常微分方程(第三版)第一章

1、编辑课件 Ordinary differential equation王高雄王高雄 周之铭周之铭 朱思铭朱思铭 王寿松编王寿松编编辑课件常微分方程常微分方程Ordinary differential equation 第一章 绪 论 第二章第二章 一阶微分方程的初等解法一阶微分方程的初等解法 第三章第三章 一阶微分方程的解的存在定理一阶微分方程的解的存在定理 第四章第四章 高阶微分方程高阶微分方程 第五章第五章 线性微分方程组线性微分方程组 第六章第六章 定性理论初步定性理论初步1 1 2 2 第七章第七章 一阶线性偏微分方程一阶线性偏微分方程编辑课件课程目的课程目的/Major Subjec

2、tion of Course/Major Subjection of Course/ 学习各类可求解的常微分方程和方程组的类型及其求解方法。 熟悉常微分方程解的基本性质，如解的存在性，唯一性等内容，了解研究常微分方程的基本方法，如稳定性分析、定性分析等。课时课时/Periods/ /Periods/ 4节/周，共54学时。考试考试/Examination/Examination/ 闭卷：期中测验、期末考试。参考书目参考书目/Reference Books/Reference Books/ 叶彦谦，常微分方程讲义，高等教育出版社。王柔怀，伍卓群，常微分方程讲义，人民教育出版社。编辑课件第一章第一

3、章 绪绪 论论 Introduction编辑课件 微分方程概述微分方程概述 /Sketch of ODE/ 基本概念基本概念 /Basic Conception/ 练习题练习题/Exercise/编辑课件本章要求本章要求/Requirements/ 能快速判断微分方程的类型；能快速判断微分方程的类型； 掌握高阶微分方程及其初值问题的一般形式；掌握高阶微分方程及其初值问题的一般形式； 理解微分方程解的意义。理解微分方程解的意义。CH.1 Introduction编辑课件 微分方程理论起始于十七世纪末，是研究自然现象强有微分方程理论起始于十七世纪末，是研究自然现象强有力的工具，是数学科学联系实际的

4、主要途径之一。力的工具，是数学科学联系实际的主要途径之一。 16761676年，莱布尼兹在给年，莱布尼兹在给NewtonNewton（牛顿）的信中首次提到（牛顿）的信中首次提到Differential EquationsDifferential Equations（微分方程）这个名词。（微分方程）这个名词。 微分方程研究领域的代表人物：微分方程研究领域的代表人物：BernoulliBernoulli、CauchyCauchy、 Euler Euler 、Taylor Taylor 、LeibnizLeibniz、PoincarePoincare、LiyapunovLiyapunov等。等。 微

5、分方程理论发展经历了微分方程理论发展经历了三个过程三个过程：求微分方程的解；：求微分方程的解； 定性理论与稳定性理论；微分方程的现代分支理论。定性理论与稳定性理论；微分方程的现代分支理论。 1.11.1 微分方程概述微分方程概述/ Sketch of ODE/1.1 Sketch of ODE编辑课件 含有未知量(数)的等式(或关系式)。例如:1 1 代数方程代数方程( (组组) )，其未知量为数 一元n次代数方程： 0111 nnnnaxaxax无理方程：652x方程组：17yxyx2 2 超越方程（组）超越方程（组），其含有超越函数三角方程：xxcos)5sin(指数方程：52 xxe其特

6、点：方程的解为实数（有限个或者无限个）方程方程/Equation/Equation/1.1 Sketch of ODE编辑课件1sin)(22ttttcos)(1)( t2122)(ctctt例例2 . 1xy )(xfy 0) 1( . 22222urdrdurdrudr)()( . 3xyxpdxdy3 函数方程（或泛函方程），其未知量为函数其特点：方程的解为有限个或无穷多个函数。定义定义：一个或几个包含自变量，未知函数以及未知函数的某些阶导数（或微商）的关系式，称之为微分方程微分方程 。 1.1 Sketch of ODE编辑课件0),( . 4)( nyyyxF),( . 5) 1()

7、( nnyyyxfyyxdtdyyxdtdx . 60 . 72yxu4 . 822222uyuyxuxxsin)(f . 92n阶隐式方程n阶显式方程方程组 偏微分方程偏微分方程不是微分方程1.1 Sketch of ODE编辑课件例例1 1： 质量为m的物体在重力的作用下，沿铅直线下落，物体下落距离S(向下为正）随时间 t 而改变。在不考虑空气阻力的情况下，试求出距离 S 应满足的微分方程。 mgmdtsd22gdtsd2221221)(ctcgtts微分方程模型举例微分方程模型举例/Modeling of ODE/Modeling of ODE/)(ts解解： 设在时刻 t 物体下落的距

8、离为 按牛顿第二定律 1.1 Sketch of ODE编辑课件 例例2 2：放射性元素镭因不断放射出各种射线而逐渐减少其质量，这种现象成为衰变衰变，实验知镭的衰变率与其当时的质量成比例。试求镭衰变的规律。 )()(tkRtR微分方程模型微分方程模型：含有自变量，未知函数及未知函数导数（或变化率）的关系式。 解解：设在任意时刻 t 镭的质量为R(t),1.1 Sketch of ODE编辑课件 1.21.2 基本概念基本概念/Basic Conception/Basic Conception/ 1. 常微分方程和偏微分方程常微分方程和偏微分方程 2. 一阶与高阶微分方程一阶与高阶微分方程 3.

9、 线性和非线性微分方程线性和非线性微分方程 4. 解和隐式解解和隐式解 5. 通解和特解通解和特解 6. 积分曲线和积分曲线族积分曲线和积分曲线族 7. 微分方程的几何解释微分方程的几何解释-方向场方向场编辑课件l常微分方程与偏微分方程常微分方程与偏微分方程/ODE and PDE/ODE and PDE/ 常微分方程常微分方程/ODE /ODE / 在微分方程中，自变量自变量的个数只有一个的微分方程称为常微分方程常微分方程。 偏微分方程偏微分方程/ PDE/ PDE/ 自变量自变量的个数有两个或两个以上的微分方程称为偏偏微分方程微分方程。)(22tfcydtdybdtyd0)(2ydtdyt

10、dtdy0222222ZTyTxTtTxT4221.2 Basic ConceptionBasic Conception编辑课件l一阶与高阶微分方程一阶与高阶微分方程/First and Higher ODE/First and Higher ODE/微分方程的微分方程的阶阶/Order/Order/ 在一个微分方程中所出现的未知函数的导数的最高阶数n称为该方程的阶阶。 当n=1时，称为一阶微分方程一阶微分方程； 当n1时，称为高阶微分方程高阶微分方程。例如)(22tfcydtdybdtyd0)(2ydtdytdtdy0222222ZTyTxTtTxT4221.2 Basic Concepti

11、onBasic Conception编辑课件一阶常微分方程的一般隐式形式可表示为：0),( yyxF),(yxfy 一阶常微分方程的一般显式形式可表示为：类似的，n阶隐方程的一般形式可表示为：0),()( nyyyxFn阶显方程的一般形式为),() 1()( nnyyyxfy其中F及f分别是它所依赖的变元的已知函数。1.2 Basic ConceptionBasic Conception编辑课件l线性和非线性微分方程线性和非线性微分方程/Linear and Nonlinear /Linear and Nonlinear ODE/ODE/如果方程0),()( nyyyxF的左端为未知函数及其各

12、阶导数的一次有理整式，则称它为线性微分方程，否则，称它为非线性微分方程。例如：)(22tfcydtdybdtyd0)(2ydtdytdtdy0222222ZTyTxTtTxT4221.2 Basic ConceptionBasic Conception编辑课件)()()()()1(1)(0 xgyxayxayxannn 0)(0 xa)(),(,),(),(10 xgxaxaxan n阶线性微分方程的一般形式为：其中均为 的已知函数x如：2阶线性方程的一般形式)()()()(210 xgyxayxayxa xxexyyxy sin21.2 Basic ConceptionBasic Conce

13、ption编辑课件l解和隐式解解和隐式解/Solution/Solution/ )(xy0)(,),(),(,)( xxxxFnyxdxdy21xy122 yx对于方程0,)( nyyyxF若将函数代入方程后使其有意义且两端成立即则称函数 为该方程的一个解解. .)(xy),() 1()( nnyyyxfy或一阶微分方程 有解即关系式 若方程的解是某关系式的隐函数，称这个关系式为该方程的隐式解隐式解。把方程解和隐式解统称为方程的解方程的解。包含了方程的解，1.2 Basic ConceptionBasic Conception编辑课件l通解和特解通解和特解/General Solution a

14、nd Special Solution/General Solution and Special Solution/ 常微分方程的解的表达式中，可能包含一个或者几个常数，若其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程的阶数相同，我们称这样的解为该微分方程的通解通解。 常微分方程满足某个初始条件的解称为微分方程的特解特解。 例：二阶方程gdtsd2221221)(ctcgtts其通解而221)(gtts是方程满足初始条件0) 0 ( , 0) 0 (ss解。1.2 Basic ConceptionBasic Conception编辑课件初值条件初值条件/Initial Value Conditio

15、ns/Initial Value Conditions/对于 n 阶方程),() 1()( nnyyyxfy初值条件可表示为) 1(00) 1(000000)( ,)( ,)( ,)( nnyxyyxyyxyyxyn阶方程初值问题初值问题（Cauchy ProblemCauchy Problem）的表示 ) 1(00) 1(000000) 1()()( ,)( ,)(,)(),(nnnnyxyyxyyxyyxyyyyxfy一阶和二阶方程初值问题初值问题（Cauchy ProblemCauchy Problem）的表示00)(),(yxyyxfy 0000)(,)(),(yxyyxyyyxfy1

16、.2 Basic ConceptionBasic Conception编辑课件l积分曲线和积分曲线族积分曲线和积分曲线族 /Integral Curve(s)/Integral Curve(s)/),(yxfdxdy)(xy),(cxy一阶微分方程的解yx,平面的一条曲线，我们称它为微分方程的积分曲线积分曲线，而微分方程的通解表示表示yx,平面的一族曲线，称它们为微分方程的积分曲线族。积分曲线族。1.2 Basic ConceptionBasic Conception编辑课件l方向场方向场/Directional Pattern/Directional Pattern/),(yxf),(yxD

17、),(yxfdxdy对于一阶微分方程其右端函数的定义域为 ，在定义域的每一点 处，画一个小线段，其斜率等于 ),(yxf，此时，点集D就成为带有方向的点集。称此区域为由方程),(yxfdxdy确定的方向场方向场。1.2 Basic ConceptionBasic Conception编辑课件yxdxdykyxxky11.2 Basic ConceptionBasic Conception编辑课件22yxdxdykyx2222yxyyyxyx2222y22 ()xy xy 1.2 Basic ConceptionBasic Conception编辑课件练习题练习题1 1编号微分方程自变量未知函数

18、常或偏阶数是否线性1234344ssdsd4否2)(1yyxyxy常常s1否2否常xxyy1是偏u2222yuxutu02cosxydxdy1.3 ExerciseExerciset编辑课件练习题练习题2 2编号函数微分方程初始条件1234xtxdteey0)1 (2212xyy1)0(y是实数）(xey 30yy1)0( y1)0(y1)0( y例外1)cos(1txuxxttuuxxucos1), 0(0, )sinuxx xysin0yy 0)(y( )1y 例外11.3 ExerciseExercise编辑课件2 ) 1 (xcxy11 )2(2222cycx求下列曲线族所满足的微分方程022 yyxcy012222cyycx0) 1(22yycxc0)() 1(2222 yycycc02222 yycyycyyc02 yyyyyy1.3 ExerciseExercise编辑课件作业作业/Homework/Homework/ 4. 给定一阶微分方程 （1）求出它的通解. （2）求出通过点（1,4）的特解. （3）求出与直线 相切的解. （4）求出满足条件 的解