5河南专升本高数真题及答案

1、2005年河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试高等数学试卷题号一二三四五六总分核分人分数得 分评卷人一、单项选择题（每小题2分，共计60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案， 并将其代码 写在题干后面的括号内。不选、错选或多选者，该题无分 .1.函数y =华工2的定义域为为.5 xA. x 1 B.x -1x 二 5C.1 x 二 50=1 : x 二 5 二D.5 -x >02. 下列函数C.形关于 y 轴对称的是A. y = xcosx x c -xC. y / _22B.D.3y = x x 12x 2y-r偶函数，应选D.3.当xt 0时，与e*A. xB

2、. x2 C. 2x D.解：ex -1 x =x2 e-1等价的无穷小量是2x2-1x2,应选 B.n 124. lim |1 一nA.nB.5.解:li nn 12+ i n4 e.2(n 1) lim n - ： n=e2,应选B.设 f (x)-x = 0处连续，A. 1B.-1 C.- D. -22解：lim f (x) = lim 1 - t'1 - x = umx = lim1= 1 ,应选 C.x )0x 0 x x ：0 x(1 、1 - x) x,0(1 、1-x) 2f (1)=dxdy6.设函数f(x)在点x=1处可导，且lim f(1-2h)-f,则 h 0

3、h2A. 1 B. -1 C. 1 D. -1 244f (1)f(1 -2h) -f(1)f(1-2h)-f(1)1用牛：lim = -2 lim 二 一2 f (1)=-h0 h受 w _2h2应选D.7 .由方程xy=ex+确定的隐函数x(y)的导数 )A. x(y -1)B. y(x -1) C. y(1+x) D. x(y+1)y(1 -x)x(1 - y)x(y -1)y(x -1)解：对方程xy =ex*两边微分得xdy+ydx = ex”(dx+dy),即(y - ex y)dx = (ex y - x)dy ,(y -xy)dx = (xy -x)dy ,所以义=x(y 7)

4、,应选A.dy y(1 -x)8 .设函数f (x)具有任意阶导数，且f<x) = f (x)数f(x)在(，1)内单调减少，且曲线y= f(x)为凹的，应选B. ,则f(x)=()A. nf(x)n1 B. n!f(x)n1C. (n 1)f(x)n1D. (n 1)!f(x)n 1解：f (x) =2f(x)f (x) =2f(x)3= f (x) = 2 3f2(x)f (x) =3f(x)4, =f(n)(x) =n!f(x)严，应选 B.9 .下列函数在给定的区间上满足罗尔定理的条件是()A. f(x) =1 - x2,-1,1B. f(x) = xe",-1,11C

5、. f (x)=-r,1,1D . f(x) =|x|,1,11 -x解：由罗尔中值定理条件：连续、可导及端点的函数值相等来确定，只有f(x)=1-x2,-1,1满足，应选 A.10.设 f (x) =(x-1)(2x+1),x w (-,收)，则在(1,1)内，f (x)单调 () 2A.增加，曲线y = f (x)为凹的B.减少，曲线y = f (x)为凹的C.增加，曲线y = f (x)为凸的D.减少，曲线y = f (x)为凸的5- 1.解：在(3，1)内，显然有 f (x) = (x -1)(2x +1) < 0 ,而 f (x) = 4x-1 a 0 ,故函11.A,只有垂直

6、渐近线B.C.既有垂直渐近线，又有水平渐近线,解:只有水平渐近线D.无水平、垂直渐近线 应选C.12.设参数x = ac解:y = bsd2y dx2A asin2t。.B.D.一2 一. 3,a sin tba2 sin tcos21dy _ 弘 _ bcost _dx 为 asintd2y 二 dx2bcost ) 'i< asintjxb 1xbcost '， dt-I 父、asint 人 bdx. 2 .a sin t-asin t. 3 .sin tB.1113.若 Jf (x)exdx =exf(x)A. -1B.C.解:两边对x求导 f (x)ex = ex

7、黑()=f(x)D.14.,f (x)dx = F(x) C，应选B.cosxf (sin x)dx =A.C.F (sin x) CF (cosx) CB.D.-F (sin x) C 一 F (cosx) C解：Jcosxf (sin x)dx =J f (sin x)d (sin x) = F (sin x) +C ,应选 A.15.下列广义积分发散的是八 二 111ln xxA. 7- dx B. dx C. dx D. e dx0 1 x20 .1 - x2e x 0解:* 1,4=0 Hdx = arctan x n =1+x2021 narcsin x 0 =一。16.二ln x

8、12dx = (ln x)x2eI e«dx = -e 0 = 1,应选 C.11x|x|dx =A.0 B. 2C.4D.-333解：被积函数x|x|在积分区间-1,1上是奇函数，应选A.17. 设 f (x) 在w,a上连续、. a则止积分 f (-x)dx = - _aaaaA.0 B. 2 0f(x)dx C. - f(x)dx D. f(x)dxat =_u _aaa、解：f f (-x)dxf f(u)d(u)=f f (u)du = f f(x)dx,应选 D. _aa_a _a18.设 f (x)的一个原函数是 sinx，则 J f '(x)sin xdx =

9、11 .x sin 2x C24sin x ' C 2f (x) = -sin x.11 .A. x -sin 2x CB.22c 12C. sin xD.2角单：(sin x) = f(x)= f (x) =cosx =(f '(x)sin xdx = 一 sin2 xdx = - 1-cos2x dx = 一1x +1 sin 2x + C ,应选 B. 22419.设函数f (x)在区间a, b上连续，则不正确的是xf(t)dt是f(x)的一个原函数bA. a f(x)dx是f(x)的一个原函数B.aC. f (t)dt是-f (x)的一个原函数 D. f (x)在a,

10、b上可积解：f f (x)dx是常数，它的导数为零，而不是f(x)，即f f(x)dx不是f(x)的原 aabb函数，应选A.20.直线 3=工=三2与平面x-y-z + 1=0的关系是 1-12( )A.垂直 B. 相交但不垂直 C.直线在平面上D. 平行解：s=1,1,2, n=1,-1,1)= sin* ,另一方面点(3,0,-2)不在平面内，所以 应为平行关系，应选D.21.函数z = f (x, y)在点(x°, y°)处的两个偏导数 名和名存在是它在该点处 二 x 二y可微的( )A.充分条件 B.必要条件C.充要条件D.无关条件解：两个偏导数存在，不一定可微，

11、但可微一定有偏导数存在，因此为必要条 件，应选B.22.设 z = ln & y,则 dZ(1,2)=A.上 dx B.2x11dx dy22C.,1 ,-,1 ,dx -dyD.dxdy222x11.1斛：z = ln=ln 2x Tny =dz = dx dy=dz “ 2= dx 一 一 dy ,应选C.yxy(, )223.函数f (x, y) = x2 + xy + y2 + x - y +1的极小值点是A. (1, -1)B.(-1,1)C.(-1, -1) D. (1,1)Z =2x y 1 =0 ，一 x 解：n(x,y) = (1,1)，应选 B.z 一 =x 2y

12、-1 =0 .：y 2x224.一次积分、dx1 f (x, y)dy与成另一种次序的积分是42A. 0 dy 卜 f (x, y)dx42C. 0 dy x2 f (x, y)dxB.D.4 y0 dy0 f(x, y)dx4 -y0 dy2 f(x, y)dx解:应选A.25.积分区域 D = (x, y) | 0 _ x _ 2,0 _ y _ x2 = (x, y) | 0 _ y _ 4, y _ x _ 2,设D是由上半圆周y "2ax-x2和x轴所围成的闭区域，则1f(x,y)db=()DA.一 2a02 d L f (r cos1,rsin ?)rdrB.一 2a02

13、 dlf (rcos1,r sin 力dr2a cos 口！C. 02dl 0-f (rcosu,rsin u)rdrD.3L22a cos fdr- f (r cosi, r sin i)dr解：积分区域在极坐标下可表小为:兀-,D =(r, 9)|0< 9<-,0<r <2acos ,2ji从而 f(x, y)dc = 02d102 a cos 二f (r cosi,r sin Rrdr , 应选 C.D26 .设L为抛物线A. -12y 二 xB.1上从 O(0, 0)到 B(1,1)的一段弧，12xydx + x2dy =()C. 2D. -1解：L:x = x

14、2, x从0变到1 , J = x一 .2 ,1L2xydx x dy = 027 . 下 列 级2x3dx 2x3dx = 4x3dx =x=1,应选B.解:A. -1)n 1cdC(-1)1 1二(-1)32nW. nn 1oOx (-1)nn 1之发散,oO"1)nn 1oO和n 16. '、 n 1(-1)nn(n 1)(7)nn(n 1)绝对收敛,二 n 11-1)n3 12n t . nZ (-1)n二条件收敛, nJ 3n2二 12是收敛的,1 $是p=2的级数发散的，从而级数 n3 3n23应选B.28.qQOQqQA.若级数Hun与gin收敛，则级数（Un+

15、Vn）1.设 f(x+1) = x2 +2 ,则 f (x-2)=解：f(x 1) =(x 1)2 -2(x 1) 3= f(x) =x2 -2x 3 = f(x -2) =x2 -6x 11.x2 ax - 6 lim = 5 ,则 a =.x 立 x -2解：因 lim (x-2)=0=, lim(x2 ax _ 6) = 0 = a -1 . x2x 23.设函数y = arctanx在点（1,-）处的切线方程是4收敛 n 1n 1n 1B.若级数 三Un与克Vn收敛，则级数£ （U2 +V：）收敛 n 1n 1n 1qQqQqQC.若正项级数£ Un与Z Vn收敛，

16、则级数（U （Un+Vn）2收敛 n1nJnJqQOQqQD.若级数Z UnVn收敛，则级数£ Un与工V。都收敛 n =4nJn=4解：正项级数U Un与Vn收敛二£ u2与克v2收敛， n 4n 1n =4n 1而（Un +Vn）2 <2（U2+V2）,所以级数 £（Un+Vn）2收敛,应选 Cn 129. 微 分 方 程 （x -2y）yr = 2x - y 的 通 解 为 （ ）A. x2 y2 =CB.x y =CC. y = x 1D.x2 -xy y2 = C2解：注意对所给的方程两边求导进行验证，可得通解应为x2-xy + y2=C2,应选D

17、.30. 微 分 方 程 吟+p2x=0的 通 解 是dt2（ ）A. x =C1cos 伏+C2 sin 伏 B. x = Ce+C2e，C. x = cos 3 sin ptD. x = et eft解：微分方程的特征方程为%+ 02 = 0 ,有两个复特征根 入=土囚，所以方程的通解为x =C1 cos供+C2sin伏,应选A.得 评卷人 二、填空题(每小题2分，共30分)分则切线方程为y六次一=i - 2 j k = S =| a b |= 6 .）,即 x 2y -1 2=024 .设y解：y1=x xex,贝dy =. ln xln x1二 x x ln x - x 1 - ln

18、x .=e = dy = e d( x) = x e 2 1dx .xx5 .函数y = 2x2 -Inx的单调递增区间是4x0x1,11、=x> = (,+g)或_,+°°).2226 .曲线y = e”的拐点是解：y，=e”:2, x3xe '( . x -1)4x % x=0= x=1，得拐点为（1,e）.7 .设 f(x)连续，且 I f(t)dt=x，则 f (27)=x31解：等式g f (t)dt =x两边求导有f (x3)3x2 =1，取x = 3有f (27)=为18.设 f (0) =1, f(2) = 2, f'(2) =3,贝工

19、xf”(2x)dx =解:1 1.(xf *(2x)dx = xdf '(2x)xf '(2x) 0-f2x)d2x1.1=f'(2) f(2x)1.1=f (2)- - f(2)2415-f(0) = 5解：a b =12.设 x=ln2 z yz二zr =-:x：:yte%t的极小值是角单：y = xe = 0= x = 0= f (0) = 0.1 -sin x ,10. dx _.x cosx右刀 1 -sin x , d(x cosx) 角单：dx = = ln | x cosx | C .x cosx x cosx11.由向量a=1,0,-1, b =0,1

20、,2为邻边构成的平行四边形的面积为11Fx = ,Fy = ,Fz =z-:z Fxm _Fz:z:y2z zFy2 z2 zFz y(x z),所以史十底 = z(y+z)；:x ；:y y(x z)13.设 D 是由 y =1 - x2, y = x, y0,所围成的第一象限部分，则(y)2dxdy = 04d 0。D xCOS 0 J兀21=g解：积分区域在极坐标系下表示为D=(r, 9)|0< 9<-,0ErE1,则 (sec 0-1)d 0.0 rdr14.将 f (x)=解：f(x) =1 J o=-o4 (sec 0- 1)d 01 冗2 一万32 x - x23展开

21、为x的幕级数是2 x -x2(1 x)(2 -x) 1 x 2 - x 1 x 2 xI2一' n 1- x1c所以 f(x)八.(-x)n -(-)n-(-1)n xn,(-1 ：x< 1).n=02 n=0 2n=0 _215.用待定系数法求方程y,-4y'+4y =(2x+1)e2x的特解时，特解应设为解:2是特征方程猿-4入+ 4=0的二重根，且(2x+1)是一次多项式，特解应设为22xx2 (Ax B)e2x.评卷人三、计算题(每小题5分，共40分)1. limx0.1 xsin x - v cosx解：lim .x J1 xsinx2( . 1 xsinx c

22、osx)1 xsinx - cosx=limx 01 xsin x - cosxxsin x cosx)2x= 2lim=2limxT 1 xsinx-cosxx_0 2sinx xcosx00= 4limx0 3cosx -xsinx2.已知y =32 i f'(x) = arctanx2,求515x + 2 Jdx解：令需-u,则y=f(u),dy dy du=X dx du dx=(u) <5x + 2 JX=0=arctan i16、5x+2 J(5x + 2)所以也dx3.求不定积分4“16 ”冗 =arctan 1 r = 4 =%.2243x .dx.J x2x x

23、dx 二解： .1 x2 xx 1 x2dx = x2d . 1 x2=x2 1 x2一：1 x2d(x2)=x2 1 x2 I . 1 x2d(1 x2)23.1 x2 -(1 x2)23ln(1 x)4.设 f (x) =< 1,2 xx : 0f (x - 1)dx.2*2解：令 x1=t ,贝 f(x1)dx =1,4f(t)dt01=j(t)dt °f(t)dt =.工有出10ln(1 t)dt011= ln(2+t)|jtln(1+t)|。1 t -dt01 t=ln 2 In 211- 0(1-大)dt= 2ln 2 -tln(1 t)10 =3ln2 -1.5

24、.设z = f (exsiny,x2 + y2),其中 f(u,v)可微，求华,华.二 x 二 y解：令exsin y =u, x2 +y2 = v，贝ij z = f (u,v),复合关系结构如图05-1所示,:Z 二 z ：u cz ：N =X十X.x二 u二 x二 v:x二exsin yfu (u,v) 2x(u,v),/ -z二 z二 u二 z ：N= X 十 X .y二 u二 y二 v t y= excosyf；(u,v) 2yfv(u, v).2x6 .求ffdxdy ,其中D是由xy =1, y =xj文义=2所围成的团区域. d y解：积分区域如图05-2所示，曲线xy=1,y

25、 = x在第一象限内的交点为(1,1),1积分区域可表小为：1Mx £ 2, y £ x .x2 x x22dx 1 F dy =x y1221 Nx x - - dx1 一 x,42、x x21 x () y-11n7.求幕级数x2n平n2n 1解：这是缺项的规范的幕级数,图 05-2的收敛域(考虑区间端点).因为p = li.un 书.im ! = lim -Unn-*|(-1)n1x2n 32n 1n 2n 12n +3(-1) x2 2n 12=x lim= x ,n r 2n 3当p<1 ,即-1 <x<1时，幕级数绝对收敛；当p>1 ,即

26、x>1或x<-1时，幕级数发散；当p = 1 ,即x = 土1时，若x=1时，幕级数化为Jet是交错级数，满足来布尼兹定理的条件，nf 2n 1(,1)n 一房地产公司有元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加是收敛的，若x = -1时，幕级数化为z 也是交错级数，也满足来布尼兹nf 2n - 1定理的条件，是收敛的.故事级数的收敛域为-1,1.8.求微分方程(x2+1)y'+2xycosx = 0通解.解：微分方程可化为 y 1当y =等x ,这是一阶线性非齐次微分方程,x 1 x 12xC匕对应的齐次线性微分方程 y * +-y = 0的通解为y =-.x2 1x2 1设

27、非齐次线性微分方程的通解为y = 粤,则y ' = £3-2xC(x)2 ,代入 x2 1x2 1 (x2 1)方程得 C '(x) =cosx ,所以 C(x) =sin x + C .故原微分方程的通解为y = Sin2x + C (C为任意常数).x 1评卷人四、应用题(每小题7分，共计14分)50套公寓要出租，当月租金定为2000100元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花费200元的维修费.试问租金定为多少可获得最大收入？最大收入是多少？解：设每套公寓租金为x元时，所获收入为y元,y =50整理得y =-x-2000(x-200), (x , 2000), 100(-x2 7200x -1400000),1001(-2x+7200)均有意义, 100令y = 0得唯一