控制系统的根轨迹分析知识讲解

1、专业：姓名：学号：沁'丛竽实验报告日点二=课程名称：_自动控制理论实验 指导老师： 成绩： 实验名称： 控制系统的根轨迹分析 实验类型： 仿真实验同组学生姓名：无一、实验目的和要求（必填）二、实验内容和原理（必填）三、主要仪器设备（必填）四、操作方法和实验步骤五、实验数据记录和处理六、实验结果与分析（必填）七、讨论、心得实验一控制系统的根轨迹分析一、实验目的1用计算机辅助分析的办法，掌握系统的根轨迹分析方法。2、熟练掌握Simulink仿真环境。二、实验原理1根轨迹分析方法所谓根轨迹，是指当开环系统的某一参数（一般来说，这一参数选作开环系统的增益K）从零变到无穷大时，系统特征方程的根在

2、s平面上的轨迹。在无零极点对消时，闭环系统特 征方程的根就是闭环传递函数的极点。根轨迹分析方法是分析和设计线性定常控制系统的图解方法，使用十分简便。利用它可以对系统进行各种性能分析：（1）稳定性当开环增益 K从零到无穷大变化时，图中的根轨迹不会越过虚轴进入右半s平面，因此这个系统对所有的K值都是稳定的。如果根轨迹越过虚轴进入右半s平面，则其交点的K值就是临界稳定开环增益。稳态性能开环系统在坐标原点有一个极点，因此根轨迹上的K值就是静态速度误差系数，如果给定系统的稳态误差要求，则可由根轨迹确定闭环极点容许的范围。（3） 动态性能当0 < K < 0.5时，所有闭环极点位于实轴上，系统

3、为过阻尼系统，单位阶跃响应为非周期过程；当K = 0.5时，闭环两个极点重合， 系统为临界阻尼系统，单位阶跃响应仍为非周期过程，但速度更快；当 K > 0.5时，闭环极点为复数极点，系统为欠阻尼系统，单位阶跃 响应为阻尼振荡过程，且超调量与K成正比。同时，可通过修改系统的设计参数，使闭环系统具有期望的零极点分布，即根轨迹对系 统设计也具有指导意义。2、根轨迹分析函数在 MATLAB 中，绘制根轨迹的有关函数有 rlocus、rlocfind、pzmap等。（1） pzmap :绘制线性系统的零极点图，极点用x表示，零点用o表示。(2) rlocus :求系统根轨迹。例女口rlocus(a

4、,b,c,d)、rlocus(num,den)或 rlocus(a,b,c,d,k)、rlocus(num,den,k)，为根据开环系统的状态空间模型或传递函数模型，直接在屏幕上绘制出 系统的根轨迹图，其中开环增益的值从零到无穷大变化或指定其变化范围。(3) rlocfind :计算给定一组根的根轨迹增益。例如 k,p=rlocfind(num,den)，其要求在屏 幕上先已经绘制好有关的根轨迹图。然后，此命令将产生一个光标以用来选择希望的闭环极点。命令执行结果：k为对应选择点处根轨迹开环增益；p为此点处的系统闭环特征根。三、实验内容一开环系统的传递函数为小、心十2)5刃=(r+4j+,i)绘

5、制出此闭环系统的根轨迹，并分析系统的稳定性。四、实验要求1编制 MATLAB程序，画出实验所要求的根轨迹，求出系统的临界开环增益，并用闭环系统的冲激响应证明之。2、在Simulink仿真环境中，组成系统的仿真框图，观察临界开环增益时系统的单位阶 跃响应曲线并记录之。五、实验记录1 MATLAB 的文件编程和仿真(1)实验程序 num=1,2;%使用传递函数模型表征开环系统%在根轨迹图中使用光标获得相应的极点p与增益kden=co nv(1,4,3,1,4,3); rlocus( nu m,de n) k,p=rlocfi nd(nu m,de n)z=-2;p=-1,-1,-3,-3; k=3

6、2*sqrt(3);nu m,de n=zp2tf(z,p,k);% k=55.4256为临界开环增益%使用零极点模型表征开环系统，并转换为传递函数nu m1,de n1=cloop( nu m,de n); % 闭环传递函数subplot(211); step( nu m1,de n1); xlim(0,20);grid; %单位阶跃响应subplot(212);impulse (nu m1,de n1);xlim(0,20);grid; %单位冲激响应(2)运行结果selected_po int =-0.8341 + 1.3665ik =6.9178P =-4.2173-2.1390-0.

7、8218 + 1.3624i-0.8218 - 1.3624i(根轨迹曲线)(响应曲线)Figure 1“aFite Edt View Insert Tools gskt叩 Window Htelp S© « X * 3 E3 QSt«p Response468 fO 121411620Twne(sec).1-5o uprqaUJ2 £Impulse Response468 TO 1214161820Tlo ie (sec)2 o>-20>2、MATLAB 的 Simulink 仿真(1)系统框图分析使用的系统为传递函数(Transfer F

8、unction )模型，在输入框赋予指定的一维向量。(2)仿真结果七、结果分析1理论分析 侣十血十詳对于开环传递函数为的控制系统，其特征方程为打(弄)=亠22/ 4-(24 + Jt)5-F2t = 0(1) 根轨迹的起讫点与条数系统具有二阶开环极点p i = -1,-3，开环零点z i = -2，即P = 4，Z = 1。因此系统共有四条根轨迹分支，始于四个开环极点，其一终于开环零点，其余三条将沿渐近线趋向于s平面的无穷远处。(2) 实轴上的根轨迹由判定规则易知，实轴上 -2至-3和-3至无穷小间的线段均为根轨迹(但其走向不同)。(3) 根轨迹的渐近线渐近线与实轴的夹角与交点由下面二式确定畔

9、严5讣“即渐近线过零点-2，且与实轴的夹角为60° 。(4) 分离点由系统特征方程可得MK 2(x + l)( +4'45)廿 (777因而分离点为-1，其出射角为 90°。(5) 根轨迹与虚轴的交点 令特征方程中s=jw，可得c/ 22& + (2A + 9)J十(24 + Jt)j = O即3 -心o| i =細 2 - 24解之可得* =少=±jj3 + 4/J = ±j5.15(X9Jt =327=5S-4J56由以上分析可绘制出完整的根轨迹图。对比仿真所得的根轨迹图线可知，各特征量与实际数值完全吻合，从理论上证明了由编程绘制得根轨迹的正确性。2、开环临界增益由时域仿真曲线可以看出，当系统取临界开环增益时，其输出响应是一个等幅振荡，表 明此时系统是稳定的。因而验证了此临界开环增益值的正确性。八、心得思考1本次试验中，我熟悉使用了matlab自带的Simulink仿真工具，将理论知识和问题很直观的在计算机上演示了出来，十分方便。matlab语言及其工具箱为根轨迹的绘制(图形绘制) 与求解(数值计算)提供了很大的方便，在实际运用中可大大提高工作