2026年高二数学寒假自学课（沪教版）专题02 数列难点总结（原卷版）

专题02数列难点总结

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串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢

重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺

举一反三：核心考点能举一反三，能力提升

复习提升：真题感知+提升专练，全面突破

知识点1：递推数列的通项求解（核心难点）

1.非常规递推模型的转化

上海高考常考非等差、等比的递推形式，

2.分类讨论与初始条件验证

知识点2：数列与函数、不等式的综合应用（压轴高频考点）

1.数列的函数属性分析

上海高考常将数列视为特殊函数，考查单调性、最值、周期性，难点在于数列定义域为正整数集，与连续

函数的性质存在差异。

2.数列不等式的证明

这是上海高考数列压轴题的核心难点，常考放缩法，学生难以把握放缩的尺度：

放缩过度：导致不等式方向反转；

放缩不足：无法达到证明目标。

常见放缩技巧：裂项放缩、等比放缩

知识点3：代数推理与新定义问题（区分度考点）

1.抽象数列的性质

探究题目不给出具体通项，仅通过递推关系或数列满足的条件，要求证明数列的等差/等比性、有界性等，

对逻辑推理能力要求极高。

2.新定义数列问题

上海高考常结合新定义（如“等差比数列”“周期数列”“对称数列”）命题，难点在于快速理解新定义

的内涵，并将其转化为常规数列知识求解。

知识点4：数列极限与无穷等比数列（易错难点）

1.无穷等比数列各项和的条件

容易忽略公式的适用条件，直接代入计算导致错误。

2.数列极限的存在性判断

需结合数列的单调性和有界性（单调有界数列必有极限）分析，难点在于判断数列的有界性。

【考点1求数列的通项】

22

例1（24-25高三上·上海·期中）已知数列an的前n项和Snn2nnN，则数列an的各项中（）

A．所有项均是数列an中的项B．所有项均不是数列an中的项

C．只有有限项是数列an中的项D．只有有限项不是数列an中的项

2

变式1（23-24高二下·上海闵行·期中）已知数列an的前n项和为Sn，若Snnn，则a6．

11

变式2（22-23高二下·上海奉贤·期中）已知数列an中，an0，且对于任意正整数n有Snan，

2an

则Sn.

2

变式3（24-25高二下·上海徐汇·期末）已知数列an的前n项和Snn2na（n为正整数），其中a为非

零实数．

(1)求数列an的通项公式；

(2)若数列Sn的前三项依次成等比数列，求实数a的值．

【考点2数列的求和】

*

例2（24-25高二上·上海嘉定·期中）若数列an满足a12，anan1an22（nN），则其前2023项

和为（）

A．1360B．1358C．1350D．1348

1

变式1（24-25高二上·上海松江·期中）已知数列an满足an1an3，且a24．设bn，则数列bn

anan1

的前n项和Sn.

变式2（24-25高二下·上海·期末）南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的

连续量问题转化为离散量的垛积问题”，在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形

作类比，推导出了三角垛、方垛、刍童垛等的公式，例如三角垛指的是如图顶层放1个，第二层放3个，

111

第三层放6个，第四层放10个……第n层放an个物体堆成的堆垛，则．

a1a2a2024

2

变式3（24-25高二上·上海·期中）设Sn是等差数列an的前n项和，且Snnn，其中nN，n1．

(1)求an的通项公式；

1

(2)求数列的前n项和Hn．

anan1

【考点3数列的单调性、最值、周期性】

n

例3（22-23高二下·上海虹口·期中）已知数列an110，下列说法正确的是（）

n11

A．an有最大项，但没有最小项B．an没有最大项，但有最小项

C．an既有最大项，又有最小项D．an既没有最大项，也没有最小项

变式1（20-21高二上·上海浦东新·期中）已知无穷数列{an}是公比为q的等比数列，Sn为其n项和，则“0q1”

*

是“存在M0，使得|Sn|M对一切n∈N恒成立”的（）条件

A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要

变式2（21-22高二下·上海长宁·期中）对于数列an，若存在正整数m，使得对任意正整数n，都有anmanq

（其中q为非零常数），则称数列an是以m为周期，以q为周期公比的“类周期性等比数列”.若“类周期性等

比数列”的前4项为1，1，2，3，周期为4，周期公比为3，则数列an前21项的和为．

1

变式3（22-23高三上·上海静安·期中）已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，首项为a1，且、a、S

2nn

成等差数列.

(1)证明：数列{an}是等比数列，并写出通项公式；

b

n

(2)若bn2log2an，设cn，求数列{cn}的前n项和Tn；

an

3n2

(3)若不等式Tm2m1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围.

8nn

【考点4数列不等式的证明】

例4（20-21高二上·上海浦东新·期中）已知无穷数列{an}是公比为q的等比数列，Sn为其n项和，则“0q1”

*

是“存在M0，使得|Sn|M对一切n∈N恒成立”的（）条件

A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要

1

2，

变式1（24-25高二下·上海宝山·期中）已知数列an的前n项和Snnn，设bnTn为数列bn的

anan1

*

前n项和，若对任意的nN，不等式Tnn3恒成立，则实数的取值范围为.

变式2（23-24高二上·上海闵行·期中）设公比为正数的等比数列an的前n项和为Sn，已知a38,S26，数

列bn满足bnlog2an.

(1)求数列an和bn的通项公式；

2

(2)设数列bn的前n项和为Tn，若不等式2Tn1M(nb32)bn2(nN)恒成立，求M的最小值.

变式3（23-24高二上·上海·期末）已知an是首项为1的等比数列，bn是首项为2的等差数列，a3b2且

a4b1b3.

(1)求an和bn的通项公式；

(2)将an和bn中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列cn，求数列cn的前50项和S50；

a,n为奇数

n1

设数列d的通项公式为d，*，记d的前n项和为T，若3T22n13nt14

(3)nnbnnNnn2n1

2,n为偶数

2

对任意的nN*都成立，求正数t的取值范围.

【考点5抽象数列的性质】

1

例5（25-26高三上·上海闵行·期中）数列a前n项和为S，已知a，且对任意正整数m，n，都有

nn15

amnaman，若Sna恒成立，则实数a的最小值为（）

134

A．B．C．D．3

443

变式1（23-24高二上·上海·期末）在计算机语言中，有一种函数yINTx叫做取整函数（也叫高斯函数），

骣

2n÷

其中INTx表示不超过x的最大整数，如INT0.90，INT3.143.已知a=INTç´10÷，ba，

n桫ç7÷11

=-

bnan10an-1（n为正整数且n2），则b2024等于（）

A．8B．7C．5D．2

变式2（22-23高二下·上海青浦·期中）数列an满足：a11，a23，且an2an1an（nN，n0），

则该数列前100项和S100

n1*

变式3（21-22高三上·上海虹口·期中）已知数列a满足a0，|an1an|n，且a(nN)

n1n2

(1)求a4的所有可能取值；

(2)若数列{a2n}单调递增，求数列{a2n}的通项公式；

(3)对于给定的正整数k，求Ska1a2ak的最大值.

【考点6数列新定义问题】

n

例6（24-25高三上·上海·期中）已知数列an为无穷数列，若正整数l满足：对任意的正整数，均有anlan，

则称数列an为“l阶弱减数列”.现有以下两个命题：

n

①数列bn为无穷数列且bcosnn（为正整数），则l5是数列bn是“l阶弱减数列”的充分条件；

n8

②数列cn为无穷数列且cn1nn5an5a1（n为正整数），则存在a0,4，使得数列cn

是“l阶弱减数列”的充要条件是l4.

那么（）

A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题

C．①、②都是真命题D．①、②都是假命题

aaa

变式1（22-23高二下·上海奉贤·期末）已知数列a，设m12n（n为正整数）.若a满足

nnnn

性质Ω：存在常数c，使得对于任意两两不等的正整数i、j、k，都有ijmkjkmikimjc，则

称数列an为“梦想数列”.有以下三个命题：

①若数列an是“梦想数列”，则常数c0；

②存在公比不为1的等比数列是“梦想数列”；

③“梦想数列”一定是等差数列.

以上3个命题中真命题的个数是（）个

A．3B．2C．1D．0

*n*

变式2（22-23高二上·上海杨浦·期末）已知集合Axx2n1,nN，Bxx2,nN.将AB的

所有元素从小到大依次排列构成一个数列an.记Sn为数列an的前n项和，则使得Sn16an1成立的n的

最小值为.

n…

变式3（24-25高二上·上海·期中）若项数为的有穷数列an满足a1a2a3an0且

aaa…a1，我们称这样的数列为数列

123nanM:

若数列是数列，且为等比数列，项数为，求该数列的通项；

(1)anM2024an

(2)若数列an是M数列，且为等差数列，项数为2k1(kN且k0)，求该数列的通项an(1n2k1用

k,n表示)；

若数列是数列，项数为n，记的前项和为Sk1,2,3,,n，若存在m1,2,3,,n，使

(3)anMankk

1

，试问：数列Si1,2,3,,n能否是数列，若能，求出所有这样的数列；若不能，请说

SmiMan

2

明理由.

【考点7无穷等比数列各项和】

S7

例（高三上上海宝山期中）等比数列的前项和为，，6，则（）

723-24··annSna13ai

S38i1

22

A．1B．C．D．2

33

1

变式（高二上上海期末）在无穷等比数列中，，则的取值范围是（）

123-24··anlima1a2ana1

n3

1

A．0,B．1,1

3

112

C．0,,D．1,00,1

333

S31

变式（高二上上海普陀期中）已知无穷等比数列的前n项和为，且，10，则

222-23··anSna11

S532

数列的各项和为

an.

【考点8数列极限的存在性】

1

例8（22-23高二上·上海杨浦·期末）无穷等比数列4，－2，1，，…的各项和为（）

2

8107

A．B．C．7D．

333

3

m

变式1（23-24高二上·上海·期中）数列an是首项为，公比为的无穷等比数列，且aim，则

4i1

m.

4

m

变式2（22-23高二下·上海嘉定·期中）数列an是首项为，公比为的无穷等比数列，且anm，则

9n1

m.

变式3（24-25高二上·上海·期中）在章节“用迭代序列求2的近似值”中，将方程x22等价变形为

1212

xx，构造递推数列xx来形成一个迭代序列xn，当n趋于正无穷大时，xn趋近于

2xn1n

2xn

2.选取初始值x18，并令Anxn,xn1，Bnxn1,xn1，n1，2，3，…

(1)完成以下表格，并在图中画出线段A1B1，B1A2，A2B2，B2A3，A3B3；（精确到0.001）

n123

xn

n456

xn

(2)证明：xn是严格减数列；

xn2

设alg，证明是等比数列，并求出xn的通项公式及limxn的值

(3)nann.

xn2

一、填空题

9

2

1．（23-24高二上·上海·期末）已知无穷等比数列an满足：ai3,ai，则an的通项公式是．

i1i12

nn

2．（22-23高二上·上海普陀·期中）若不等式2a3n120对任意正整数n恒成立，则实数a的取

值范围是

2n

3．（24-25高二下·上海宝山·期中）已知数列{an}中，满足ann9n18，前项和为Sn，若对于所有

mn(m,nN,m,n0)，则SnSm的最大值是．

．（高二上上海杨浦期末）数列的首项，且（n为正整数），令bloga2，

422-23··ana12an14an6n2n

bbb

则122023.

2023

n

5．（21-22高二上·上海静安·期末）已知数列{an}是等差数列，若a9a120，a10a110，且数列{an}的前

项和Sn有最大值，那么当Sn0时，n的最大值为．

a

n,a为偶数

．（高三上上海期中）数列满足：为正整数，n，若，则

624-25··ananan12a11

为奇数

3an1,an

a1a2a3a2024.

1

nmn

7．（24-25高二上·上海·期中）设Sn是数列的前项和，a1，且对任意正整数，，都有amnaman，

an4

若Sna恒成立，则实数a的取值范围为．

8．（24-25高二下·上海·期末）若数列an1an是以1为公差，2为首项的等差数列，数列an其前5项分别

为1、3、6、10、15，则数列an的通项公式an.

9．（23-24高三上·上海黄浦·期中）设a1,a2,a3,,an是首项为3且公比为33的等比数列，则满足不等式

n1

log3a1log3a2log3a3log3a4(1)log3an18的最小正整数n的值为．

，

10．（24-25高三上·上海·期中）已知数列ann9各项均为正整数，对任意的kN2k8akak11

，

和akak11中有且仅有一个成立，且a16a912.记S9a1a2a9.给出下列四个结论.①an不可

能是等差数列；②an中最大项为a9；③S9不存在最大值；④S9的最小值为34.其中所有正确结论的序号

是.

11．（24-25高二上·上海·期末）已知数列an为等差数列，a10且a1a2a3a990，设bnanan1an2，

n1，nN，当bn的前n项和Sn最小时，n的值组成的集合为．

12．（22-23高二下·上海青浦·期中）某数学兴趣小组在阅读了《选择性必修第一册》中数列的课后阅读之后，

对斐波那契数列产生了浓厚的兴趣．书上说，斐波那契数列Fn满足：F1F21，FnFn1Fn2n3，

nn

11515

F的通项公式为F.在自然界，兔子的数量，树木枝条的数量等都符合斐波

nn22

5

那契数列．该学习兴趣小组成员也提出了一些结论：

①数列Fn1Fn是严格增数列；②数列Fn的前n项和Sn满足SnFn21；

2222

③F1F2FnFnFn1；④F1F2F2F3F2n1F2nF2n2.

那么以上结论正确的是（填序号）

二、单选题

13．（24-25高三上·上海宝山·期中）已知数列an为无穷等比数列，若ai3，则ai的取值范围为（）

i1i1

A．3B．3,C．0,3D．0,

14．（23-24高二上·上海·期末）设等差数列{an}的前n项和为Sn，首项a10，公差d0，若对任意的正整

数n，总存在正整数k，使S2k1(2k1)Sn，则k4n的最小值为()

A．74B．8C．53D．13

15．（24-25高二下·上海·期中）已知数列an的各项均为正数，其前n项和为Sn，满足anSn1(n1,2,)，

给出下列四个结论：①an的第2项小于1；②an为等差数列；③an为严格减数列；④an中存在小于

1

的项.其中正确结论的个数是（）

100

A．1个B．2个C．3个D．4个

16．（23-24高三下·上海松江·月考）数列an的前n项和为Sn，若数列an与函数fx满足：①fx的定

义域为R；②数列an与函数fx均单调增；③存在正整数n，使Snfan成立，则称数列an与函数

fx具有“单调偶遇关系”.给出下列两个命题：（）

①与数列2n1具有“单调偶遇关系”的函数有有限个；

②与数列2n具有“单调偶遇关系”的函数有无数个.

A．①②都是真命题B．①是真命题，②是假命题

C．①是假命题，②是真命题D．①②都是假命题

三、解答题

17．（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知