总结数列通项公式方法总结

1、数列通项公式方法总结不过一般分小题、有梯度设问，往往是第 1小题就是求数列的通项公式，难度 适中，一般考生可突破，争取分数，而且是做第 2小题的基础，因此，求数列通项 公式的解题方法、技巧，每一位考生都必须熟练掌握。求数列通项公式的题型很多, 不同的题型有不同的解决方法。下面结合教学实践，谈谈求数列通项公式的解题思 路。一、已知数列的前几项已知数列的前几项，求通项公式。通过观察找规律，分析出数列的项与项数之间的关系，从而求出通项公式。这种方法称为观察法，也即是归纳推理。例1、求数列的通项公式(1) 0, 221/3 , 321/4 , 42+ 1/5 (2) 9, 99, 999,分析：(1)

2、 0=12 1/2，每一项的分子是项数的平方减去1,分母是项数加上1, n2 1/n + 1= n 1,其实，该数列各项可化简为 0, 1, 2, 3,，易知 an = n1。i(2)各项可拆成 10-1 , 102-1 , 103-1 ,an= 10n1。此题型主要通过让学生观察、试验、归纳推理等活动，且在此基础上进一步通过比较、分析、概括、证明去揭示事物的本质，从而培养学生的思维能力。二、已知数列的前n项和Sn已知数列的前n项和Sn,求通项公式an,主要通过an与Sn的关系转化，即an-S1 (n= 1) Sn-Sn1 (n2)例2、已知数列an的前n项和Sn=2n+3求an分析：Sn二a

3、1+a2+ +an1+anSn1 = a1+a2+ +an1上两式相减得Sn-Sn1=an解：当n=1时，a仁S1=5当 n2 时，an二Sn-S仁2n+3- (2n1+3) =2n1n=1不适合上式an=5 (n=1) 2n1 (n>2)三、已知an与Sn关系已知数列的第n项an与前n项和Sn间的关系：Sn=f (an),求an。一般的思 路是先将Sn与an的关系转化为an与an1的关系，再根据与的关系特征分为如下几种类型。不同的类型，要用不同的方法解决。(1) an=an1+k。数列属等差数列，直接代公式可求通项公式。例3、已知数列an，满足a仁3, an=an1+8，求an。分析：

4、由已知条件可知数列是以3为首项，8为公差的等差数列，直接代公式可求得an=8n-5。(2) an二kan 1(k为常数)。数列属等比数列，直接代公式可求通项公式。例 4、数列an的前 n 项和 Sn,a1=1，an+1=2Sn+1 (n N+)求数列an的通项公式。分析：根据an与Sn的关系，将an+1=2Sn+1转化为an与an+1的关系。解：由 an+1=2Sn+1得 an=2Sn-1+1 (n>2)两式相减，得an+1-an=2an/.an+1=3an (n>2)/ a2=2S n+1=3a2=3a1 an是以1为首项，3为公比的等比数列an=3 n-1(3) an+1二an

5、+f (n),用叠加法思路：令n=1, 2，3，,n-1得 a2=a1+f (1)a3=a2+f (2)a4=a3+f (3)+) an二an1+f (n-1 )an=a1+f (1) +f (2) + +f (n-1)例 5、若数列an满足 a1= 2, an+1=an+2n则an的通项公式=()解：t an+仁an+2n a2=a1+2xia3=a2+2X2a4=a3+2X3+) an二an1+2 (n-1 )an=a1+2 (1+2+3+n-1) =2+2x( 1+n-1 )(n-1 )=n 2-n+2(4) an+1=f (n) an,用累积法思路：令n=1, 2, 3,n-1得 a2

6、=f (1) a1a3=f (2) a2a4=f (3) a3x) an=f (n-1 ) an-1an=a1? f (1) ? f (2) ? f (3)f (n-1 )例 6、若数列an满足 a1=1, an+仁2n+ar,贝U an二()解: v an+1=2nan/. a2=21a1a3=22a2a4=23a3x) an=21? an1an=2? 22? 23? 2n-1a 1=2n (n-1 ) /2(5) an二pa1+q, an二pan1+f (n)an+1=an+p? qn (pqz 0),an=p (an1) q, an+1=ran/pan+q二(pr 工 0, r)(p、q

7、、r为常数)这些类型均可用构造法或迭代法。an二pan1+q (p、q 为常数)构造法：将原数列的各项均加上一个常数，构成一个等比数列，然后，求出该 等比数列的通项公式，再还原为所求数列的通项公式。将关系式两边都加上x得 an+x=Pan1+q+x=P (an1+q+x/p)令 x=q+x/p，得 x=q/p-1an+q/p-1=P (an1+q/p-1 )an+q/p-1是以a1+q/p-1为首项，P为公比的等比数列。 an+q/p-1二(a1+q/p-1 ) Pn-1 an= (a1+q/p-1 ) Pn-1-q/p-1迭代法：an二p (an1+q) =p (pan-2+q) +q=p2

8、 ( pan-3+q) +pq+q例7、数列an的前n项和为Sn,且Sn=2an-n (n N+)求an解析：由 Sn=2an-n得 Sn-仁2an-1- (n-1 )(n2,n N+) 两式相减得an=2an-1+1两边加 1 得 an+1=2(an-1+1 )(n2, n N+)构造成以2为公比的等比数列an+1an=Pan-1+f (n)例 &数列an中，a1 为常数，且 an=-2an-1+3n-1 (>2, n N)证明：an二(-2 ) n-1a1+3n+ (-1 ) n? 3? 2n-1/5分析：这道题是证明题，最简单的方法当然是数学归纳法，现用构造法和迭代 法来证

9、明。方法一：构造公比为-2的等比数列an+入？ 3n用比较系数法可求得入=-1/5方法二：构造等差型数列an/ (-2) n。由已知两边同以(-2) n,得an/ (-2)n=an-1/ (-2 ) n=1/3? (-3/2 ) n,用叠加法处理。方法三：迭代法。an=-2an-1+3n-1=-2 (-2an-2+3n-2 ) +3n-1=(-2 ) 2an-2+ (-2 ) ? 3n-2+3n-1=(-2) 2 (-2an-3+3n-3 ) + (-2) ? 3n-2+3n-1=(-2)3an-3+(-2) ? 3n-3+(-2) ? 3n-2+3n-1=(-2)n-1a1+(-2) n-1

10、 ? 3+(-2) n-3? +32+(-2) ? 3n-2+3n-1=(-2 ) n-1a1+3n+ (-1 ) n-2? 3? 2n-1/5an+1二入 an+p? qn (pqz 0)(?。宝？二qn+1时，等式两边同除以，就可构造出一个等差数列an/qn。例 9、在数列an中，a1= 4, an+1+2n+1,求 an。分析：在 an+1二2an+2n+1 两边同除以 2n+1，得 an+1/2n+1二an/2n+1an/2n是以a1/2=2为首项，1为公差的等差数列。(?)当入工q时，等式两边同除以qn+1,令bn二an/qn ,得bn+1二入/qbn+p,再构造成等比数列求bn，从

11、而求出an。例 10、已知 a仁1, an=3an-1+2n-1，求 an分析：从an=3an-1+2n-1两边都除以2n,得 an/2n=3/2an-1/2n-1+1/2令 an/2n=bn则 bn=3/2bn-1+1/211an=p (an1) q (p、q 为常数)例 11、已知 an=1/aan12,首项 al,求 an。方法一：将已知两边取对数得 lgan=2lgan1-lga令 bn二lgan得bn=2bn-1-lga，再构造成等比数列求bn，从而求出an。方法二：迭代法an=1/aa2n1=1/a ( 1/aa2n2)2=1/a3a4n2=1/a3( 1/aa2n 3)4=1/a7? an38=a?( an3/a)23=a?(a1/a ) 2n1an+1=ran/pan+q (p、q、r 为常数，pr 工 0, ql)an。将等式两边取倒数，得1/an+仁q/r ? 1/an+p/r，再构造成等比数列求例 12、在an中，a1=1, an+仁an/an+2,求 an解：t an+1=an/an+2/. 1/a n+1=2? 1/an+1两边加上1,得1/an+