排列组合古典概型—复习归纳教师

1、古典概型牛刀小试，自找差距！1已知某运动员每次投篮命中的概率都为 投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机 模拟产生了如下20组随机数:907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）解析：20组随机数中恰有 2个大于等于1且小于等于4的共有191、271、

2、932、812、393A. 0.35B. 0.25 C. 0.20D0.155五组，.其概率为20= 0.25.2. （2010北京高考）从1,2,3,4,5中随机选取一个数为a，从1,2,3中随机选取一个数为b,则b> a的概率是（）解析：43A4B321C.2D.1分别从两个集合中各取一个数，共有15种取法，其中满足b> a的有3种取法，故所3 1求事件的概率为p= 15=5.3先后抛掷两枚均匀的骰子（骰子是一种正方体玩具，在正方体各面上分别有点数1,2,3,4,5,6），骰子落地后朝上的点数分别为x, y,贝U log2xy= 1的概率为（）解析：15A1B.3611C.12

3、D.2抛掷2枚骰子，共有 6 X 6 = 36种情况，因为log2xy= 1，所以y= 2x，此时满足题意31的数对（x, y）共有（1,2）、（2,4）、（3,6）三种情况，所以概率P* =爲.36124. （2010 江苏高考）盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球若从中随机摸出两只球,则它们颜色不同的概率是 .解析：设3只白球为A, B, C,1只黑球为d,则从中随机摸出两只球的情形有：AB, AC,1Ad，BC，Bd，Cd共6种，其中两只球颜色不同的有3种，故所求概率为 勺5. 学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为 解析：每人

4、用餐有两种情况，故共有21.基本事件的特点(1) 任何两个基本事件是 的.(2) 任何事件(除不可能事件)都可以表示成的和. 古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典模型.(1) 试验中所有可能出现的基本事件 .(2) 每个基本事件出现的可能性 . 解：(1)由于甲、乙两组各有10名工人，根据分层抽样原理，要从甲、乙两组中共抽取 4名工人进行技术考核，则从每组各抽取2名工人. = 8种情况他们在同一食堂用餐有2种情况，故他2 1们在同一食堂用餐的概率为fl.师生互动，考点突破！ 囤回扣教材，夯基固本！ 叵考点一简单古典概型的概率有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1

5、,2,3,4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验：用(x, y)表示结果，其中x表示第1颗正四面体玩具出现的点数，y表示第2颗正四面体玩具出现的点数.写出试验的基本事件；(2) 求事件“出现点数之和大于3”的概率；(3) 求事件“出现点数相等”的概率.自主解答(1)这个试验的基本事件为(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4),(3,1) , (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4)共 16 个.事件“出现点数之和大于3”包含以下13个基本事件：(1,3), (1,4) ,

6、(2,2) , (2,3), (2,4),(3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4), (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4). 故 P= 1.4 1事件“出现点数相等”包含以下4个基本事件：(1,1), (2,2), (3,3), (4,4) 故P=屁=/教师备选题»>某口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球.(1) 共有多少个基本事件？(2) 摸出的2只球都是白球的概率是多少？教师备选题»>Z解：分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，从中摸出2只球，有如下基本事件摸到1,2 号球用(1,

7、2)表示:(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5), (4,5).因此，共有10个基本事件.教师备选题»>(2)如图所示，上述10个基本事件的可能性相同，且只有3个基本事件是摸到 2只白球(记为事件 A),即(1,2), (1,3), (2,3)，故 P(A)=而3(3) 故共有10个基本事件，摸出2只球都是白球的概率为 .考点二(2011 苏北四市联考)如图，在某城市中，M N两地之间有整齐的方格形道路网， 其中A1、A2、A3 A4是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网M N处的甲

8、、乙两人分别要到N M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达 N, M处为止.(1) 求甲经过A2到达N处的方法有多少种；(2) 求甲、乙两人在 A2处相遇的概率；(3) 求甲、乙两人相遇的概率.自主解答(1)甲经过A2，可分为两步：第一步，甲从 M到A2的方法有C!种；第二步，甲从 A2到N的方法有C?种.所以甲经过 A2到达N处的方法有(C3)2= 9种.由知，甲经过 A2的方法数为9;乙经过 A2的方法数也为 9.所以甲、乙两人在 A2处相遇的方法数为 9X 9= 81;81 81甲、乙两人在 A2处相遇的概率为 cc|=400.甲、乙两人沿最短路径行走

9、，只可能在A1、A2、A3、A4处相遇，他们在 Ai(i = 1,2,3,4)处相遇的走法有(C3-1)4种方法，所以(C3)4+ (C!)4+ (C3/+ (C3)4= 164，故甲、乙两人相遇的概率为16440041100.儿纣4a教师备选题»>某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人.现 采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样 )从甲、乙两组中共抽取 4名工人进行技术 考核.(1) 求从甲、乙两组各抽取的人数；(2) 求从甲组抽取的工人中恰有 1名女工人的概率; 求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率.K教师备选题»&g

10、t;C4C68(2)记A表示事件：从甲组抽取的工人中恰有1名女工人，则P(A) = -C0"=后(3)Ai表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有i名男工人，i= 0,1,2.教师备选题»>Bj表示事件：从乙组抽取的 2名工人中恰有j名男工人，j= 0,1,2.B表示事件：抽取的 4名工人中恰有2名男工人.Ai与 Bj独立，i, j= 0,1,2，且 B= Ao B2 + Ai B1 + A2 Bo.故 P(B)= P(Ao B2+ A B1 + A2 Bo)=P(Ao) P(B2)+ P(A1) P(B1)+ P(A2) P(Bo)亠2 1 1 亠2亠2C 4. C4C

11、6 .C6_C_41 C 6C §31鬲+ c1o C2o + Co Co= 75教师备选题»>现有8名奥运会志愿者，其中志愿者 A1、A2、A3通晓日语，B1、B2、B3通晓俄语，C1、 C2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组.(1)求A1被选中的概率；求B1和C1不全被选中的概率.教师备选题»>Z解：从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其所有可能的结果组成的基本事件空间= (A1 , B1, C1), (A1 , B1, C2), (A1 , B2, C1) , (A1 , B2, C2), (A1 , B3,

12、 C1)(A1 , B3, C2), (A2, B1, C1) , (A2 , B1, C2), (A2 , B2, C1) , (A2 , B2, C2), (A2 , B3, C1), (A2 , B3, C2) , (A3, B1, C1), (A3 , B1, C2), (A3 , B2 , C1), (A3, B2, C2), (A3 , B3, C1), (A3 , B3, C2)由18个基本事件组成.由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的.K/教师备选题»>Z'X(1)用 M 表示 “A1恰被选中”这一事件，则M = (A1,

13、B1,C1),(A1, B1,C2), (A1,B2,Ci),(Ai,B2,C2),(Ai,B3,Cl),(Ai,B3,C2)，事件 M 由 6 个基本事件组成,6 i因而 P(M)= - =(2) 用N表示“ Bi、Ci不全被选中”这一事件，则其对立事件N表示“ Bi、Ci全被选中”这一事件，由 帀=(Ai, Bi, Ci), (A2, Bi, Ci), (A3, Bi, Ci)，事件 N 有 3 个基本事件3 i组成，所以P( N )=诒=ii 5(3) 由对立事件的概率公式P(N)= i-P( N ) = i-i = 5.6 6考点三古典概型与统计的综合问题(2010 湖南高考)为了对某

14、课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A, B, C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表(单位：人).高校相关人数抽取人数Ai8xB362C54y(1) 求 x, y;(2) 若从高校B, C抽取的人中选2人作专题发言，求这 2人都来自高校C的概率.自主解答(i)由题意可得，!8=36= 54,所以x=i，y= 3.记从高校B抽取的2人为bi, b2,从高校C抽取的3人为Ci, C2, C3,则从高校B, C抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有(bi,b2),(bi,Ci),(bi,C2),(bi,C3),(b2,Ci),(b2, C2), (b2, C3), (Ci, C

15、2) , (Ci, C3), (C2, C3)共 io 种.设选中的2人都来自高校 C的事件为X，则X包含的基本事件有(Ci, C2), (Ci, C3), (C2, C3) 共3种.因此P(X) =盒.故选中的2人都来自高校 C的概率为 弐.io教师备选题»>某高级中学共有学生 2000人，各年级男、女生人数如下表:年级性别冋高二咼三女生373xy男生377370z已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是 0.19.(1)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在高三年级抽取多少人？已知y245, z> 245,求高三年级女生比男生多的概率.丿教师备选

16、题»>X解： <=0.19,x= 380,2000高三年级人数为 y+ z= 2000- (373 + 377+ 380 + 370) = 500，现用分层抽样的方法在全校抽48取48名学生，应在高三年级抽取的人数为丽 500= 12.设“高三年级女生比男生多”为事件A，高三年级女生、男生数记为(y, z) 由(1)知y+ z=500，且 y, zN ,则基本事件空间包含的基本事件有(245,255), (246,254), (247,253), (248,252) , (249,251), (250,250), (251,249) , (252,248),(253,24

17、7) , (254,246) , (255,245),共 11 个,事件A包含的基本事件有(251,249) , (252,248) , (253,247) , (254,246) , (255,245),共 5 个，5 5二P(A)=石.故咼三年级女生比男生多的概率为.E高考一题、展示命麵方甸，规范备麵步骤高考对本节内容的考查形式既有选择题、填空题，也有解答题，主要考查古典概 型概率公式的应用尤其是古典概型与互斥事件、对立事件的综合问题更是高考的热点， 2010年福建高考将古典概型与向量等知识结合考查，代表了高考的一个重要考向.考题印证(2010 福建高考)(12分)设平面向量 am= (m

18、,1), g= (2 , n),其中 m , n 1,2,3,4.(1) 请列出有序数组(m , n)的所有可能结果；(2) 记“使得am丄(am- bn)成立的(m , n)”为事件A,求事件 A发生的概率.规范解答(1)有序数组(m, n)的所有可能结果为:(1,1) , (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4),共 16 个. (6分)(2)由 amam bn)得 m? 2m + 1 n= 0，即 n= (m 1)2. (8

19、分) 由于m, n 41,2,3,4，故事件 A包含的基本事件为(2,1)和(3,4)，共2个.又基本事件的总数2 1为16,故所求的概率为 P(A) = 16= 8. (12分)/邕魁厮烷方法归纳，触类旁通！叵A.B"1 2 1C"1解析：依题意得当b= 2时，c可从3,4,5,6,7,8,9中选取，此时 b丰c；当b从3,4,5,6,7,8,9中选取时，有b= c.因此,b= c的概率为12.2 32. （2011 银川模拟）将一骰子抛掷两次，所得向上的点数分别为m和n，则函数y=§mxnx+ 1在1 ,+s ）上为增函数的概率是（）解析：A 15A.B.26

20、32C.4D.32 杠c由题可知，函数 y = mx3 nx+ 1在1,+ )上单调递增，所以y' = 2mx有放回抽样和无放回抽样的概率在古典概型的概率中，将涉及两种不同的抽取方法，设袋内装有n个不同的球，现从中依次摸球，每次只摸一只，具有两种摸球的方法.(1)有放回.每次摸出一只后，仍放回袋中，然后再摸一只，这种摸 球的方法称为有放回的抽样，显然，对于有放回的抽 样，每次摸出的球可以重复，且摸球可无限地进行下去.无放回.每次摸出一只后，不放回原袋中，在剩下的球中再摸一 只，这种摸球方法称为无放回的抽样显然，对于无放 回的抽样，每次摸出的球不会重复出现，且摸球只能进 行有限次. n

21、> 03在1, +8)上恒成立，所以 2m > n,则不满足条件的(m , n)有(1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,5),23（2,6）共6种情况，所以满足条件的共有30种情况，则函数 y = -mx3 nx+ 1在1, +）上单调递增的概率为3i=5.3. （2010 安徽高考）甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形 四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是（A3_.18B_4 .18解析：甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形的四个顶点中任6 X 6意选择两个顶点连成直线，所得的

22、直线共有厂=18（对），而相互垂直的有5对，故根据古 典概型概率公式得 P= 18.4. （2010 辽宁高考）三张卡片上分别写上字母E, E, B,将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为.解析:2 1基本事件总数为6,所含基本事件个数为2，所以所求的概率是P = 2 = z.6 35笼里有3只白兔和2只灰兔，现让它们一一出笼，假设每一只跑出笼的概率相同，则先出笼的两只中一只是白兔，而另一只是灰兔的概率是 解析：法一：设3只白免分别为 bi, b2, b3,2只灰兔分别为hi, h2.则所有可能的情况是(bi,hi),(bi,h2),(b2,hi),(b2,h2),(b3,hi),(b3,h?),(hi,bi),(h2,bi),(hi,b2),(h2,b2),(hi,b3),(h2,b3),(bi,b?),(bi,b?),(b2,bi),(b2,bj,(b3,bi),(b3,b?),(hi,h2), (h2, hi),共20种情况，其中符合一只白兔而另一只是灰兔的情况有i2种，.所求概率为i22035.法二：从笼子中跑出两只兔子的情况有a5= 20种情况.设事件A:出笼的两只中一只是白兔，另一只是灰兔则P(A)=c3ci+ c2c1Asi2 320=亏6. (2010 山