概率论与数理统计PPT课件

1、概率论概率论 与与 数理统计数理统计自变量自变量 & & 格致学院格致学院选择题选择题填空题填空题计算题计算题综合题综合题应用题应用题2*102*158*212*210*120分30分16分24分10分考试题型 1 1如何处理复杂事件如何处理复杂事件第一章：第一章：P(A)P(A)2 2如何求分布如何求分布第二三章：第二三章：F(x)F(x)3 3如何求数字特征如何求数字特征第四章：第四章：EX & DXEX & DX4 4如何使用极限定理如何使用极限定理第五章：第五章：n n5 5如何作估计如何作估计第六七八九章第六七八九章课程框架第二章随机变量及其概率分布离

2、散型随机变量随机变量函数的概率分布连续型随机变量及其概率密度知识框架随机变量的分布函数2.2 随机变量的分布函数2.2.1 分布函数的概念 2.2 随机变量的分布函数性质概念分布函数积分符号概率密度积分区间被积表达式2.4.1一、离散型随机变量函数的概率分布2.2 随机变量的分布函数2.2.2 分布函数的性质 2.2 随机变量的分布函数性质概念2.4.1一、离散型随机变量函数的概率分布课堂练习2.2 随机变量的分布函数性质概念1.设F(x)为随机变量X 的分布函数，则有（ ）A:F(-)=0,F(+ )=0 B:F(-)=1,F(+ )=0C:F(-)=0,F(+ )=1 D:F(-)=1,F

3、(+ )=1课堂练习2.2 随机变量的分布函数性质概念1.设F(x)为随机变量X 的分布函数，则有（ ）A:F(-)=0,F(+ )=0 B:F(-)=1,F(+ )=0C:F(-)=0,F(+ )=1 D:F(-)=1,F(+ )=1答案：C课堂练习2.2 随机变量的分布函数性质概念2.设随机变量X 的分布函数为F(x) ，则下列结论中不一定成立的是（ ）A:F(-)=0 B:F(+ )=1C:0F(x)1 D:F(x)是连续函数课堂练习2.2 随机变量的分布函数性质概念2.设随机变量X 的分布函数为F(x) ，则下列结论中不一定成立的是（ ）A:F(-)=0 B:F(+ )=1C:0F(x

4、)1 D:F(x)是连续函数答案：D课堂练习2.2 随机变量的分布函数性质概念3.设随机变量X 的分布律为 ，F(x)为X的分布函数，则F(0.5)=（ ）A:0 B:0.2C:0.25 D:0.3X X-1-10 01 12 2P0.10.20.30.4课堂练习2.2 随机变量的分布函数性质概念3.设随机变量X 的分布律为 ，F(x)为X的分布函数，则F(0.5)=（ ）A:0 B:0.2C:0.25 D:0.3答案：DX X-1-10 01 12 2P0.10.20.30.4课堂练习2.2 随机变量的分布函数性质概念4.课堂练习2.2 随机变量的分布函数性质概念4.答案：B课堂练习2.2

5、随机变量的分布函数性质概念4.答案：B2.2 随机变量的分布函数2.2 随机变量的分布函数性质概念已知X的分布函数F(x)，我们可以得到下列重要事件的概率：课堂练习2.2 随机变量的分布函数性质概念4.设随机变量X的分布函数为 F(x)=课堂练习2.2 随机变量的分布函数性质概念4.设随机变量X的分布函数为 F(x)=2.2 随机变量的分布函数2.2.1 分布函数的概念 2.2 随机变量的分布函数性质概念分布函数积分符号概率密度积分区间被积表达式第二章随机变量及其概率分布随机变量函数的概率分布知识框架离散型随机变量离散型随机变量及其分布律随机变量的概念0-1分布 与 二项分布泊松分布随机变量的

6、分布函数性质概念连续型随机变量及其概率密度几种分布定义求法预备知识导数导函数原函数积分积分求导求导导数导函数原函数积分积分求导求导分布函数 原函数导函数积分符号被积表达式导数导函数原函数积分积分求导求导分布函数分布函数 原函数导函数积分符号概概率率密密度度被积表达式导数3112( )+xf xexx32( )3xf xx e例例: :求取下列函数的导数求取下列函数的导数导数3112( )+xf xexx32( )3xf xx e例例: :求取下列函数的导数求取下列函数的导数不定积分函数为f(x)的不定积分为：不定积分函数为f(x)的不定积分为：不定积分函数为f(x)的不定积分为：不定积分对对x

7、 x取积分，得到的是：取积分，得到的是：对对x x取积分，得到的是：取积分，得到的是：不定积分定积分函数为f(x)的定积分为：函数函数f(x)f(x)在某段区间在某段区间 a,ba,b 上其函数上其函数曲线与曲线与x x轴围成的面积的求取轴围成的面积的求取。设设F(x)F(x)是连续函数是连续函数f f（x x）在）在 a,ba,b 上的一个原函数，则有上的一个原函数，则有牛顿牛顿- -莱布尼茨公式莱布尼茨公式定积分函数为f(x)的定积分为：计算定积分：计算定积分：120.x dx定积分函数为f(x)的定积分为：计算定积分：计算定积分：120.x dx2.3 连续型随机变量及其概率密度2.3

8、连续型随机变量及其概率密度几种分布定义求法2.3 连续型随机变量及其概率密度2.3 连续型随机变量及其概率密度几种分布定义求法若对于随机变量若对于随机变量X X的分布函数的分布函数F F( (x x) )，存在，存在非负函数非负函数f f( (x x) )，使得对任意的，使得对任意的实数实数x x，有，有则称则称X X为连续性随机变量，并称为连续性随机变量，并称f f( (x x) )为为X X的的概率密度函数概率密度函数，简称，简称概率密度概率密度( (有些书称有些书称密度函数密度函数）. .2.3 连续型随机变量及其概率密度2.3 连续型随机变量及其概率密度几种分布定义求法密度函数的性质：

9、密度函数的性质：x0f(x)面积面积为为1熟 记a(4) 设x为f (x)的连续点，则F(x)存在，且 F(x) f (x).2.3 连续型随机变量及其概率密度2.3 连续型随机变量及其概率密度几种分布定义求法密度函数的密度函数的性质性质：x0f(x)面积面积为为1熟 记a(4) 设x为f (x)的连续点，则F(x)存在，且 F(x) f (x).baf(x)dx课堂练习u 1.下列各函数中，可作为某随机变量概率密度的是（ ）2.3 连续型随机变量及其概率密度几种分布定义求法课堂练习u 1.下列各函数中，可作为某随机变量概率密度的是（ ）2.3 连续型随机变量及其概率密度几种分布定义求法u 答

10、案：A2.3 连续型随机变量及其概率密度2.3 连续型随机变量及其概率密度几种分布定义求法密度函数的密度函数的特点特点： x0f(x)面积面积为为1熟 记abaf(x)dx=0,= = P XxP aXbP aXbP aXb由于所以2.3 连续型随机变量及其概率密度2.3 连续型随机变量及其概率密度几种分布定义求法三种重要的概率密度分布及分布函数三种重要的概率密度分布及分布函数均匀分布均匀分布X U (a,b)指数分布指数分布X E()正态分布正态分布X N ( , 2 )重点重点2.3 连续型随机变量及其概率密度2.3 连续型随机变量及其概率密度几种分布定义求法三种重要的概率分布：三种重要的

11、概率分布：均匀分布均匀分布、指数分布指数分布、正态分布正态分布. .若随机变量若随机变量X的概率密度为的概率密度为则称则称X 服从区间服从区间a,b上的均匀分布上的均匀分布,简记为简记为X U (a,b).区间长度的倒数区间长度的倒数2.3 连续型随机变量及其概率密度2.3 连续型随机变量及其概率密度几种分布定义求法均匀分布的均匀分布的分布函数分布函数为为: :2.3 连续型随机变量及其概率密度2.3 连续型随机变量及其概率密度几种分布定义求法均匀分布的均匀性均匀分布的均匀性是指随机变量是指随机变量X 落在区间落在区间a,b内内长度相等长度相等的子区间上的概率是的子区间上的概率是相等相等的的.

12、2.4.2二、连续型随机变量函数的概率分布2.3 连续型随机变量及其概率密度2.3 连续型随机变量及其概率密度几种分布定义求法均匀分布的均匀性均匀分布的均匀性是指随机变量是指随机变量X 落在区间落在区间a,b内长度相等内长度相等的子区间上的概率是相等的的子区间上的概率是相等的.均匀分布概率计算的重要公式均匀分布概率计算的重要公式设设 X U(a, b), a c d b, 即即 a, b c, d ,则：则：2.3 连续型随机变量及其概率密度2.3 连续型随机变量及其概率密度几种分布定义求法均匀分布的均匀性均匀分布的均匀性是指随机变量是指随机变量X 落在区间落在区间a,b内长度相等内长度相等的

13、子区间上的概率是相等的的子区间上的概率是相等的.均匀分布概率计算的重要公式均匀分布概率计算的重要公式设设 X U(a, b), a c d b, 即即 a, b c, d ,则：则：课堂练习2.3 连续型随机变量及其概率密度几种分布定义求法u 1.1.课堂练习2.3 连续型随机变量及其概率密度几种分布定义求法u 1.1.u 答案：由随机变量X的概率密度 可知，X服从均匀分布，具有均匀性，均匀性是指随机变量X落在区间长度相等的子去见上的概率都是相等同的，故选B.课堂练习u 2.2.2.3 连续型随机变量及其概率密度几种分布定义求法课堂练习u 2.2.u答案：答案：2.3 连续型随机变量及其概率密

14、度几种分布定义求法2.3 连续型随机变量及其概率密度2.3 连续型随机变量及其概率密度几种分布定义求法三种重要的概率分布：三种重要的概率分布：均匀分布、均匀分布、指数分布指数分布、正态分布正态分布. .若随机变量若随机变量X的概率密度为的概率密度为:其中其中 0为常数为常数,则称则称X 服从服从参数为参数为的指数分布，的指数分布，简记为简记为X E().其分布函数为其分布函数为课堂练习2.3 连续型随机变量及其概率密度几种分布定义求法例例 .电子元件的寿命电子元件的寿命X(年年)服从参数为服从参数为3的指数分布的指数分布 (1)求该电子元件寿命超过求该电子元件寿命超过2年的概率。年的概率。 (

15、2)已知该电子元件已使用已知该电子元件已使用了了1.5年，求它还能使用两年，求它还能使用两年年的概率为多少？的概率为多少？课堂练习2.3 连续型随机变量及其概率密度几种分布定义求法例例 .电子元件的寿命电子元件的寿命X(年年)服从参数为服从参数为3的指数分布的指数分布 (1)求该电子元件寿命超过求该电子元件寿命超过2年的概率。年的概率。 (2)已知该电子元件已使用已知该电子元件已使用了了1.5年，求它还能使用两年，求它还能使用两年年的概率为多少？的概率为多少？2.3 连续型随机变量及其概率密度2.3 连续型随机变量及其概率密度几种分布定义求法三种重要的概率分布：三种重要的概率分布：均匀分布、指

16、数分布、均匀分布、指数分布、正态分布正态分布. .若随机变量X的概率密度为其中其中 , 2为常数为常数, , 0,则称则称X 服从服从参数为参数为 , 2的正态分布的正态分布,简记为简记为X N ( , 2 ).f (x)的图形如右图2.3 连续型随机变量及其概率密度2.3 连续型随机变量及其概率密度几种分布定义求法习惯上,称服从标准正态分布的随机变量为正态随机变量,又称为正态分布的概率密度曲线为正态分布曲线.正态分布曲线的性质如下：(1)曲线关于直线x 对称,这表明对于任何h 0,有P h X P X h.(2) 当x 时取得最大值2.3 连续型随机变量及其概率密度2.3 连续型随机变量及其

17、概率密度几种分布定义求法标准正态分布2.3 连续型随机变量及其概率密度2.3 连续型随机变量及其概率密度几种分布定义求法 ( x)与与 ( x)的图形见下图的图形见下图.标准正态分布分布函数标准正态分布分布函数 (x)的性质：的性质：2.3 连续型随机变量及其概率密度2.3 连续型随机变量及其概率密度几种分布定义求法一般正态分布分布函数一般正态分布分布函数F (x)与标准正态分布分布函数与标准正态分布分布函数 (x)的关系：的关系：2.3 连续型随机变量及其概率密度2.3 连续型随机变量及其概率密度几种分布定义求法一般正态分布分布函数一般正态分布分布函数F (x)与标准正态分布分布函数与标准正

18、态分布分布函数 (x)的关系：的关系：课堂练习u 1.1.2.3 连续型随机变量及其概率密度几种分布定义求法课堂练习u 1.1.2.3 连续型随机变量及其概率密度几种分布定义求法u 答案答案.A.A课堂练习u 2.2.2.3 连续型随机变量及其概率密度几种分布定义求法课堂练习u 2.2.2.3 连续型随机变量及其概率密度几种分布定义求法答案：答案：A课堂练习u 3.3.2.3 连续型随机变量及其概率密度几种分布定义求法课堂练习u 3.3.2.3 连续型随机变量及其概率密度几种分布定义求法答案：答案：C第二章随机变量及其概率分布随机变量函数的概率分布知识框架离散型随机变量离散型随机变量及其分布律

19、随机变量的概念0-1分布 与 二项分布泊松分布随机变量的分布函数性质概念连续型随机变量及其概率密度几种分布定义求法连续型离散型2.4 随机变量函数的概率分布2.4 随机变量函数的概率分布连续型离散型设设X一个随机变量，分布律为一个随机变量，分布律为XPXxkpkug(x)是一给定的连续函数，称是一给定的连续函数，称Yg(X)为随机变量为随机变量X的一个函数，的一个函数，显显然然Y也是一个随机变量也是一个随机变量.u本节将讨论如何由已知的随机变量本节将讨论如何由已知的随机变量X的概率分布去求函数的概率分布去求函数Yg(X)的概率分布的概率分布.2.4.1 离散型随机变量函数的分布律离散型随机变量

20、函数的分布律课堂练习u 1.1.设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为X X-1-10 01 12 2P P0.20.20.10.10.30.30.40.4求求: (1)Y=X的分布律的分布律. (2) Z=X的分布律的分布律.2.4 随机变量函数的概率分布连续型离散型课堂练习u 1.1.设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为X X-1-10 01 12 2P P0.20.20.10.10.30.30.40.4求求: (1)Y=X的分布律的分布律. (2) Z=X的分布律的分布律.2.4 随机变量函数的概率分布连续型离散型课堂练习u 1.1.设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为X

21、 X-1-10 01 12 2P P0.20.20.10.10.30.30.40.4求求: (1)Y=X的分布律的分布律. (2) Z=X的分布律的分布律.解 : (1)Y的可能取值为-1，0，1，8.由于PY -1 PX 3 -1 PX -1 0.2, PY 0 PX 3 0 PX 0 0.1,PY 1 PX 3 1 PX 1 0.3, PY 8 PX 3 8 PX 2 0.4.从而Y的分布律为:Y-1018P0.20.10.30.32.4 随机变量函数的概率分布连续型离散型课堂练习u 1.1.设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为X X-1-10 01 12 2P P0.20.20.1

22、0.10.30.30.40.4求求: (1)Y=X的分布律的分布律. (2) Z=X的分布律的分布律.(2) Z的可能取值为0，1，4.PZ=0 PX 2=0 =PX=0 =0.1,PZ =1 =PX 2 =1 PX 1 PX 1 0.2 0.3 0.5,PZ 4 PX 2 4 PX 2 0.4.Z014P0.10.50.4从而从而Z的分布律为：的分布律为：2.4 随机变量函数的概率分布连续型离散型课堂练习33 0.4 =12X(X)X BY,P Y（ ， ），令求u 2.2.2.4 随机变量函数的概率分布连续型离散型课堂练习112221333 =1=12 = =1+ =2 =0 40 60

23、40 6X(X)P YPP XP XC ( . ) ( . )C ( . ) ( . )解：33 0.4 =12X(X)X BY,P Y（ ， ），令求u 2.2.2.4 随机变量函数的概率分布连续型离散型75上课时间：19:3021:30 不要迟到！ 注意出勤时间，不得无故提前早退！21:30发布随堂考。21:30-22:00答疑解惑！第二章 随机变量及其概率分布2.4.2 连续型随机变量函数的概率分布设X为连续型随机变量, 其概率密度为fX (x),要求Y=g( X )的概率密度fY ( y),可以用如下的定理：定理 设X为连续型随机变量, 其概率密度为f X (x).设g(x)是一个严格单调可导的函数,其值域为 , ,且g(x) 0.记x h( y) 为y g(x)的反函数,特别地,当 , 时,fY ( y) fX (h( y) |h( y)|,（ y ）则Y g( X )的概率密度课堂练习u 1.1.2.4 随机变量函数的概率分布连续型离散型设随机变量设随机变量X X的概率密度为的概率密度为求求Y=2X+8Y