必修五解三角形常考题型

1、必修五解三角形常考题型1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理【典型题剖析】考察点1:利用正弦定理解三角形例 1 在 ABC 中，已知 A:B:C=1:2:3,求 a :b :c.例2在ABC中，已知C2+.6，C=30。，求a+b的取值范围。考察点2 :利用正弦定理判断三角形形状 例3在ABC中，a2 tanB= b2 tanA，判断三角形 ABC的形状。例4在ABC中，如果lg a -lg c =lg sin B = - lg、2，并且B为锐角，试判断此三角形的 形状。考察点3 :利用正弦定理证明三角恒等式 例6在ABC中，a,b,c分别是角 A,B,C的对边，C=2B，求证cbab.例

2、5在AABC中，求证2 2a -bb2 -c2c2 -a2cos A cosB cosB cosC cosC cos A考察点4 :求三角形的面积例7在AABC中，a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边，若a = 2,C',cos£, 求425ABC的面积S.例8已知AABC中a,b,c分别是三个内角 A,B,C的对边，ABC的外接圆半径为12，且C ,3求ABC的面积S的最大值。考察点5 :与正弦定理有关的综合问题例9已知ABC的内角A,B极其对边a,b满足a b = a cot A b cot B,求内角CcosA b 4例10在ABC中，A, B, C所对的边分别为

3、a,b,c,且c=10,，求a,b及AABCcosB a 3的内切圆半径。易错疑难辨析易错点利用正弦定理解题时，出现漏解或增解【易错点辨析】本节知识在理解与运用中常出现的错误有：（1）已知两边和其中一边的对角，利用正弦定理求另一边的对角时，出现漏解或增解；（2）在判断三角形的形状时，出现漏解的情况。例1（1） 在ABC 中，a = 2、3, b = 6, A = 30 ,求 B;(2)在AABC 中，a =2、3,b =2, A =60 ,求 B;易错点 忽略三角形本身的隐含条件致错180 °等造成的错误。【易错点解析】解题过程中，忽略三角形本身的隐含条件，如内角和为 c例2在ABC

4、中，若C =3B,求的取值范围。b咼考真题评析例1 （2010 广东高考）已知a, b , c分别是 ABC的三个内角 A, B , C所对的边，若a =1,b =漿,A +C = 2B,则 sin C =2tt（2010 北京高考）如图1-9所示，在 ABC中，若b "c3,C冇图1-9例 3 （2010-湖北高考）在AABC中，a =15,b =10, A=60 ,则 cosB 等于（）a，3例 4 （2010-天津高考）在ABC中，些二進AB cosC（1）求证B =C ；（2）若 cosA = 1，求 sin 4B += |的值。3 l 3丿1.1.2 余弦定理典型题剖析考察

5、点1:利用余弦定理解三角形例 1:已知ABC 中，b =3,c =3、3 B =30 ,求 A, C 和 a 。例 2: XBC 中，已知 a =2、,6,b =6 2、3c =4、, 3，求 A，B，C考察点2 :利用余弦定理判断三角形的形状例 3:在AABC 中，已知 a b c a，b-c =3ab,且 2cosA_sinB =sinC，试判断厶ABC的形状。例4:已知钝角三角形 ABC的三边a = k,b = k 2,c = k 4,求k的取值范围。考察点3 :利用余弦定理证明三角形中的等式问题例5在中，a,b,c分别是角 A，B，C的对边，Ca 1（1）求证 a cosB bcos

6、A = c; （ 2）求证 a cos2cosa b c2 227（1）求证a2 -b2 sin A-Bc2一 sinC例6在L ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c。a ccosB sin B(2)求证b - ccos A sin A考察点4 :正余弦定理的综合应用 例 7:在LABC中，已知 b = .3 -1 a,C =30 ,求代B.例& 设L ABC的内角A, B, C的对边分别为a,b,c,已知b2c2= a23bc,(1 )求 A 的大小；(2)求 2sin BcosC -sin B -C 的值。例9:设L ABC得到内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且aco

7、sB=3,bsin A = 4.（1）求边长a ；（ 2 ）若ABC的面积S=10，求L ABC的周长I。易错疑难解析易错点 利用余弦定理判断三角形的形状时出现漏解情况【易错点辨析】在等式两边同时约去一个因式时，需要十分小心，当该因式恒正或恒负时可以约去，一定要避免约去可能为零的因式而导致漏解。例1:在L ABC中，已知acosA=：bcosB,试判断L ABC的形状易错点 易忽略题中的隐含条件而导致错误【易错点辨析】 我们在解题时要善于应用题目中的条件，特别是隐含条件，全面、细致地分析问题，如下列题中的 b >a就是一个重要条件。例 2:在LABC中，已知 a =2,b =2、2,C

8、=15 ,求 A。咼考真题评析例1 :（ 2011.山东模拟）在LABC中，D 为 BC 边上一点，BC =3BD, AD =72,NADB =135：若 AC =AB,贝y BD =.例2 : （ 2010.天津高考）在 LABC中，内角 A , B , C的对边分别是a , b , c，若a2 -b2 二 3bc,sin C = 2 .3 sin B,则 a 等于（）B.60C.120D.1501-14所示），它由腰长为1 ,例3: （2010.北京高考）某班设计了一个八边形的班徽（如图顶角为a的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（）A. 2sin a -2cos

9、a 2C. 3sin a _3 cos a 1B. sin a - , 3 cos a 3D. 2sin a-cosa 1例4:（ 2010.安徽高考）设Labc是锐角三角形,a，b, c分别是内角A，B，C所对边长,2f兀心 ）2且 sin A =sin B sin B sin B。13/13 丿（1）求角A的值;AC =12,ac （其中b v c）例5:（陕西高考）如图1-15所示，在L ABC中，已知B=45 °,D是BC边上一点，AD=10 ,AC=14 , DC=6，求 AB 的长。tan A tan B例6:（2010.江苏高考）在锐角LABC中，角A,B,C的对边分别

10、是 求坦匹回C的值。必修五解三角形常考题型1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理【典型题剖析】 考察点1:利用正弦定理解三角形 例 1 在 ABC 中，已知 A:B:C=1:2:3,求 a :b :c.【点拨】本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式a :b :c=si nA: si nB: si nC求解。7 A: B:C =1:2:3,而A B C =：.JIH-.七:1=1:、3:2.解：AWB丐,C乜a :b :=sin A: sin B:sinC =sin ： sin : sin= 6322【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做

11、到灵活应用。例2在ABC中，已知c=、2+'、6，C=30。，求a+b的取值范围。然后再求解。【点拨】此题可先运用正弦定理将 a+b表示为某个角的三角函数,解：，9=30 ° , c= . 26，二由正弦定理得：,sin A sin B sinCsin30°/ a=2( .2 + 6 )sinA,b=2(2+、6)sinB=2( 2+、6)sin (150 °-A).a+b=2( .2+ 6 )sinA+sin(150 °-A)= 2( 2+ ,6 ) 2sin75 ° cos(75 °-A)=26 cos(75 °

12、-A) 当75 °-A=0 °，即A=75 °时，a+b取得最大值 2- 6=8+43 ； *=180。-(C+B)=150。-B,A V 150 ° , 0° <A< 150 °,-75 ° <75 °-A < 75 ° , Cos75 °<cos(75 °-A) <1 ,o>i 庖 r 6cos75 °=26 x62 = 2+ 6 .4综合可得a+b的取值范围为C.2.6 ,8+4、3>考察点2 :利用正弦定理判断三角形形状

13、例3在ABC中，a2 tanB= b2 tanA，判断三角形 ABC的形状。ABC的形状。【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系，利用角的关系判断解：由正弦定理变式 a=2Rsi nA,b=2Rsi nB 得:22Rsin Asin BcosB2二 2Rsin Bsin A cosA.sinAcosA=sin BcosB,即 sin2A 二sin2B , 2A = 2B或2A 2B 二：， .A= B或A B .2L ABC为等腰三角形或直角三角形。【解题策略】“在ABC中，由sin2A=sin2B得/A= zb”是常犯的错误，应认真体会上述解n答过程中“厶=ZB或/A+ ZB= ”的导

14、出过程。2例4在AABC中，如果lg a -lg c = lg sin B = Tg 2，并且B为锐角，试判断此三角形的形状。【点拨】通过正弦定理把边的形式转化为角的形式，利用两角差的正弦公式来判断厶 ABC的形状。解:lg sin B = -lg2, sin B 二又TB为锐角，o B=45由 lg a -lg c =由正弦定理，得sin Asin C.A =180 -45 -C,代入上式得：,2sinC =2sin 135 -C=2 sin 135 cosC-cos135 sinC=,2cosC 、. 2 sin C,.cosC =0,. C =90 ,. A = 45 .Uabc为等腰直

15、角三角形。考察点3 :利用正弦定理证明三角恒等式例5在4ABC中，求证2 , 2, 2 2a -bb -ccos A cosB cosB cosC2 2cacosC cos A【点拨】观察等式的特点，有边有角要把边角统一，为此利用正弦定理将a2,b2，c2转化为 sin2 A,sin 2 B,sin 2 C .证明：由正弦定理的变式 a=2Rsi nA, b=2Rsi nB得:a2 -b24R2sin2 A4R2sin2 Bcos A cos Bcos A cos B2 2 24R (1-cos A) -(1- cos B) cos A cos B2 2(cos B - cos A) 2Z4R

16、 (cos B -cos A) cos A cos B.2 2 b - c4R2(cosC -cosB), 同理 cosB ' cosC2 2c a24R2(cos A - cosC).cosC cos A.左边=4 R2(cos BcosA cosCcosB cosAcosC)=0 =右边.等式成立。【解题策略】在三角形中，解决含边角关系的问题时，常运用正弦定理进行边角互化,利用三角知识去解决，要注意体会其中的转化与化归思想的应用。例6在KBC中，a,b,c分别是角 A,B,C的对边，C=2B，求证cbab.然后【点拨】本题考查正弦定理与倍角公式的综合应用证明：T ABC =180

17、, B C =180 - A.又；C =2B, C -B 二 B.；sin(B C)=sin(180 A)=sin A,.c2-b2 =4R2(sin2C-sin2 B)2=4R (sinC sinB)(sinC-sin B)2 B C C-'BB C .C-'B=4R 2sincos 2cossin2 2 2 2= 4R2 sin(C B)sin(C -B) =4R2sin Asin B 二 ab =右边.等式成立.【解题策略】有关三角形的证明题中，要充分利用三角形本身所具有的性质。A十B 兀 C(1) A B C =叭A B -二-C,2A2 2 22B =2禦一2C.(2

18、)sin( A B)二-tanC.=si nC,cos(A B) = -cosC,ta n(A B)C A+B . C A+B cos ,cossin , tan 2 2 2 2 2+ Ccot .2sin A B(4)sin(2 A 2B)二一sin 2C,cos(2 A 2B)二 cos2C, tan(2A 2B) 一tan2C.考察点4 :求三角形的面积 b 5例7在XBC中，a,b,c分别是三个内角 A,B,C的对边，若a=2,C ,cos ',求厶4 25ABC的面积S.【点拨】先利用三角公式求出sinB,sinA及边c，再求面积。解：由题意 cosB =，得 cosB =

19、2cos2 B1 =3,2 5254 3 兀7 210'B 为锐角，.sinB,sin A =sin(二-B-C)=sin(B)= ”5 4、 10由正弦定理得c ,7c 1. C 1 C 1048Sacsin B 2 *-2 2757【解题策略】在厶ABC中，以下三角关系式在解答三角形问题时经常用到，要记准、记熟, 并能灵活应用， A B C hys in (A B) =si nC,cos(A B) =-cosC;si n 耸BC A B . C cos ,cossin2 2 2例8已知AABC中a,b,c分别是三个内角 A,B,C的对边，AABC的外接圆半径为12，且C二一3求AA

20、BC的面积S的最大值。【点拨】本题主要考察正弦定理与三角形面积公示的综合应用。1 1解：SabcabsinC2Rsin A|_2Rsin BjsinCh、；3R2sin Asin B 3 R2cos( A - B) - cos(A B)23 R2cos(A -B)丄.2 2 当 COS(A -B) =1,即A =B时,(SABC)max =R2=108'、3.44【解题策略】 把三角形的面积公式和正弦定理相结合，通过讨论三角函数值的取值，求得面积的最大值。考察点5 :与正弦定理有关的综合问题 例9已知ABC的内角A,B极其对边a,b满足a acot A b cot B,求内角C【点拨】

21、本题主要考察解三角形中的正弦定理、和差化积公式等基础知识，考察运算能力、 分析能力和转化能力。ab解法1 :* a，b=acotA bcotB,且2R(R为MBC的外接圆半径)sin A sin B.sin A-cos A = cosB-sin B, 1-sin2A=1-cos2B.cos2A-cos2B = 0又 7sin2A -sin2B =2cos(A B)sin(A-B).cos(A B)sin(AB) =0,.cos(A B) =0或sin(A-B) =0.又A,B为三角形的内角，.A B 或A = B,2当A B 时，C =-;2 2ji兀当A = B时，由已知得cotA=1, A

22、，B ,. C .42n综上可知，内角C .2解法2 :由a b二acot A bcot B及正弦定理得， sin A sin B=cos A cosB， sin A -cosA 二 cosB -sin B，JI3TJI3T从而 sin Acos cosAsin cosBsin sin Bcos,4444即 sin（A_：） =sin（： - B）.又V A+B Vn，. A - - B,44A B , C2 2【解题策略】 切化弦、边化角是三角关系化简的常用方法，熟练运用三角恒等变换公式是解 题的关键。cosA b4例10在ABC中，A, B, C所对的边分别为 a,b,c,且c=10,求a

23、,b及AABCcosB a3的内切圆半径。【点拨】欲求边，应将已知条件中的边角统一，先求角再求边。解:由 cosA cosBacosA = sin B cosB sin A变形为 sin AcosA 二sin BcosB,. sin 2A =sin 2B又；a =b,. 2A - ： -2B,. A ,BC是直角三角形。la2 - b2 =102由 b 4解得 a =6,b =8.=一a 3,LABC的内切圆半径为r=LS=22 2【解题策略】解此类问题应注意定理与条件的综合应用。易错疑难辨析易错点利用正弦定理解题时，出现漏解或增解【易错点辨析】本节知识在理解与运用中常出现的错误有：（1）已知

24、两边和其中一边的对角，利用正弦定理求另一边的对角时，出现漏解或增解；（2）在判断三角形的形状时，出现漏解的情况。例1(3)在AABC 中，a = 2、3, b = 6, A = 30 ,求 B;(4)在AABC 中，a = 2、3, b = 2, A = 60 ,求 B;【错解】(1)sin A由正弦定理得sin B=b -=6 sin30 3, b = 60【点拨】sin A由正弦定理得sin B = b -(1)漏解，由 sin B (02解都存在。（2）增解。由sinB-丄（02=2 sin60 丄.B=30 或1502.32<B v 180 °)可得B =60 或120

25、因为b > a,所以两<B v 180 °)可得B=30或150，因为b v a,根据三角形中大边对大角可知Bv A,所以B =150不符合条件，应舍去。【正解】（1）由正弦定理得sinB 二b 业=6 sin302,32B =60 或 120（经检验都符合题意）（2）由正弦定理得sinBb 泄辽 sin60 J又0°<B v 180 °. B=30 或 150b v a,根据三角形中大边对大角可知B v A,.B =150不符合条件，应舍去，.B =30 。易错点忽略三角形本身的隐含条件致错180 °等造成的错误。【易错点解析】解题过

26、程中，忽略三角形本身的隐含条件，如内角和为c例2在SBC中，若C =3B,求 的取值范围。b【错解】 由正弦定理得c = sinC _ sin3B sin(B 2B)b sinB si nBsin Bsin Bcos2B cosBs in2Bsin B2 2= cos2B 2cos B =4cos B-1.c；0 乞 cos2 B一 1 乞 4cos2 B1 乞 3, 03bc2【点拨】在上述解题过程中， 得到了 =4cos B-1后，忽略了三角形的内角和定理及隐含b的A,B,C均为正角这一条件。【正解】 由正弦定理可知c_si nC sin3B sin (B 2B) =b sinBsin B

27、 sin B_ sinBcos2B cosBsin2B sin B2 2二 cos 2 B 2cos B =4cos B1.Ta b c=180 ,c =3b.'0 ° <B V 45 ° ,V cosB V 1.22c V 4cos B1 V 3，故 1 V - V 3.b咼考真题评析例1 （2010 广东高考）已知a, b , c分别是 ABC的三个内角 A, B , C所对的边，若a =1,b =虑 A+C =2B,则 sinC =【命题立意】 本题主要考察正弦定理和三角形中大边对大角的性质，解题的关键是确定角 C的值。31【点拨】在ABC中，A'

28、;B'Cv,又A，C=2B ,故B ,由正弦定理知3asin B1B兀si nA,又a v b，因此A从而可知C ，即sin C = 1。故填1.b262【名师点评】 解三角形相关问题时，应灵活掌握边角关系，实现边角互化。例2（ 2010 北京高考）如图1-9所示，在 ABC中，若b =1,Ch3,C,3则 a =.【命题立意】本题考查利用正弦定理解决三角形问题，同时要注意利用正弦定理得到的两解 如何取舍。【点拨】由正弦定理得， =” sin B =. 2兀sin B2sin3-C为钝角，二B必为锐角,nn:B A . a = b = 1.6 6故填1【名师点评】1在0,二范围内，正弦

29、值等于的角有两个，因为角 C为钝角，所以角 B必为锐角，防止忽略角的范围而出现增解图1-9例 3 （ 2010 湖北高考）在ABC 中，15,10,60 ,则 COSB 等于（）2 -23B.S!、63D-63B的范【命题立意】本题考查正弦定理及同角三角函数基本关系式，解题的关键是确定角 围。 10 -1510.厂 10_sin602【点拨】由正弦疋理得，.sin BA =60 ,.B 为锐角。.cosB 二，1 -sin2 B =1-6，故选【名师点评】根据三角形性质大边对大角准确判断角B的范围，从而确定角B的余弦值。sin 60 ° sin B1515例4 ( 2010 天津高考

30、)在ZABC中，些 =COsBAB cosC(2)若 cosA -，求 sin4B 的值。3 I 3丿同角三角函数的基本关系、【命题立意】本题主要考察正弦定理、两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦等基础知识，同时考察基本运算能力。证明：（1）在 ABC 中，由正弦定理及已CBS十。于c(O ss i nB c OCscBo s Cs i 即 sin B - C = 0.因为-二 v B-C < :，从而 B-C=0，所以 B=C .解: （2）由 A B 二和（1）得 A 二二-2B，故cs2B =«s2-2 22又 0< 2B< :，于是 sin 2B = 1

31、 -cos 2B从而3sin 4B =2sin 2Bcos2B 二迂,999IJJ L IJ Lcos4B =cos 2B sin 2B = 一。所以 sin j 4B 十一 l = sin4B cos=318【名师点评】（1）证角相等，故由正弦定理化边为角。（2）在（1）的基础上找角 A与角B的函数关系，在求 2B的正弦值时要先判断 2B的取值范围。1.1.2余弦定理典型题剖析考察点1:利用余弦定理解三角形例 1:已知ABC 中，b = 3,c = 3 3, B = 30 ,求 A, C 和 a。32 ，【点拨】解答本题可先由余弦定理列出关于边长 a的方程，首先求出边长 a，再由再由正弦定理

32、求角A，角C,也可以先由正弦定理求出角C,然后再求其他的边和角。解法1 :3,3 $ _2a 3、3 cos30 ，由正弦定理 b2 二 a2，c2-2accosB,得 32 二 aA = 30 , C =1202-a -9a，18=0,解得 a =3或 6.当 a =3时,a sin B当”6时，由正弦定理得sinA = 丁二6 -于=90,解法2 :B =30 , b > csin30'-2知本题有两解。由正弦定理得si心普133 -C =60 或120 , 当C =60时，A = 90，由勾股定理得：a 二 一 b2 c2 = 32 亠 3 3 =6当C =120时，A =

33、30 ,公BC为等腰三角形，.a =3。【解题策略】 比较两种解法，从中体会各自的优点， 从而探索出适合自己思维的解题规律和 方法。三角形中已知两边和一角，有两种解法。方法一利用余弦定理列出关于第三边的等量关系列出方程，利用解方程的方法求出第三边的长，这样可免去判断取舍的麻烦。方法二直接运用正弦定理，先求角再求边。例 2: KBC 中，已知 a =2、6,b =6 2 3, C =4、3，求 A，B，C【点拨】解答本题可由余弦定理求出角的余弦值，进而求得各角的值。解法1:由余弦定理得:.222b +c -acos A 二2bc_ 2 2. 26 2 .3亠43 - 2 62 6 23 432b

34、c_ 36 24 3 12 48 -244& 3 48=72_24丄3 = 33 _ .348 3 4823 22 °因为A 0 ,180 ,所以A =30。2 2 2cosC，2ab2 2.66 2 3_ 24 36 24、3 12 -48 _ 224（6+24“2因为C0 ,180 ,所以C =45因为 ABC =180 ,所以 B =180 -45 -30 -105解法2 :1由解法1知sin A -,21 4"、.： 3 由正弦定理得，si nC=CSA=2-.a2晶2因为b > c，所以B > C,所以角C应该是锐角，因此 C = 45 。又因

35、为 A B C =180 ,所以 B =180 -45 -30' =105【解题策略】已知三角形三边求角，可先用余弦定理求解，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止增解或漏解。考察点2 :利用余弦定理判断三角形的形状例 3:在ABC 中，已知 a b c a b-c = 3ab,且 2cosA_sinB =sinC，试判断厶ABC的形状。【点拨】本题主要考察利用正弦定理或余弦定理判断三角形的形状，从问题的已知条出发, 找到三角形边角之间的关系，然后判断三角形的形状。解法1:（角化边）由正弦定理得sinC _ c sin B b由 2cosAsin B 二

36、 sinC，得 cosA 二si nC2sin Bc2b又由余弦定理的推论得cosA =c2b2 , 2 2 c b -a2bc2 2 2 2 2 2又："a b c ab-c =3ab.a b -c=3b,.4b-c=3b,b = c.a =b =c,. UaBC为等边三角形。解法2 :（边化角）7 A B C =180 , sinC 二 sin A B .又：*2cos A_Sin B = sin C ,.2cosA（sin B =sin A_cosB cosA sinB,. sin AB =0.又TA与B均为L ABC的内角， A=B.2 2又由 a b c a bc 二 3a

37、b，得 a b;c 二 3ab,a2 bc2 2ab =3ab，即 a2 b2 -c2 二 ab,由余弦定理得 cosC ,2而 0°<Cv 180 °, C =60 .又；A二B,. LABC为等边三角形。【解题策略】 已知三角形关系中的边角关系式判断三角形的形状，有两条思考路线：一是化边为角，求出三个角之间的关系式；二是化角为边，求出三条边之间的关系式，种转化主要 应用正弦定理和余弦定理。例4:已知钝角三角形 ABC的三边a=k,b=k，2,c = k 4,求k的取值范围。【点拨】由题意知厶ABC为钝角三角形，按三角形中大边对大角的原则，结合a,b,c的大小关系，

38、故必有 C角最大且为钝角，于是可有余弦定力理求出k的取值范围。解：222nonc = a b -2abcosC,当 C为钝角时，-2abcosC > 0, a b v c ,2 2 2k k 2 v k 4 ，解得-2 v k v 6.而 k+k+2 > k+4 , :k > 2.故 2 v k v 6故 k 的取值范围是2,6 .【解题策略】应用三角形三边关系时，应注意大边对大角。考察点3 :利用余弦定理证明三角形中的等式问题 例5在中，a,b,c分别是角 A，B, C的对边，(1) 求证 a cosB bcos A 二 c;CA i(2) 求证 a coscos2a b

39、c .22 2【点拨】本题考察余弦定理及余弦定理与二倍角公式的综合应用。证明：2,2.2 2,2 2(1)左边=af +° " +畀 +c -a2ac2bc2 2,2 ,2 2 2 a c -b b c -a2ac2bc2c2c二c二右边，故原式成立。(2)左边.a1 c0SCc1 cOsA2 2a2 丄22>1+a " -c2 丄22、1+b +c -a2< 2ab 丿2< 2bc 丿2b2 丄 22b +c -a+ c +2b 丿-1 a b ci；=右边,故原式成立。【解题策略】(1)小题利用余弦定理将角化为边。(2)小题先降幕，然后利用余

40、弦定理将角化为边。例6在L ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c。(1)求证a2 -b2 sin A-Bc2一 sinC(2)求证accosB b -ccosAsinB sin A【点拨】本题考察余弦定理及余弦定理与两角和差正弦公式的综合应用证明：2 2 2(1)由 a2=b2 c22bccosA,得；a；b = °一 加器必=1 _ 2 b cosA。ccc又vsnBc sin C 2 2a -bsinBsinC 2sin BcosAsin C21-2cos Acsin Csin A B -2cos As in B si nAcosBcosAs in Bsin Csin C

41、sin A BsinC故原式成立。(2)左边2 2 2 a +c b a _c -2ac2 2 2 . b +c -a b _c -2bc2a2 - a2 -c2 b22a2b2 -b2 -c2 a22b2 2 a cb22ab2 -c2 a2snB二右边。sin A2b故原式成立。考察点4 :正余弦定理的综合应用 例 7:在L ABC中，已知 bhw3-1 a,C =30 ,求 代 B.【点拨】本题主要考察正、余弦定理的综合应用。解：；b 二.3-1 a, c2 二 b2 a2-2ab cosC-|2-1 )aa22h4 -2、3 a2 a2 -、3 -3 -1 a2a > 0,c &

42、gt; 0,c = 2 .”3a, 2 -一3a 由正弦定理得-SinC,a sin A2、2sinA= SinC.A =75 或 105 .由 b=：i&3-1 a知 a>b, 若 A =75，则 B =180 - A C =75 ,a =b,与已知矛盾。A =105 ,B =180 - A C =45 .【解题策略】本题边未知，已知一角，所以考虑使用余弦定理得a, c的关系，再结合正弦定理求sin A.注意特殊角的三角函数值，如:sin 75 二-6- ,sin15 二-624 4例& 设LABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，C,已知b2 C2 =a2 ,3bc

43、,(1)求 A的大小;(2)求 2sin BcosC -sin B - C 的值。【点拨】本题考察余弦定理，和角、差角的正弦公式的综合应用。解:1)由余弦定理222ba 二 b c -2bccosA,得 cos A2bc2bc(2) 2sin BcosCsin B -C =2sin BcosC - sin BcosC - cosBsinC二sinBcosC cosBsinC =sin B C1=si ny-A =si nA -。2例9:设L ABC得到内角A，B，C的对边分别为a，b，c,且acosB=3,bsin A = 4.(1)求边长a;(2 )若ABC的面积S=10，求L ABC的周长

44、I。【点拨】本题考察正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及同脚三角函数关系式的综合应用。解：(1)已知 acosB =3,bsinA =4.3 acosB a cosB b cosB将两式相除，有-=cot B.4 bsinA si nA bsinB b又由 acosB =3知 cosB >0,3 4则 cosB ,sin B ，则 a = 5.5 51(2 )由 S acsinB =10,得 c =5.22 2 2 a c -b 由 cosBac故 l -102、5。【解题策略】把已知两个关系式相除是本题的难点，也是解决此题的关键，相除之后出现 a，使用正弦定理使问题得到顺利解决。sin

45、 A易错疑难解析易错点 利用余弦定理判断三角形的形状时出现漏解情况【易错点辨析】在等式两边同时约去一个因式时，需要十分小心，当该因式恒正或恒负时可以约去，一定要避免约去可能为零的因式而导致漏解。例1:在L ABC中，已知acosAbcosB,试判断L ABC的形状。【错解】由余弦定理得:,a2b2c2_ a2 =b2a2c2_b2,2 2 2 2 2 2 b c -a, a c -bab -2bc2ac2 2 丄 224, 22 丄,22, 4ab ac -a ba bc-b,a2 -b2 c2 = a2b2a2 _b2 ,2 2.2.c a b .故L ABC为直角三角形。【点拨】利用余弦定

46、理把已知等式中角的形式转化为边的形式，其思路是正确的，但是在等式变形中约去了可能为零的因式a2 -b2，产生了漏解的情况，导致结论错误。【正解】由余弦定理得：2 2 2 2 2 2b c - aa c b22222 222ab, ab c-a=ba c-b,2bc2ac2 2 2 2 22 2 $2 22 2 2ab c 二 a b ab , ab cab =0,.a 二 b或 c2 二 a2 b2。L ABC为等腰三角形或直角三角形。易错点 易忽略题中的隐含条件而导致错误【易错点辨析】 我们在解题时要善于应用题目中的条件，特别是隐含条件，全面、细致地分析问题，如下列题中的 b >a就是

47、一个重要条件。例 2：在LABC中，已知 a =2,b =2-、2,C =15 ,求 A。【错解】由余弦定理，得c2 =a2 b2 -2abcosC =4 8 -2 2 2.22=84、.3,. Ci6-2.4a si n C1由正弦定理，得si nA.又0 °<Av 180 ° , A = 30或150 .c 2【点拨】注意到已知条件中b = 2-，2 > a二2这一隐含条件，则 B > A，显然A = 150是不可能的。【正解】 由余弦定理，得 c2 二 a2 b2-2abcosC =8-4；3. c =6 -、2.a sinC 1又由正弦定理，得 s

48、inA. -.b>a,.B>A.又 0°<Av 180°, A = 30c 2咼考真题评析例 1 :（ 2011.山东模拟）在|_ABC中，D 为 BC 边上一点BC = 3BD, AD = 2, NADB = 135 :若 AC = AB,贝y BD =.【命题立意】本题主要考察余弦定理与方程组的应用。【点拨】如图1-13所示，设AB =k,则AC .2k,再设BD =x,则DC =2x,在LI ABD中， （由余弦定理得k2 =x2+22，x芒一=x2+2 + 2x。在L ADC中，由余弦定理I 2丿22L v2222得 2k = 4x 2 2 2x

49、. 24x 2 4x, . k = 2x 1 - 2x 。由得2x2 -4x-1 =0,解得 x =25 （负值舍去），故填2 -【名师点评】 根据题意画出示意图由 CD=2BD,AC= 、2AB,设出未知量，在两个三角形中分别利用余弦定理，然后联立方程组求解。图 1-13例2 : （ 2010.天津高考）在 LABC中，内角 A , B , C的对边分别是a , b , c，若a2 -b2 = . 3bc,sin C = 2、. 3 sin B,则 a 等于（）A. 30 °B.60 °C.120 °D.150【命题立意】本题考察正、余弦定理的综合应用，考察分析

50、问题、解决问题的能力。【点拨】由sinC =2、3sin B,根据正弦定理得c = 2；.3b,代入a2 -b2 f?3bc,得2 2 2 2 2a -b =6b ,即a = 7b ,，由余弦定理得 2 2 2b c -a2bcb2 12b-7b22b 2、36b2<3b2<A v 180,A =30 .故选【名师点评】 应用正弦定理把已知条件中sin C=2、3sin B,转化成边b, c的关系，再代入已知得a，b的关系，利用余弦定理变形形式求角的余弦值。例3:（2010.北京高考）某班设计了一个八边形的班徽（如图 1-14所示），它由腰长为1，顶角为a的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（）A. 2sin a -2