八年级数学下册 25.3 一次函数（第1课时）（原卷版）

第第页25.3一次函数（第1课时）一、一次函数的概念1.一次函数的概念问题1弹簧下端悬挂重物，弹簧会伸长.弹簧的长度y(单位：cm)是所挂重物质量x(单位：kg)的函数.已知一根弹簧在不挂重物时长6cm.在一定的弹性限度内，每挂1kg重物弹簧伸长0.3cm.试写出y关于x的函数表达式.分析因为每挂1kg重物弹簧伸长0.3cm,所以挂xkg重物时弹簧伸长0.3xcm.又因不挂重物时弹簧的长度为6cm,所以挂xkg重物时弹簧的长度为(0.3x+6)cm,从而相应函数的表达式为y=0.3x+6,其中自变量x的取值范围由弹簧的“弹性限度”确定.问题2一辆汽车行驶在国道上，汽车油箱里原有汽油60L,每行驶10km耗油1L,当汽车行驶600km后油箱里的油就耗尽了.设汽车行驶的路程为xkm,油箱里剩余的油量为yL,试写出y关于x的函数表达式分析因为每行驶10km耗油1L,即每行驶1km耗油0.1L,所以汽车行驶xkm需耗油0.1xL.又因汽车油箱里原有汽油60L,所以剩余的油量为(60-0.1x)L,从而相应函数的表达式为y=-0.1x+60,其中自变量x的取值范围是0≤x≤600.函数的表达式y=0.3x+6与y=-0.1x+60的一个共同点是：表达式的右边都是关于自变量x的一次式.一次函数的概念：形如y=kx+b(k、b是常数，k≠0)的函数叫作一次函数.一次函数自变量x的取值范围是一切实数.特别地，当b=0时，y=kx+b(k≠0)即为正比例函数y=kx(k≠0),即正比例函数是一种特殊的一次常值函数：当k=0时，y=b也是一个函数，称为常值函数.注意：常值函数不是一次函数，一次函数必须满足k≠0.2.用待定系数法求一次函数的表达式例1已知y是x的一次函数，当x=2时，y=-1;当x=5时，y=8.求这个一次函数的表达式.解设所求一次函数的表达式为y=kx+b(k≠0).因为当x=2时，y=-1,当x=5时，y=8,所以解二元一次方程组，得所以，这个一次函数的表达式为y=3x-7.这里求一次函数表达式的方法是待定系数法.表达式中k、b是待定系数，利用两个已知条件列出关于k、b的方程组再求解，可确定它们的值.二、一次函数的图像1.作正比例函数的图像已知一次函数y=2x+2.列表：取自变量x的一些值，计算出相应的函数值y,见表25-5.(2)描点：分别以所取x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，如图25-3-1(1)所示，可以发现上述所有点均落在同一条过点(0,2)的直线上.(3)连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用直线连接起来，如图25-3-1(2)所示.注意到所画直线上任意一点的坐标都满足函数的表达式y=2x+2;同时，对于任意一对满足这个函数表达式的x、y,以(x,y)为坐标的点都在所画的直线上.因此，函数y=2x+2的图像就是这条直线.2.一次函数的平移思考：如图25-3-2,比较函数y=2x与y=2x+2的图像，找出相同点与不同点.这两个函数的图像是两条互相平行的直线.函数y=2x的图像经过原点，函数y=2x+2的图像与y轴交于点(0,2).函数y=2x+2的图像可以看作将函数y=2x的图像向上平移2个单位长度得到.一次函数的平移规律：①一次函数的图像、直线、一次函数的表达式的关系一次函数y=kx+b(k≠0)的图像是什么形状?它与正比例函数y=kx(k≠0)的图像有什么关系?一次函数y=kx+b(k≠0)的图像是一条直线，也称为直线y=kx+b.一次函数的表达式y=kx+b(k≠0)称为这条直线的表达式.②一次函数的平移规律从函数的图像看，一次函数y=kx+b(k≠0)的图像就是将正比例函数y=kx(k≠0)的图像沿y轴平移|b|个单位长度.若b>0,则向上平移；若b＜0,则向下平移.3.直线y=kx+b(k≠0)的截距例2在平面直角坐标系xOy中，画出一次函数的图像解由,可知当x=0时，y=-2;当x=3时，y=0.所以A(0,-2)、B(3,0)是函数的图像上的两点.经过点A、B画直线AB,即为函数的图像，如图25-3-3所示.画直线y=kx+b(k≠0)时，通常先描出该直线与x轴、y轴的交点.例2给出了求直线与坐标轴交点的方法.一条直线与y轴交点的纵坐标称为这条直线在y轴上的截距，简称直线的截距.直线y=kx+b(k≠0)与y轴交点的坐标是(0,b),故直线y=kx+b(k≠0)的截距b.题型1：一次函数的概念1．下列函数中，是一次函数的是（）A． B． C． D．（m，n是常数）2．在下列函数中，y是x的一次函数的是（

）A．（k、b是常数）B．C． D．3．下列函数是一次函数的是（

）A．（c为常数） B．（k，b为常数）C． D．4．在下列函数中，不属于y关于x的一次函数的是（

）A． B． C． D．5．下列函数中，是一次函数的是（

）A． B． C． D．6．下列函数关系式中①；②；③；④；⑤；是一次函数的个数（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．如果y是z的正比例函数，z是x的一次函数，则y是x的（

）A．正比例函数 B．一次函数 C．其他函数 D．不是函数关系题型2：根据一次函数的概念求参数8．当时，函数是一次函数．9．若关于x的函数是正比例函数，则该函数的表达式为．10．若函数是一次函数，则的值为．11．若函数是关于x的一次函数，则m的取值范围是（）A． B． C． D．m为任意实数12．是一次函数，则m的取值范围为．题型3：求一次函数的值或自变量的值；一次函数的表达式13．已知一次函数，当时，的值是（）A．3 B．4 C．5 D．614．在一次函数中，当时，y=；当x=时，.15．当为（

）时，的值为0．A．2 B． C． D．116．函数中，若自变量增加2，则函数值就（

）A．增加4 B．减少4 C．增加8 D．减少817．对于一次函数（k，b为常数），下表中给出5组自变量及其对应的函数值，其中恰好有一个函数值计算有误，则这个错误的函数值是（

）A．5 B．8 C．12 D．1418．若与成正比例，且比例系数是，则与的函数关系式为．题型4：一次函数的截距19．一次函数的截距是．20．直线在y轴上的截距．21．一次函数的截距是．题型5：一次函数与坐标轴的交点22．一次函数在y轴上的截距，它与y轴的交点坐标是．23．一次函数与轴的交点坐标是．24．已知直线在轴上的截距为3，那么该直线与轴的交点坐标为．题型6：一次函数的上下平移问题25．将直线向上平移5个单位长度后得到，则的表达式是．26．将一次函数的图象向下平移4个单位后，所得到的图象对应的函数表达式为．27．将一次函数的图象向下平移2个单位长度，若平移后的一次函数图象经过点，则的值为（

）A．2 B．1 C．0 D．*题型7：一次函数的左右平移问题28．将直线向右平移4个单位，所得直线的表达式是．29．把直线向左平移3个单位后，新的直线的解析式为．30．直线向左平移3个单位得到直线，那么b的值为．31．将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象．则的值为（）．A． B． C． D．题型8：平行问题32．已知，直线与直线平行，那么．33．已知直线与直线平行，那么．34．已知直线与直线平行，则＝．35．已知直线平行于直线，且在y轴上的截距为，那么该直线的解析式是．题型9：根据一次函数的图像求参数36．已知直线不经过第三象限，则m的取值范围是．37．如果直线经过第二、三、四象限，那么常数b的取值范围是．38．正比例函数的图象经过原点和第一、三象限，则直线经过第象限．39．已知一次函数的图像经过第二、三、四象限，那么的取值范围为．题型10：一次函数与坐标轴围成的面积问题40．一次函数与坐标轴围成的三角形面积是．41．已知直线经过点，那么该直线与坐标轴围成的三角形的面积为42．直线与坐标轴围成的三角形面积为8，则．43．函数和的图象与坐标轴围成的图形的面积为，则的值为．题型11：解答题44．下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？系数k和常数项b的值各是多少？，，，，．45．函数是一次函数吗？如果是，请写出，的值；如果不是，试说明理由．46．写出下列各题中y与x之间的函数式，并判断y是否为x的一次函数，是否为正比例函数．(1)圆珠笔每支元，购买圆珠笔的总价（元）与购买支数x之间的关系．(2)甲、乙两地之间的距离为300千米，汽车从甲地出发开往乙地的平均速度y（千米/时）和到达乙地所需时间x（时）之间的关系．47．写出下列各题中y关于x的函数关系式，并判断y是否为x的一次函数，是否为正比例函数．(1)长方形的面积为3，长方形的长y与宽x之间的关系；(2)刚上市时西瓜每千克元，买西瓜的总价y元与所买西瓜x千克之间的关系；(3)仓库内有粉笔400盒，如果每个星期领出36盒，仓库内余下的粉笔盒数y与星期数x之间的关系；(4)小林的爸爸为小林存了一份教育储蓄，首次存入10000元，以后每个月存入500元，存入总数y元与月数x之间的关系．48．分别画出函数和的图象，再根据图象，回答下列问题：（1）两个图象各经过哪些象限？（2）判断点、是否在所画的图象上，并且在哪一个图象上？为什么？49．已知一次函数(1)若函数图象在轴上的截距为，求的值(2)若函数图象不经过第二象限，求的取值范围．50．在直角坐标中，直线与平行，且经过点，将直线向上平移3个单位，得到直线(1)求这两条直线的解析式；(2)如果直线与x轴、y轴分别交于点A，B，求的面积．一、单选题1．下列函数不是一次函数的是（

）A． B． C． D．2．一次函数的图象不经过的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知函数，若函数图象经过原点，则的值是（）A． B． C． D．4．关于一次函数，下列说法正确的是(

)A．图象与轴交于点B．其图象可由的图象向左平移个单位长度得到C．图象与坐标轴围成的三角形面积为D．图象经过第一、二、四象限5．一次函数一定经过（）A． B． C． D．6．同一平面直角坐标系中，与（，为常数）的图象可能是（

）A． B．C． D．二、填空题7．函数的图象在轴的截距是．8．一次函数的图像经过一、二、三象限，则n的取值范围是．9．若直线与直线的交点在第三象限，则的取值范围是．10．与直线平行且在轴上的截距为2的直线一定不经过第象限．11．如图，四个一次函数，，，的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是．12．定义：如果直线与直线满足如下条件：且，那么我们就说这两条直线具有“和谐关系”，例如：直线与直线，它们具有“和谐关系”．如果直线与直线具有“和谐关系”，且这两条直线与轴围成的三角形面积为，则三、解答题13．如图，在平面直角坐标系中，直线l：经过点A，点A的横坐标为，点A与点B关于y轴对称．(1)求点的坐标；(2)将直线沿轴向下平移得到直线，与轴交于点，若的面积为，求平