 x bcos + y asina b = 0001此方程与t无关，对于 的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。35.证明曲面r u,v,的切平面和三个坐标

4、平面所构成的四面体的体积是常UV数。3证ru1,0,刖，u V30,1,卫T。切平面方程为:uv与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,3a1 2)。于是，四面体的体积为:uv3a3討是常数§ 2曲面的第一基本形式1.求双曲抛物面 F = a (u+v) , b (u-v ) ,2uv的第一基本形式解rua, b,2v, rv a, b,2u, Eru .求正螺面r = ucosv ,u sinv, bv 的第一基本形式，并证明坐标曲线互 相垂直。a2b24v2,Frurv a2 b2 4uv, G rv2 a2 b2 4u2, I =(a2 b2 4v2

5、)du22(a2 b2 4uv)dudv(a2 b2 4u2)dv23 .在第一基本形式为I = du2 sinh 2 udv2的曲面上，求方程为u = v的曲线 的弧长。解 由条件ds2du2 sinh2 udv2,沿曲线u = v 有du=dv，将其代入ds2得ds2 du2 sinh2 udv2 = cosh2 vdv2，ds = coshvdv , 在曲线 u = v 上，从 v1 至U v2的V2弧长为 | coshvdv| |sinhv2 sinhv1 |。vi4. 设曲面的第一基本形式为I = du2(u2 a2)dv2，求它上面两条曲线u + v =0 ,u - v = 0的交

6、角。分析 由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量，即等距不变量，而求等距不变 量只须知道曲面的第一基本形式，不需知道曲线的方程。解 由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量E 1, Fv 0 , G u2 a2 ,曲线u + v = 0与u - v = 0的交点为u = 0, v = 0,交点处的第一类基本量为E 1 ,Fv 0 , G a2。曲线u + v = 0的方向为du = -dv , u - v = 0 的方向为S u=S v ,设两曲线的夹角为，则有2cos =Edu u_Gdv u 二。v'Edu2 Gdv2jEu2 G v21 a5. 求曲面z = axy上坐标曲线x =

7、x 0 ,y = y的交角.解 曲面的向量表示为r =x,y,axy, 坐标曲线x = x°的向量表示为 r = x°,y,ax °y ,其切向量口=0 , 1, ax。；坐标曲线y = y°的向量表示为r =x , y ,ax y°，其切向量.=1 , 0, ay°，设两曲线x = x °与y = y°的夹角为，则 有 cos =a2X0y0Irx llry I<1 a2x0；'1 a2y：6. 求u-曲线和v-曲线的正交轨线的方程.解 对于u-曲线dv = 0,设其正交轨线的方向为S u: S v

8、，则有EduS u + F(du S v + dv S u)+ G d v S v = 0,将 dv =0 代入并消去 du 得 u-曲线的正交轨线的微分方程为ES u + F S v = 0 .同理可得v-曲线的正交轨线的微分方程为FS u + G S v = 0 .7.在曲面上一点,含du ,dv的二次方程Pdu2+ 2Q dudv + Rdv2 =0,确定两个切方向(du : dv)和(S u : Sv),证明这两个方向垂直的充要条件是 ER-2FQ+ GP=O.证明因为du,dv不同时为零，假定dv0则所给二次方程可写成为P(为2+duduuduu Rdu u2Q又根据二方2Q + R

9、=O ,设其二根一，一，贝U= ,+ =-dvdvvdvv Pdv vP向垂直的条件知E +F（竺+上）+G = 0dv vdv v将代入则得ER - 2FQ + GP = 0 .8.证明曲面的坐标曲线的二等分角线的微分方程为Edu2 =Gdv2.证 用分别用S、 、d表示沿u 曲线，v曲线及其二等分角线的微分符号， 即沿u 曲线S u 0,S v=0，沿v 曲线 u=0, v0 .沿二等分角轨线方向为du:dv，根据题设条件,又交角公式得2 2 2 2(Edu v Fdv u) (Fdu v Gdv v)(Edu Fdv) (Fdu Gdv) 2222，即。E u dsG v dsEG展开并

10、化简得E(EG-F2) du2=G(EG-F2) dv2,而EG-F2>0,消去EG-F2得坐标曲线的二等分角线的微分方程为Edu2 =Gdv2. .设曲面的第一基本形式为I =du2 (u2 a2)dv2，求曲面上三条曲线 u = av, v =1相交所成的三角形的面积。解三曲线在平面上的图形(如图)所示。曲 线围城的三角形的面积是01a1S= . u2 a2du dv u2 a2du dvauouaaa1a=2. u2 a2du dv=2 (1 u), u2 a2 du0u0aa3=(u2a2)2u u2 a2 a21n(u u2 a2) |a3a= a22- 1n(1,2) o3r

11、10 .求球面 r =a cos sin , a cos sin , a sin 的面积。解 r = asin cos , a sin sin , a cos , r = a cos sin ,acos cos ,0E = r2 =a2 ,F= r r = 0 , G = r2 = a2 cos2.球面的面积为：2S =2 d. a4 cos2 d 2 a2 2 cos d 2 a2 sin |24 a2.2 02211. 证明螺面 r =ucosv,usinv,u+v和旋转曲面 r =tcos ,tsin , . t2 1(t>1, 0<<2 )之间可建立等距映射=arct

12、gu + v , t= u21 .分析 根据等距对应的充分条件,要证以上两曲面可建立等距映射=arctgu+ v , t= u21,可在一个曲面譬如在旋转曲面上作一参数变换使两曲面在对应点有相同的参数，然后证明在新的参数下，两曲面具有相同的第一基本形式证明 螺面的第一基本形式为l=2du2+2 dudv+( u2+1)dv2,旋转曲面的第一基本形式为I= (1t2t2严td ,在旋转曲面上作一参数变换=arctgu + v ,t = . u21 ,则其第一基本形式为(1J)u2udu(u21)(：du1 udv)2=(2u2u1)du22 du21 u2dudv (u2 1)dv2 =2du2

13、 +2 dudv+( u2 +1) dv2= I .所以螺面和旋转曲面之间可建立等距映射=arctgu + v , t =1§ 3曲面的第二基本形式1.计算悬链面r =coshucosv,coshusinv,u的第一基本形式,第二基本形式.解 ru =sinhucosv,sinhusinv,1,rv=-coshusinv,coshucosv,0ruu =coshucosv,coshus inv, 0,ruv =-s in hus inv,sin hucosv,0,2222rw=-coshucosv,-coshusinv,0,E = cosh u, F ru 5=0, G rv =co

14、sh u.所以 I = cosh 2u du2+ cosh 2 udv2 .cosh u cosv, cosh u sin v, sinh u sin v,L= coshu1, M=0, N= coshu=1 .Isinh2 1sinh2 1所以 II = -du2+dv22.计算抛物面在原点的2x3 5x12 4x1x2 2x|第一基本形式，第二基本形式.解曲面的向量表示为rX1,x2,|x； 2xm2X；,r X11,0,5x12x2 (0,0)1,0,0,rx20,1,2x12x2(0,0)0,1,。 ,rx1X10,0,5,IX20,0,2 , rx2X20,0,2, E = 1, F

15、 = 0 , G = 1 丄=5 , M = 2 , N =2 ,2222I= dx-i dx2, II= 5d%4dx!dx2 2dx2.3.证明对于正螺面 r=ucosv,usinv,bv,- g<u,v<x处处有 EN-2FM+GL=0解 ru cos v, sin v,0, rv u sinv, ucosv,b , ruu =0,0,0,ruv =-uucosv,cosv,0,rw =-ucosv,-usinv,0,Er.1 , F 40 ,Grv2u2 b2 , L= 0, M =b, N = 0 .所以有 EN - 2FM + GL= 0 .272.u b14.求出抛物

16、面z -(ax2 by2)在(0,0)点沿方向(dx:dy)的法曲率.解 rx 1,0,ax(o,o)1,0,0 , ry 0,1, by(0,0) O,1，。 , . OQa,0,0,0ryy 0,0,b ,E=1,F=0,G=1 ,L=a,M=0,N=b,沿方向 dx:dy 的法曲率 knadx2dx2bdy2 d?5. 已知平面 到单位球面(S)的中心距离为d(0<d<1),求 与(S)交线的曲率 与法曲率解 设平面 与(S)的交线为(C),则(C)的半径为1 d2 ,即(C)的曲率为1k .-,又(C)的主法向量与球面的法向量的夹角的余弦等于、1 d21 d2 ,所以(C)

17、的法曲率为kn k .1 d2 = 1 .6.利用法曲率公式k”牛，证明在球面上对于任何曲纹坐标第一、第二类基本量成比例。证明 因为在球面上任一点处，沿任意方向的法截线为球面的大圆，其曲率为 球面半径R的倒数1/R。即在球面上，对于任何曲纹坐标(u,v)，沿任意方向du:dvknL Ldu2 2Mdudv Ndv22 2I Edu 2Fdudv GdvN 1G( R)'即第一、第类基本量成比例7 求证在正螺面上有一族渐近线是直线，另一族是螺旋线。证明对于正螺面r=ucosv,usinv,bv，ru cos v,si n v,0, rv u si nv,ucosv,b， ruu=0,0,

18、0 ， rw=-ucosv,-usi nv,0L= (ru,rv,ruu) =0, n= (GU) =0 .所以口族曲线和v族曲线都是渐近线。而uEG F2EG F2族曲线是直线，v族曲线是螺旋线。8.求曲面z xy2的渐近线.解曲面的向量表示为 r x,y,xy2 , rx 1,0, y2, ry 0,1,2xy, q 0,0,0,rxy 0,0,2y, ryy 0,0,2x, E °21 4y4,F j 口2xy2,G ry21 4x2y2.L 0,M 2y ,N , 2x1 4x2y2 y4.1 4x2y2 y4渐近线的微分方程为 Ldx2 2Mdxdy Ndy2 ,即4ydx

19、dy 2xdy20, 一族为dy=0,即y c1, c1 为常数.另一族为 2ydx=-xdy,即 In x2 y c2,或x2 y c, c为常数.9.证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线证 在每一条曲线(C)的主法线曲面上，沿(C)的切平面是由(C)的切向量与(C) 的主法向量所确定的平面，与曲线(C)的密切平面重合，所以每一条曲线(C)在它的主 法线曲面上是渐近线.方法二：任取曲线J(s)，它的主法线曲面为S:r(s,t) r(s) tr(s)，r r &s (s) t &(s)t(r(1 t )(1 t )rr r在曲线 上，t = 0 , rs rt r,曲面的单

20、位法向量n =sr，即n rVeg f2所以曲线 在它的主法线曲面上是渐近线.10.证明在曲面z=f(x)+g(y)上曲线族x=常数，y=常数构成共轭网证 曲面的向量表示为r =x,y, f(x)+g(y),x= 常数,y=常数是两族坐标曲线。因为Mx=吊数，y=吊数rx 1,0, f' , ry0,1, g'. L 0,0, f'', rXy0,0,0,打0,0, g,L_ 0,所以坐标曲线构成共轭网，即曲线族 EG F2构成共轭网。11.确定螺旋面r =u cosv,u sinv,bv上的曲率线.r vv解rucos v, sin v,0, rv u sin

21、 v, u cos v, b=-ucosv,-us inv,0,ruv =-s inv ,cosv,0,Eruu=0,0,0 ,rv2u2b2 ,L=0, M=ru21 ,rv0 ,占,N=。，曲率线的微分方程为dv21dudv0bu2 b2du2u2 b20,即 dvdu ,积分得两族曲率线方程：ln(u.u2 b2)G 和 v ln(、u2b2u)C2.0012.求双曲面z=axy上的曲率线2 2y ,F a x,Ga2x2 ,L 0,Ma1a2x2,N=0 .2 2a ydy21 a2x2dxdy2 2 2a x ya2 2 2 2 a x a ydx22a x=0 得(1 a22 2y

22、 )dx (1a2x2)dy2 ,积分得两族曲率线为ln(ax 1 a2x2)In (ay1 a2y2) c.13. 求曲面r (u v), (u v), -上的曲率线的方程.2.2 2解 e a b V ,F4b2UV,Gb2,L0,2证法一：因L是曲率线,所以沿L有dnndr ,又沿L有？n=常数,求微商,N=0.代入曲率线的微分方程得所求曲率线的方程是(a2 b2 u2)dv2 (a2 b2 v2)du2,积分得：ln(u .a2 b2 u2) ln(v .a2b2v2) c .14. 给出曲面上一曲率线L,设L上每一点处的副法线和曲面在该点的法向量成 定角,求证L是一平面曲线.得 n

23、一 n 0,而n/dn /dr与 正交，所以 n 0,即- n =0,则有 =0,或 n =0 .若=0,则L是平面曲线；若 n=0 , L又是曲面的渐近线，则沿L , n=0 , 这时dn=0 , n为常向量，而当L是渐近线时， =n，所以 为常向量，L是一 平面曲线证法二：若n，则因n d? II r，所以n II ，所以dn II &由伏雷r rr内公式知dn I ( r )而L是曲率线，所以沿L有dn I r ,所以有=0,从而 曲线为平面曲线；若 不垂直于n，则有？n=常数，求微商得- & 0,因为L是曲率线，所 以沿L有dn II dr ，所以r & 0，所

24、以 n 0，即- n =0，若=0，则问题得证；否则 n =0，则因n r 0，有n I ， dn II dr |( - ) I r ， 矛盾。15. 如果一曲面的曲率线的密切平面与切平面成定角，则它是平面曲线证曲线的密切平面与曲面的切平面成定角，即曲线的副法向量和曲面的法向量 成定角，由上题结论知正确。16 .求正螺面的主曲率。解 设正螺面的向量表示为r =u cosv,u sinv,bv.ruu=0,0,0,rvv =-ucosv,-us inv,0,rUv =-si nv,cosv,0.Eru21 ， Frurv 0 ，2 2 2rvu b , L= 0, M =b, N = 0,代入主

25、曲率公式(EG-F2) N(LG-2FM+ENN + LN- M 2 = 022 = an = rr0(u a )解 ru cos v,sin v,0, rv u sin v, u cos v, b，所以主曲率为17.确定抛物面z=a( x2y2)在(0, 0)点的主曲率.解 曲面方程即 ryy 0,0, 2a , r x, y,a(x2 y2) , rx 1,0, 2ax 0,1,2ay,xx 0,0, 2a , % 0,0,0, 5 0,0, 2a 。在 (0, 0)点,E=1 ,F=0,G=1 ,L=2a ,M=0 ,N=2a .所以N -4a n +4a2=0，两主曲率分别为1 = 2

26、 a ,2 = 2 a .18. 证明在曲面上的给定点处，沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数.证曲面上的给定点处两主曲率分别为 1、2，任给一方向及与其正交的方向+ 2，则这两方向的法曲率分别为n( )1 cos22 sin2，n (2)1 COS2(2)2 sin2(2)1 sin22 cos2 ，即n( ) n(2)12 为常数。19. 证明若曲面两族渐近线交于定角，则主曲率之比为常数证由 n1 cos22 sin2得 tg21,即渐进方向为22=- arctg.又-1 =2 1为常数,所以为1为常数,即LNEGF22=-aLG 2FM NE22(EG F )二为常数.220. 求证正螺面

27、的平均曲率为零.证由第3题或第16题可知.21. 求双曲面z=axy在点x=y=0的平均曲率和高斯曲率证 在点 x=y=0 ,E=1, F=0, G=1, L=0, M=a, N=0,H=22. 证明极小曲面上的点都是双曲点或平点证法一：由H=2 =0有1= 2 =0或1=- 20 .2若1= 2=0,则沿任意方向n( )1 cos22 sin 2 =0 ,即对于任意的2 2du:dv ,心*畫2 ；Mdud； GJ °,所以有l=m=n=0对应的点为平点若1=- 20,则K= 1 2<0 ,即LN-M2 <0,对应的点为双曲点证法二：取曲率网为坐标网，则 F = M =

28、 0 ,因为极小曲面有H = 0 ，所以 LG + EN = 0 ,因 E > 0 ,G > 0 , 所以 LN < 0。若 LN M 2=0,则 L = M = N=0，曲面上的点是平点，若LN M 2< 0,则曲面上的点是双曲点23. 证明如果曲面的平均曲率为零,则渐近线构成正交网.证法一：如果曲面的平均曲率为零，由上题曲面上的点都是双曲点或平点若为平点，则任意方向为渐近方向，任一曲线为渐近曲线，必存在正交的渐近曲线网若为双曲点,则曲面上存在渐近曲线网.由19题,渐近方向满足tg2 =1,2/4,/4,两渐近线的夹角为2，即渐近曲线网构成正交网证法二：Q H 0LG

29、 2FM NE 0渐近线方程为Ldu22Mdudv2Ndv 0所以L%22MduEdu u F(du vdv u)N 0，所以虫上 dv v v dv vEdu-u dv vGdvduL，dvF理dvvu)G v2ML=dv vE F( L，所以渐近网为正交网。1证法三：M OQH -2(12) 0，所以高斯曲率Q K 1 20，所以LN M 2 0，所以曲面上的点是平点或双曲点。所以曲面上存在两族渐近线。取 曲面上的两族渐近线为坐标网，则 L = N = 0 ，若M = 0，曲面上的点是平点，若M 0，则Q H 0 LG 2FM NE 0，所以M F = 0，所以F = 0，所以渐 近网为正

30、交网。24.在xoz平面上去圆周y = 0, (x b)2z2a2(b a),并令其绕轴旋转的圆环面，参数方程为r =(b+acos )cos(b+acos )sinasin ,求圆环面上的椭圆点、双曲点、抛物点解 E = a2, F= 0 , G=2(b a cos ) , L = a, M = 0, N = cos(b+acos ),2LN - M =a cos (b+acos ),由于 b > a > 0 , b+acos> 0,所以LN - M 2的2符号与cos 的符号一致，当0W <为椭圆点，即圆环面外侧的点为椭圆点；当-2< <占，曲面上的点为双曲点，即 圆环面内侧的点为双曲点；当=2或 y时，LN - M 2=0,为抛物点，即圆环面上、下两纬圆