微积分习题之无穷级数共21文档

1、填空题1数项级数1 的和为1。n i (2n1)(2n 1)22 .数项级数 .tL的和为 cosi 。n o (2n)!注：求数项级数的和常用的有两种方法，一种是用和的定义，求部分和极限；另一种是将数项级数看成是一个函数项级数在某点取值时的情 况，求函数项级数的和函数在此点的值。13.设an 0, p 1,且lim(np(e* 1心)1，若级数 a.收敛，则p的取值范n 1围是(2,) 01 1分析：因为在n 时，(en 1)与-是等价无穷小量，所以由n1 1lim (np(en 1)an) 1可知，当n 时，an与飞7是等价无穷小量。由因为nn级数an收敛，故4i收敛，因此p 2 0n 1

2、n 1 n4.幂级数an(x 1)2n在处x 2条件收敛，则其收敛域为0,2。n 0分析：根据收敛半径的定义，x 2是收敛区间的端点，所以收敛半径为1o由因为在x 0时，级数an(x 1)2nan条件收敛，因此应填0,2n 0n 05 .幂级数一 n x2n的收敛半径为.3 on 1 2n ( 3)n分析：因为幂级数缺奇次方项，不能直接用收敛半径的计算公式。因 为limn2(n 1)(3)n 12n ( 3)n2nnx所以，根据比值判敛法，当x J3时，原级数绝对收敛，当x 品时，原级数发散。由收敛半径的定义，应填 ,36.幂级数n 21n In n2nxn的收敛域为1,1)第7页分析：根据收

3、敛半径的计算公式， 幂级数xn收敛半径为1，收敛n 2 nln n域为1,1)；幂级数.2駅收敛域为(2,2)。因此原级数在收敛，在(2, 1) 1,2) 定发散。有根据阿贝尔定理，原级数在(，2 2,)也一定发散。故应填1,1)7已知 f(x)anxn,x (,)，且对任意 x， F (x) f(x)，则 F(x)在n 0原点的幂级数展幵式为F(0)xn,x (,)n 1 n分析：根据幂级数的逐项积分性质,及 f (x)anXn 0)，得F(x) F(0)antn 0dtan故应填F(0)an 1 nx , xn 1 n函数 f (x) xe处的幂级数展幵式为e 111 (x 1)n。n 1

4、 (n 1)! n!分析：已知exxn (xn 0 n!)，所以x八 x 1xe e(x 1)e e1e (x11)n0!(x 1)n10汕 1)n1(n 1)!1n!(x 1)n。根据函数的幂级数展幵形式的惟一性,这就是所求。9.已知 f(x) x 1,x0,1，S(x)是f(x)的周期为1的三角级数的和函数,则s(0), s(2)的值分别为10.设 f(x)x,2(1x),12,1,S(x)aoan cosnn 1x, x (其中anf(x)cosn xdx (n0,1,2,),则s(号)4。选择题11 .设常数0,正项级数an收敛,1则级数 (八 n .'a2n 11)T(A)发

5、散。(B)条件收敛。(C)绝对收敛(D)敛散性与的值有关。分析:n2因为 a2k1k 11akk 1，且正项级数an收敛，所以1a2n 1收敛。1又因为1)一 n212 a2所以原级数绝对收敛。12 .设 an cosn ln(11,2,3,)，则级数（A） an与a2都收敛。（B）n 1n 1(C)an收敛，a；发散。(D)n 1n 1答C分析：因为 an cosn In(1n)an与 a；都发散。n 1n 1an发散，a；收敛n 1n 1(1)nln(11 ),所以级数an是满p；nn 1足莱布尼兹条件的交错级数，因此an收敛。因为n 1a； ln 2(1 士)在< n时与1是等价无

6、穷小量，且调和级数n丄发散,n 1 n所以a；发散113.1,2,3,），则下列级数中肯定收敛的是(A)ann 1(B)1)nan o(C)anon ； I n n(D)a； ln n。2分析:(C)因为收敛,a2na2n 1所以,所以0na； In n收敛2a； ln n另外,1a；n 1(2 n1)；，取an14n'（；n）发散，所以(114.下列命题中正确的是(A)若 UnVn (n 1,2,3,)，贝y UnVnn 1n 1(B)若 unVn (n 1,2,3,)，且 Vn 收敛，则n 1a2n又因为,可以说明不能选14n1）nan发散。Un收敛n 1(A)(C)若吩1，且 V

7、收敛，则Vnn 1u；收敛1(D)若 W u. v(n 1,2,3,)，且V；收敛，则 u1n 1收敛。分析：因为Wnu； Vn，所以0UnWnVnWn。又因为W；与V；1n 1收敛，所以(Vnn 1Wn)收敛，因而(Un1)收敛。故 u；收敛。n 1因为只有当级数收敛时，才能比较其和的大小，所以不能选(A)；选项(B),(C)将正项级数的结论用到了一般级数上，显然不对。例如取级数1与厶可以说明(B)不对,n n 1 n取级数(1)n与(1)nn 1 V n n 1Jn明(C)不对。15.F列命题中正确的是(A)若 u2与V；都收敛，则n 1n 1(u； Vn )2 收敛。1(B)u；V；收敛

8、，则u；与v；都收敛。1(C)若正项级数u；发散，则1(D)若unVn (n1,2,3,)，且发散，则Vn发散。1分析:因为(u2Vn)2Un2u2Vn2(u；V：)，所以当u；与1V；都1收敛时,(un Vn)2 收敛n 1Un一，Vn n-尸可以排除选项(B);取n11Un 2n排除选项(C);取级数u1可以说明(D)不对n16.若级数un， Vn 1n 1都发散，则(A) (un 1Vn)发散。(B)unVn发散。1(C) (un 1)发散。(D)(u； V；)发散。1分析:1可以排除选项n(A),(B)及(D)因为级数Un，1Vn都发散，所以级数n 1un1Vn1都发散，因而(un 1

9、Vn)发散故选(C) o17设正项级数un收敛,n 1(A)极限lim哑小于1 onun(B)极限lim虬1小于等于1 onUn(C)若极限nim存在，其值小于(D)若极限nim 土存在，其值小于等于1 o分析：根据比值判敛法，若极限呛存在，则当其值大于1时，级数un发散。因此选项(D)正确。取un 1A排除选项(C) o因为正项级数nUnn 1收敛并不能保证极限lim 山存在，所以选项(A)，(B)不对。nUn18.下列命题中正确的是第23页an 1an1oR(B)若极限limnan 1an不存在，则幂级数anxn没有收敛半径。n 0(C)若幂级数anXn的收敛域为1,1，则幂级数n 0na

10、nxn的收敛域为n 1(A)若幂级数anxn的收敛半径为R 0,则lim亠n1,1。(D)若幂级数anXn的收敛域为1,1，则幂级数0-axn的收敛域为non 11,1。分析：极限limnan 1an只是收敛半径为R -的一个充分条件，因此选项(A)不对。幂级数anxn没有收敛半径存在而且惟一， 所以选项(B)不对。n 0n取级数选项(D)可以由幂级数的逐项积分性质得x可以排除选项(C)n 1 nn到。19.若幂级数an(x 1)n 在 x01处条件收敛，则级数an n 0(A)条件收敛。(B)绝对收敛(C)发散。 (D)敛散性不能确定。分析：根据收敛半径的定义,1是收敛区间的一个端点,所以原

11、级数的收敛半径为2。因此幂级数(x 1)n在x 2处绝对收敛，即级数an绝对收敛n 020.设函数2f(x) x , x 0,1,S(x)ao2an cosn x, x (n 1其中12of(x)cosnxdx，n O,1,2,则S( 1)的值为11(A)1 o (B)1 o (C)丄。(D)1。22答D分析：an cosn x是对函数f (x) x2, x 0,1作偶延拓得到的三角2 n 1级数展幵式，且延拓后得到的函数连续，根据狄里克莱收敛定理,S( 1) f (1)1。解答题21.求级数n 1lnn3解：因为1 jni3n ln3 S31 2n 1k 1 2k2 1 Jn3 , k 1

12、k k 1)2所以lnn 31n 12nn(n 1)limnlnk32k1k k 1)ln n3limn1 - ln3 2n T 1 In32旦1亠2 In 32 In 322.已知级数(1)n1Un2,U2n 15 ，求级数un的和。n 1n 1n1解:因为U2n 15，所以2u 2n 110。又因为n 1(1)Un2，n 1n 1n 1故Unn 1(2U2n 1(1)nn 11Un)2U2n 1n 1(1)nn 11un 10 28 o23.判断级数 1 ln 口的敛散性n 1 n n解:因为-lnJn0，且lnlim 1,所以1 ln丄与1在n、n n n、n时是等价无穷小。又因为级数1

13、收n 1 n n敛，所以，根据比阶判敛法知级数1 ln丄收敛n 1 鶯 n n另解：因为ln n 1ln 1-nlnn1n所以1 , n 11ln on n n ” n已知 1收敛，所以由比较判敛法知级数 n 1 njnIn口收敛。n24.判断级数却（an 1 n0）的敛散性解：记Un卑，则Unn0，且limUn2n Unn 1 /a (n 1)! lim 冷 n (n 1)n 1nnn；a n!limn所以根据比值判敛法,a e时级数收敛,a e时级数发散。a e时，因为limnUn 1Un1，所以此时比值判敛法失效，但由于Un 1UneT(1 -)n1，（因为数列（1-）n单调递增趋于e）

14、n所以 lim Un 0，n因而当ae时，级数发散。25.讨论级数nnaTp，1 n0的敛散性。解：因为limn(n 1)p所以根据比值判敛法,1时，级数 鼻绝对收敛。n 1 n1时，由于limnn anp，所以级数先发散。a 1时，级数为1n 1 np，由p级数的敛散性，当o p 1时级数发散,当p 1时级数收敛a 1时，级数为(1)n1 np,由莱布尼兹判敛法与绝对值判敛法，当0 p 1时级数条件收敛,1时级数绝对收敛26.已知函数yy(x)满足等式x y，且 y(0)1，试讨论级数11y(-) 1 -nn的收敛性。解：因为 y xy，所以y由 y(0) 1 ，得 y (0)1, y (0

15、)2。根据泰勒公式，得所以y(-)n1y()ny(0)1y(0)-nA o(n1尹丄)，n(0)(丄)2n1o(r)n时与2等价，且级数n4收敛，因此级数1 ny()n 1 n绝对收敛。注：本题也可先解定解问题y yy(0)1x，得到y(x) 2ex x 1后再用泰勒公式讨论。27.求下列幂级数的收敛域2n(1)( 1)n?xn，(2)，n 1#n解：(1) 记，因为111所以收敛半径为 R -,收敛区间为（-,-）。22 2又因为当时，级数条件收；当时，级数发散。n故级数 （1）n 2 xn的收敛域为（-,-。n 1 石2 2（2）记，由，得收敛半径为，所以幂级数仅在处收敛。（3）记，由，得

16、收敛半径为，故级数的收敛域为，。28 求幂级数£x2n1的收敛域。n 1 3n解：此时不能套用收敛半径的计算公式，而要对该级数用比值判敛法求其 收敛半径。因为所以，当，即时，级数2n 1绝对收敛；当,即时，级数 ：x2n1发n 1 3散。根据收敛半径的定义知级数#x2n1的收敛半径为。又当时,別®2"1级数发散；当时,般项为，级数也发散。故级数冷宀的收敛域为，注：还可以将级数变形为1x1討，再令ux2，研究幂级数n J"的收敛半径和收敛域，最后得到n1片1的收敛域。29.求幂级数102n(2x 3)2n 1的收敛域。n 1解：因为 102n(2x 3)2

17、n 1n 12n1，且Un 1(x)lim102n2(2x 3)2n1Un(x)Hilln102n(2x 3)2n 1lim202(x |)2，二20% |)所以，当 202(x |)21，20°05 时，级数绝对收敛；当0.05时，级数发散。故幂级数102n(2xn 13)2n 1的收敛区间为(1.45,1.55)。又当0.05时，原级数的一般项分别是Un10和Un 10， 所以发散。因此级数102n(2x 3)2n 1 的收敛域为(1.45,1.55)。n 130.设 a° 7 7 a? 7为一等差数列，且ao0，求级数anXn的收敛域。n 0解：记 a0, a1, a

18、2,的公差为d，则ana。 nd，所以limnan 1an因此收敛半径为R 1，又当x1时，级数成为n,1)nan，nim an0，1,1) °所以(1)nan发散，于是级数anXn的收敛域为(n 0n 031.将函数in115-展幵为x 0处的幂级数。x解：因为ln(1x)上 xn, x1 n(1,1 o所以in1 xln(15x )ln(1x)32 .将函数f (x)arcta n解：因为(x)所以xf(x) 0f(t)dt33.解:1)n1(x5)nn1)n1 ( x)nn5n x1 n2x2 x将函数在点展成幂级数将视为,因此只需将因为所以(1 x 1)。0点展幵为幂级数。2

19、( 1)nx2n 01)n :t2ndt并求。展成即可。,(x 1)，f(0)0，F%1 (x 1) o0 2n 11x第25页113x 1 (x 1)232(X 1)n3n第29页于是f(x) p 1(X4x31)(x1)23(x 1)332n 1(X 1)3n由于的幂级数的系数,所以f(n) (1)(n!)an!n 3n 134.求幂级数在收敛区间,内的和函数，并求数项级数的和。解：利用幂级数在收敛区间内可以逐项积分和逐项微分，得x0 S(x)dxx1 0(n 11)n 1 n(n 1)xndx (| x | 1)1)n1 n 1nx(1)nn 11(xn)x2x21)1xnx2(1x2x

20、?将上式两端对上限求导，得令，得(1)n 11 n(n2n1)1 8o227求幂级数nxn的和函数S(x)n 1(X)nxn 1 ，则S,x)的定义域为(1,1),且S(x) xS1(x)。任给x ( 1,1),由逐项积分公式得，Xntn 1dt0-,x ( 1,1) oxx0S1(t)dtn因此,S1(x)2, x(1 x)(1,1),所以,S(x)xS-i (x)(11,1)(1)求幂级数的和函数。S(x)则S,x)的定义域为1,1)，且 S(x)xS1(x)任给1,1)，由逐项求导公式得,3(x),x (1,1) o因此,S(x)Sdx)和0)ln(1x), x(1,1) o所以,S(x

21、)xS1(x)xln(1x), x(1,1) o由 S(x)C 1,1)得,S(1)limx 1lim xln(1 x) In2ox 1(2)求数项级数1)n的和考虑幂级数(Lx2n 1，则其收敛域为1,1。若记其和函数为S(x)，则n 0 2n 1(1)nS(1)。n o2n 1由于xS(x) S(x) S(0)°S(t)dt(1)nt2n dtn 0x 1。十 arctanx,X ( 11)。又因为S(x) C 1,1，所以S(1) lim S(x) lim arctanxx 1x 14故(1)n on o 2n 14235.求级数的和n 1 n!n解：由于exxn 0 n!,x

22、 (,)对上式两边求导，得x n n 1exn 0 n!所以此式两边再求导，得x xen n x ， n 0 n!2x xn n 1xe exn 0 n!2在上式中令x 1,有 2e n 1 n!36.设f(x)时周期为2的周期函数,且 f(x)x,0,12，写出f(x)的傅里叶级数与其和函数，并求级数10(2 n解：根据傅里叶系数的计算公式，得2an0 f (x) cos n1xcos n0(1)n 12 2nxdxao20 f (x)dxbnxdx(n123,1xdx0所以f(x)的傅里叶级数为其和函数的周期为S(0)所以2f (x)s inn xdx01xsin n xdx0旦(nn1,

23、2,3,)，S(x)1)n 1n1cos nx,120,n 1(1) sin n xx 1,1,x 2。2 且n 0 (2n 1)2 2，22 _。n 0 (2n 1)28S(0)0，1第31页0。所以存在N 0，使1nan)(1根据比较判敛法知级数n1血收敛39 .设 an04tann xdx，证明对任意的常数级数证：令tan xt，得04ta ndx1 tn01 t2dtdt37. 设级数 an收敛，且lim bn 1，证明级数anbn绝对收敛。n 1nn 1证： 因为lim bn 1 ,所以数列bn有界，即存在M 0 ,使得对任意的n ,有bn M，于是anbn| M|an，又级数|an收敛，由比较判敛法知|anbn收敛，故级n 1n 1数 anbnn 1绝对收敛。