同济大学高等数学第六版第七章第八节常系数非齐次线性微分方程

1、常系数非齐次线性微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第 八节型)()(xPexfmxxxPexflxcos)()(型sin)(xxPn一、一、二、二、 第七章 )(xfyqypy ),(为常数qp二阶常系数线性非齐次微分方程 :根据解的结构定理 , 其通解为Yy *y非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据 f (x) 的特殊形式 ,*y给出特解的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . 待定系数法待定系数法机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(xQex )()2(xQp)()(2xQqp)(xPemx一、一、 型)()(xPexfmx 为实数 ,)(xPm设特解为,

2、 )(*xQeyx其中 为待定多项式 , )(xQ )()(*xQxQeyx )()(2)(*2xQxQxQeyx 代入原方程 , 得 )(xQ (1) 若 不是特征方程的根, , 02qp即则取),(xQm从而得到特解形式为. )(*xQeymx)()2(xQp)()(2xQqp)(xPm为 m 次多项式 .Q (x) 为 m 次待定系数多项式机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 若 是特征方程的单根 , , 02qp,02 p)(xQ则为m 次多项式, 故特解形式为xmexQxy)(*(3) 若 是特征方程的重根 , , 02qp,02 p)(xQ 则是 m 次多项式,故特解形式为x

3、mexQxy)(*2小结小结 对方程,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .)(xQ )()2(xQp)(xPm)()(2xQqp即即当 是特征方程的 k 重根 时,可设特解机动 目录 上页 下页 返回 结束 *( )(0,1, 2)kxmyx Qx ek特别地特别地xAeqyypy 是特征方程的重根是特征方程的重根是特征方程的单根是特征方程的单根不是特征方程的根不是特征方程的根 xxxexAxepAeqpAy222,2,例例1.1332 xyyy求方程的一个特解.解解: 本题而特征方程为,0322rr不是特征方程的根 .设所求特解为,*10bxby代入方程 :13233010 xbbxb比

4、较系数, 得330 b13210bb31,110bb于是所求特解为.31*xy0,0机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. xexyyy265 求方程的通解. 解解: 本题特征方程为,0652 rr其根为对应齐次方程的通解为xxeCeCY3221设非齐次方程特解为xebxbxy210)(*比较系数, 得120 b0210bb1,2110bb因此特解为.)1(*221xexxy3, 221rr代入方程得xbbxb01022所求通解为xxeCeCy3221.)(2221xexx ,2机动 目录 上页 下页 返回 结束 .232的通解的通解求方程求方程xxeyyy 解解对应齐次方程通解对应齐次

5、方程通解特征方程特征方程, 0232 rr特征根特征根，2121 rr,221xxeCeCY 是单根，是单根，2 ,)(2xeBAxxy 设设代入方程代入方程, 得得xABAx 22,121 BAxexxy2)121( 于是于是原方程通解为原方程通解为.)121(2221xxxexxeCeCy 例例1 1例例3. 求解定解问题 0)0()0()0( 123yyyyyy解解: 本题特征方程为, 02323rrr其根为设非齐次方程特解为,*xby代入方程得, 12b故,*21xy0321CCC21322CC2, 1, 0321rrr故对应齐次方程通解为1CY xeC2xeC23原方程通解为x211

6、Cy xeC2xeC23由初始条件得0432CC,0机动 目录 上页 下页 返回 结束 于是所求解为xeeyxx2141432解得)423(412xxeex41 143321CCC机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、型xxPxxPexfnlxsin)(cos)()(ximexPxf)()()(ximexP)()(第二步第二步 求出如下两个方程的特解ximexPyqypy)()( yqypy分析思路:第一步第一步 将 f (x) 转化为第三步第三步 利用叠加原理求出原方程的特解第四步第四步 分析原方程特解的特点ximexP)()(机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一步第一步 利用欧拉

7、公式将 f (x) 变形xexf)(ixPxPnl2)(2)(xie)(ixPxPnl2)(2)(xie)(ximexPxf)()()(ximexP)()(ximexP)()(ximexP)()(则令,maxlnm )(xPl2xixiee)(xPnieexixi2机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二步第二步 求如下两方程的特解 i是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), ximkexQxy)(1)()(次多项式为mxQm故ximexPyqypy)(111)()()( 等式两边取共轭 :ximexPyqypy)(111)(1y这说明为方程 的特解 .ximexPyqypy)()(

8、ximexPyqypy)()( 设则 有特解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三步第三步 求原方程的特解 利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 :11*yyy xkexximximeQeQ原方程 yqypy xxPxxPenlxsin)(cos)(xkex)sin(cosxixQm)sin(cosxixQm xkexxRmcosxRmsinmmRR,其中均为 m 次多项式 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四步第四步 分析的特点yxRxRexyyymmxksincos11因11yy*yy所以mmRR,因此均为 m 次实多项式 .11yyy本质上为实函数 ,11yy机动

9、目录 上页 下页 返回 结束 小小 结结:xxPxxPenlxsin)(cos)(对非齐次方程yqypy ),(为常数qpxRxRexymmxksincos*则可设特解:其中 为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), ilnm,max上述结论也可推广到高阶方程的情形.机动 目录 上页 下页 返回 结束 .sin4的通解的通解求方程求方程xyy 解解对应齐方通解对应齐方通解,sincos21xCxCY 作辅助方程作辅助方程,4ixeyy ,是单根是单根i ,*ixAxey 故故代入上式代入上式, 42 Ai,2iA ,)cos2(sin22*ixxxxixeyix 所求非齐方程特解为所求

10、非齐方程特解为,cos2xxy 原方程通解为原方程通解为.cos2sincos21xxxCxCy （取虚部）（取虚部）例例2 2例例4. xxyy2cos 求方程的一个特解 .解解: 本题 特征方程, 2, 0故设特解为xdxcxbxay2sin)(2cos)(*不是特征方程的根,ii2代入方程得xxxadxcxcbxa2cos2sin)433(2cos)433(012r,)(xxPl, 0)(xPn比较系数 , 得9431,da.2sin2cos*9431xxxy于是求得一个特解13 a043cb03 c043ad0 cb机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. xxyy3sin303c

11、os189 求方程的通解. 解解: 特征方程为, 092r其根为对应齐次方程的通解为xCxCY3sin3cos21)3sin3cos(*xbxaxy比较系数, 得,5a,3b因此特解为)3sin33cos5(*xxxyir32, 1代入方程:xaxb3sin63cos6所求通解为xCxCy3sin3cos21为特征方程的单根 ,i3)3sin33cos5(xxxxx3sin303cos18因此设非齐次方程特解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.xyyysin2) 1 ()4( 解解: (1) 特征方程, 01224rr, 0)1(22r即有二重根, ir所以设非齐次方程特解为(*2x

12、y )sincosxbxa(2) 特征方程, 024 rr0)1(22rr即有根irr4,32, 1, 0 xexyyxsin3)2()4( 利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为)(*2baxxy)sincos(xkxdx求下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:机动 目录 上页 下页 返回 结束 xce例例7.求物体的运动规律. 解解: 问题归结为求解无阻尼强迫振动方程 tphxktxsindd222 当p k 时, 齐次通解: tkCtkCXcossin21)(sintkAt pbtpaxcossin非齐次特解形式:0,22bpkha因此原方程之解为第七节例1 (P323)中若设物体只受

13、弹性恢复力 f,sin的作用ptHF 和铅直干扰力xox代入可得: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 当干扰力的角频率 p 固有频率 k 时,)(sintkAxtppkhsin22自由振动强迫振动!22将很大振幅pkh 当 p = k 时, )cossin(tkbtkatx非齐次特解形式:代入可得: khba2, 0方程的解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若要利用共振现象, 应使 p 与 k 尽量靠近, 或使 )(sintkAxtktkhcos2随着 t 的增大 , 强迫振动的振幅tkh2这时产生共振现象 .可无限增大,若要避免共振现象, 应使 p 远离固有频率 k ;p = k .

14、自由振动强迫振动xox对机械来说, 共振可能引起破坏作用, 如桥梁被破坏,电机机座被破坏等, 但对电磁振荡来说, 共振可能起有利作用, 如收音机的调频放大即是利用共振原理. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结xmexPyqypy)(. 1 为特征方程的 k (0, 1, 2) 重根,xmkexQxy)(*则设特解为sin)(cos)(. 2xxPxxPeyqypynlx 为特征方程的 k (0, 1 )重根, ixkexy*则设特解为sin)(cos)(xxRxxRmmnlm,max3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形.机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练

15、习时可设特解为 xxxfcos)() 1当xexxxf22cos)()2当xy *xbxacos)(*yxdxcxbxa2sin)(2cos)(xek2)(xfyy 时可设特解为 xxPxxPexfnlxsin)(cos)()(xkexy*lnm,max提示提示:xdcxsin)(1 . (填空) 设sin)(cos)(xxRxxRmm机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 求微分方程xeyyy 44的通解 (其中为实数 ) .解解: 特征方程,0442rr特征根:221 rr对应齐次方程通解:xexCCY221)(2时,xeAy令代入原方程得,2)2(1A故原方程通解为xexCCy221)(xe2)2(12时,2xexBy令代入原方程得,21B故原方程通解为xexCCy221)(xex221机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 已知二阶常微分方程xecybyay 有特解, )1 (2xxexey求微分方程的通解 .解解: 将特解代入方程得恒等式xxxxecexbaeaeba)1 ()2()1 (比较系数得01baca 201ba0a1b2c故原方程为xeyy2 对应齐次方程通解:xxeCeCY21xxexey原方程通解为xxeCeC