广东深圳中学高中数学必修二导学案23空间直角坐标系

1、23空间直角坐标系刘岩学习目标1用类比的方法得出空间直角坐标系的建立方法，了解相关概念2能够在空间直角坐标系确定点的坐标3掌握空间两点的距离公式，中点公式4能够通过建立适当的空间直角坐标系解决相关问题一、夯实基础基础梳理1空间直角坐标系如图，是单位正方体，以为原点，分别以射线，的方向为正方向，以线段，的长为单位长，建立三条数轴：轴、轴，轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系，其中点叫做坐标原点，轴，轴，轴叫做坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面将空间直角坐标系画在纸上时，轴与轴、轴与轴均成，而轴垂直于轴，轴，轴和轴的长度单位相同，轴上的单位长度为轴（或轴）的长度

2、的一半，这样三条轴上的单位长度在直观上大体相等2右手直角坐标系；在空间直角坐标系中，让右手大拇指、食指和中指相互垂直时，大拇指指向轴正方向，食指指向轴正方向，中指指向轴正方向，则称这个坐标系为右手坐标系，如无特别说明，以后建立的坐标系都是右手坐标系3空间直角坐标系中的点与有序数组之间的关系：（1）已知为空间一点，过点作三个平面分别垂直于轴、轴和轴，它们与轴、轴和轴的交点分别为、，这三点在轴、轴和轴上的坐标分别为，这样空间的一点就唯一确定了一个有序数组，这组数，、就叫做点的坐标，并依次称，为点的横坐标、纵坐标和竖坐标，坐标为，的点通常记为（2）反过来，一个有序数组，我们在轴上取坐标为的点在轴上取

3、坐标为的点，在同上取坐标为的点，然后通过、分别作轴、轴，轴的垂直平面这三个平面的交点即为有序数组，为坐标的点数，就叫做点的坐标，并依次称，为点通常记为我们通过这样的方法在空间直角坐标系内建立了空间的点和有序数组，之间的一一对应关系4空间两点的距离公式：空间中任意两点，间的距离为_空间中两点，线段的中点的坐标是_基础达标1在空间直角坐标系中，点与点之间的距离为（ ）AB6CD22求点关于平面，平面及原点的对称点3如图在正方体中，分别是和的中点，棱长为1，求，点的坐标二、学习指引自主探究1要确定点在直线上的位置，可以建立数轴，并且一个数表示；要确定点在平面的位置，可以建立平面直角坐标系，并用有序实

4、数对来表示那么，要确定点在空间的位置可以怎么做？2空间直角坐标系内，点的对称问题其规律为：_3在空间直角坐标系中，轴上的点、坐标平面内的坐标各具有什么特点？案例分析1已知正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标【解析】先由条件求出正四棱锥的高，再根据正四棱锥的对称性，建立适当的空间直角坐标系正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为10，正四棱锥的高为以正四棱锥的底面中心为原点，平行于、所在的直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为、建立适当的空间直角坐标系，从而便于计算所需确定的点的坐标2（1）在空间直角坐标系中，画出不共线

5、的3个点，使得这3个点的坐标都满足，并画出图形，（2）写了由这三个点确定的平面内的坐标应满足的条件【解析】（1）取三个点，（2），三点不共线，可以确定一个平面，又因为这三点在平面的同侧，且到平面的距离相等，所以平面平行于平面，而且平面内的每一个点在轴上的身影到的点的距离都等于3，即该平面上的点的坐标都满足3如图所示，正方体的棱长为，、分别是，的中点，求的长【解析】以为坐标原点，、分别为轴， 轴，轴建立空间直角坐标系，由题意得，又，三、能力提升能力闯关1已知三角形的三个顶点，则过点的中线长为_2已知点，三点共线，那么，的值分别是_3在四棱锥中，底面为正方形，且边长为，棱底面，取各侧棱，的中点，试

6、建立空间直角坐标系，并写出点，的坐标拓展迁移4在空间直角坐标系中，求出经过且平行于坐标平面的平面的方程5在空间直角坐标系中，已知和，试问（1）在轴上是否存在点，满足？（2）在轴上是否存在点，使为等边三角形？若存在，试求出点坐标挑战极限6在正四棱锥中，底面边长为，侧棱长也为，以底面中心为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，点在侧棱上，点在底面的对角线上，试求、两点间的最上距离空间直角坐标系一、夯实基础基础梳理；中点的坐标为基础达标.，和.方法一：从图中可以看出点在平面上的射影为，而点的坐标为，点的竖坐标为，所以点的坐标为；点在平面上的射影为，而点的坐标为，点的竖坐标为，所以点的坐标为方法二：

7、可以得到，为的中点，为的中点，由中点坐标公式得点的坐标为，点的坐标为 二、学习指引.从空间某一个定点引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，建立空间直角坐标系，我们用有序数组来表示点的位置落在轴上的点的坐标满足：。落在坐标平面内的坐标的坐标满足：三、能力提升.，的中点坐标为，所以过点的中线长为.，把由，三点共线可得它们在各左标面上的射影共线三点在坐标面上的射影分别为，可得；三点在坐标面上的射影分别是，可得由图知，故以为原点，建立如图空间坐标系因为，分别为侧棱中点，由立体几何知识可知，平面与底面平行，从而这个点的竖坐标都为点的竖坐标的一半，也就是，由为中点，得；在底面面上的射影为中点，所以的横坐标

8、和纵坐标分别为和，所以，同理；在坐标平面，上的射影分别为点和，故与横坐标相同都是，与的纵坐标也同为，又竖坐标为，故求与坐标平面平行的平面的方程，即寻找此平面内任一点所要满足的条件，可利用与坐标平面平行的平面内的点的特点来求解坐标平面轴，而平面与坐标平面平行，平面也与轴垂直，平面内的所有点在轴上的射影都是同一点，即平面与轴的交点，平面内的所有点的横坐标都相等平面过点，平面内的所有点的横坐标都是，平面的方程为对于空间直角坐标系中的问题，可先回忆与平面直角坐标系中类似问题的求解方法，再用类比方法求解空间直角坐标系中的问题。本题类似于平面直角坐标系中，求过某一定点且与轴（或轴）平行的直线的方程（）假设在轴上存在点，满足因在轴上，可设，由，可得，显然，此式对任意恒成立这就是说轴上所有点都满足关系（）假设在轴上存在点，使为等边三角形由（）可知，轴上任一点都有，所以只要就可以使得是等边三角形