山东省临沂市届高三下学期第二次模拟数学(理)试卷

1、2015 年山东省临沂市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分共 50 分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1设 i 是虚数单位，若复数为纯虚数，则实数 m的值为（）A 2B 2CD2设集合 M=x|x 2 4x+3 0 ， N=x|log2x 1 ，则 M N=（）A1 ，2B1 ，2）C0 ，3D（ 0， 33若 a b 0，则下列结论中正确的是（）A a2b2B ab b2C（ ） a （ ）bD+24已知 F（ x） =f （x） x 是偶函数，且f （ 2）=1，则 f （ 2） =（）A 4B 2C 3 D 45执行如图的程序框图，若

2、输入x=7，y=6，则输出的有序数对为（）A（ 9， 10） B （ 12， 13）C（ 13， 14）D（ 13， 12）6已知 f （ x） =ex x，命题 p： ? x R， f （ x）（ 0），则（）A p 是真命题，p： ? x0 R， f （x0） 0B p 是真命题，p： ? x0 R， f （x0） 0C p 是假命题，p： ? x0 R， f （x0） 0D p 是假命题，p： ? x0 R， f （x0） 07若 f （x） =sin （2x+），则“ f （ x）的图象关于x=对称”是“ =”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D 既不充分又不必要条件1/

3、21x8已知函数f （ x）=2 +x， g（ x） =log 2x+x ， h（x） =lnx+x ，若 f （ a） =g（b） =h（c） =0，则（）A c b aB bc aC a b cD ac b9设平面区域D是由双曲线y2=1 的两条渐近线和抛物线y2= 8x 的准线所围成的三角形区域（含边界） ，若点（ x，y） D，则的取值范围是（）A 1， B 1，1 C 0 ，D0 ，10若对于定义在R 上的函数 f （ x），其图象是连续不断的，且存在常数（R）使得 f（x+ ） + f （ x） =0 对任意实数x 都成立，则称f （ x）是一个“特征函数”下列结论中正确的个数为（

4、） f （ x） =0 是常数函数中唯一的“特征函数” ；f （ x） =2x+1 不是“特征函数” ；“特征函数”至少有一个零点；f （ x） =ex 是一个“特征函数”A1B 2C3D4二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. 把正确答案填写在答题卡给定的横线上 .11已知向量与满足 |=2 ， |=，（），则与的夹角为12某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲、乙不能参加同一学科，则不同的安排方法有种13直线 ax+by=1 与圆 x2+y2=1 相交于 A， B 两点（其中a， b 是实数），且

5、 AOB是直角三角形（ O是坐标原点），则点 P（ a，b）与点（ 1， 0）之间距离的最小值为14已知 f （ n） =sin （ nx）dx，若对于 ? R， f （ 1）+f （ 2）+ +f （n） |x+3|+|x1| 恒成立，则正整数n 的最大值为15已知点A， B， C， D 均在球 O的球面上， AB=BC=1， AC=，若三棱锥D ABC体积的最大值是，则球 O的表面积为2/21三、解答题：本大题共6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16已知函数 f （ x） =2cosxsin （ x+）（I ）求 f （ x）的最小正周期；（）在 ABC中，角

6、 A，B，C 所对的边分别为a， b，c，若 f （ C） =1， sinB=2sinA ，且ABC的面积为 2，求 c 的值17某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图） ，年上缴税收范围是0 ，100，样本数据分组为 0 ，20），20 ， 40），40 ，60）， 60 ，80）， 80 ， 100 （I ）求直方图中x 的值；（） 如果年上缴税收不少于 60 万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业1200 个，试估计有多少企业可以申请政策优惠；（）从企业中任选4 个，这 4 个企业年上缴税收少于20 万元的个数记为X，求 X 的分布列和

7、数学期望 （以直方图中的频率作为概率）18一个楔子形状几何体的直观图如图所示，其底面ABCD为一个矩形，其中AB=6， AD=4，顶部线段EF平面 ABCD，棱 EA=ED=FB=FC=6 ，二面角F BCA 的余弦值为设 M，N分别是 AD， BC的中点（ I ）证明：平面 EFNM平面 ABCD；（）求直线 BF 与平面 EFCD所成角的正弦值19已知 a n 满足 2nan+1=（ n+1）an （n N*），且 a1， 1， 4a3 成等差数列（I ）求数列 a n 的通项公式；（）若数列 a n 满足 bn=sin （ an）， Sn 为数列 b n 的前 n 项和，求证：对任意n

8、N*， Sn2+3/2120已知函数f （ x） =a（ x1） 2+lnx+1 （）当a=时，求函数f （ x）的极值；（）当 x1 ，+）时，函数y=f （x）图象上的点都在所表示的平面区域内，求数 a 的取值范围21已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y 的焦点（I ）求椭圆C 的方程；（）直线x=2 与椭圆交于P，Q两点， P 点位于第一象限，A， B 是椭圆上位于直线x=2 两侧的动点（ i ）若直线 AB的斜率为 ，求四边形 APBQ面积的最大值；（ ii ）当点 A， B 运动时，满足 APQ= BPQ，问直线 AB的斜率是否为定值

9、，请说明理由4/212015 年山东省临沂市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分共 50 分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1设 i 是虚数单位，若复数为纯虚数，则实数m的值为（）A2B 2CD考点 ： 复数代数形式的乘除运算专题 ： 数系的扩充和复数分析：化简复数为a+bi 的形式，利用复数的基本概念，列出方程求解即可解答：解：依题意由复数为纯虚数可知，且，求得 m=2故选： A点评： 本题主要考查复数的基本概念与复数的运算解题的关键是利用复数运算法则进行复数的乘法、除法运算，求解时注意理解纯虚数的概念2设集合M=x|x

10、2 4x+3 0 ， N=x|log2x 1 ，则M N=（）A1 ，2B1 ，2）C0 ，3D（0，3考点 ： 并集及其运算专题 ： 集合分析：求出 M， N 的等价条件，结合集合的基本运算进行求解即可解答：解： M=x|x 2 4x+3 0=x|1 x 3 ，N=x|log2x 1=x|0 x 2 ，则 M N=x|0 x 3 ，故选： D点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础3若 a b 0，则下列结论中正确的是（）A a2b2B ab b2C（） a （）bD+ 2考点 ： 不等式比较大小专题 ： 不等式的解法及应用分析： 利用不等式的性质、函数的单调性即可判断出解答： 解： a

11、b 0，a2 b2， ab b2，=2因此只有D正确5/21故选： D点评： 本题考查了不等式的性质、函数的单调性、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4已知 F（ x） =f （x） x 是偶函数，且f （ 2）=1，则 f （ 2） =（）A4B 2C 3D 4考点 ： 函数奇偶性的性质；函数的值专题 ： 函数的性质及应用分析：直接利用函数的奇偶性化简求解即可解答：解： F（ x） =f （ x） x 是偶函数，且f （ 2） =1， F（2） =f （2） 2= 1则 F（ 2） =f （ 2） +2= 1， f （ 2）= 3故选： C点评： 本题考查函数的奇偶性，函

12、数值的求法，考查计算能力5执行如图的程序框图，若输入x=7，y=6，则输出的有序数对为（）A（ 9， 10） B （ 12， 13）C（ 13， 14）D（ 13， 12）考点 ： 程序框图专题 ： 图表型；算法和程序框图分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y， n 的值，当n=4 时不满足条件n 4，退出循环，输出数对（9， 10）解答：解：模拟执行程序框图，可得x=7， y=6n=1满足条件n 4， x=7， y=8， n=2满足条件n 4， x=9， y=8， n=3满足条件n 4， x=9， y=10 ，n=4不满足条件n 4，退出循环，输出数对（9， 10）故选： A点

13、评： 本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的 x， y， n 的值是解题的关键，属于基础题6已知 f （ x） =ex x，命题 p： ? x R， f （ x）（ 0），则（）6/21A p 是真命题，p： ? x0 R， f （x0） 0B p 是真命题，p： ? x0 R， f （x0） 0C p 是假命题，p： ? x0 R， f （x0） 0D p 是假命题，p： ? x0 R， f （x0） 0考点 ： 命题的否定；复合命题的真假专题 ： 简易逻辑分析：判断命题的真假，然后利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可x 解答： 解： f （ x）=e x，命题 p

14、： ? x R， f （x）（ 0），是真命题，它的否定是： ? x0 R， f （ x0） 0点评：本题考查命题的真假的判断，命题的否定，基本知识的考查7若 f （x） =sin （2x+），则“ f （ x）的图象关于x=对称”是“ =”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D 既不充分又不必要条件考点 ： 必要条件、充分条件与充要条件的判断专题 ： 三角函数的图像与性质；简易逻辑分析：根据三角函数的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可解答：解：若 f （ x）的图象关于x=对称，则 2×+ =+k，解得 =+k， k Z，此时 =不一定成立，反之成立，即“ f

15、 （ x）的图象关于x=对称”是“=”的必要不充分条件，故选： B点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合三角函数的对称性是解决本题的关键8已知函数f （ x）=2x +x， g（ x） =log 2x+x ， h（x） =lnx+x ，若 f （ a） =g（b） =h（c） =0，则（）A c b aB bc aC a b cD ac b考点 ： 函数的零点专题 ： 数形结合；函数的性质及应用分析： f （a） =g（ b）=h（ c） =0 即为函数y=2x，y=log 2x，y=lnx 与 y= x 的交点的横坐标分别为 a，b， c，画出它们的图象，即可得到a，b， c 的

16、大小解答：解： f （ a） =g（ b） =h（c） =0即为函数y=2x，y=log 2x， y=lnx与 y= x 的交点的横坐标分别为a， b， c，画出它们的图象，由图象可得，a c b故选： D7/21点评： 本题考查函数的零点的判断和比较，运用函数和方程的思想和数形结合的思想方法是解题的关键9设平面区域 D是由双曲线y2 =1 的两条渐近线和抛物线 y2= 8x 的准线所围成的三角形区域（含边界） ，若点（ x，y） D，则的取值范围是（）A 1， B 1，1 C 0 ， D0 ， 考点 ： 双曲线的简单性质专题 ： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 先求出双曲线的两条渐

17、近线为，抛物线y2= 8x 的准线为 x=2，结合图象可得在点 B（2， 1）时，=0，在点 O（ 0， 0）时，=1，由此求得目标函数的取值范围解答： 解：双曲线 y2=1 的两条渐近线为y=，抛物线 y2= 8x 的准线为 x=2故可行域即图中阴影部分，（含边界）目标函数 z=2?1 中的表示（ x， y）与（ 1， 1）连线的斜率，故在点 B（2， 1）时，=0，在点 O（ 0，0）时，=1，2? 1 1， 1故选： B8/21点评： 本题主要考查抛物线、双曲线的标准方程，以及简单性质，简单的线性规划问题，属于中档题10若对于定义在R 上的函数 f （ x），其图象是连续不断的，且存在常

18、数（R）使得 f（x+ ） + f （ x） =0 对任意实数x 都成立，则称f （ x）是一个“特征函数”下列结论中正确的个数为（） f （ x） =0 是常数函数中唯一的“特征函数” ；f （ x） =2x+1 不是“特征函数” ；“特征函数”至少有一个零点；xf （ x） =e 是一个“特征函数”A1B 2C3D4考点 ： 命题的真假判断与应用专题 ： 简易逻辑分析：利用新定义“特征函数”，对 A、 B、C、 D 四个选项逐个判断即可得到答案解答： 解：对于，设 f （ x） =C是一个“特征函数” ，则（ 1+） C=0，当 =1 时，可以取遍实数集，因此 f （ x） =0 不是唯一

19、一个常值“特征函数” ，故不正确；对于， f （ x）=2x+1， f （ x+） +f （x）=2（ x+） +1+（ 2x+1）=0，即 2（ +1）x= 2，当 = 1 时， f （ x+） + f （ x） = 2 0； 1 时， f （ x+） + f（ x） =0 有唯一解，不存在常数（ R）使得 f （ x+） + f （x） =0 对任意实数 x 都成立， f （ x） =2x+1 不是“特征函数” ，故正确；对于，令x=0，得 f （） +f （ 0） =0，所以 f （） =f （ 0），若 f （ 0）=0，显然 f （ x） =0 有实数根；若f （0） 0， f （）

20、? f （ 0）=f （ 0） 2 0又因为 f （ x）的函数图象是连续不断，所以f （ x）在（ 0，）上必有实数根因此任意的“特征函数”必有根，即任意“特征函数”至少有一个零点，故正确对于，假设xx+x对任意实数 x 成立，则有f （x） =e是一个“特征函数” ，则 e+ e =0e+ =0，而此式有解，所以f （x） =ex 是“特征函数” ，故正确故结论正确的是，故选： C点评： 本题考查函数的概念及构成要素，考查函数的零点，正确理解特征函数的概念是关键，属于中档题二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. 把正确答案填写在答题卡给定的横线上 .11已知向量与满

21、足 |=2 ， |=，（），则与的夹角为45°考点 ： 平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角专题 ： 平面向量及应用分析：直接利用向量垂直的体积转化为数量积为0，然后求解即可9/21解答：解：向量与满足 |=2 ，|=，（），可得（）?=0，即，可得 2 2=0，所以=45°故答案为： 45°点评：本题考查向量的数量积的应用，向量的夹角的求法，考查计算能力12某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加， 且甲、乙不能参加同一学科，则不同的安排方法有30种考点 ： 排列、组合及简单计数问题专题 ：

22、 排列组合分析： 先不考虑学生甲，乙不能同时参加同一学科竞赛，从4 人中选出两个人作为一个元素，同其他两个元素在三个位置上排列，其中有不符合条件的，即甲乙两人在同一位置，去掉即可解答： 解：从 4 人中选出两个人作为一个元素有C42 种方法，同其他两个元素在三个位置上排列C42A33=36，其中有不符合条件的，即学生甲，乙同时参加同一学科竞赛有3A3 种结果，不同的参赛方案共有36 6=30，故答案为： 30点评：对于复杂一点的排列计数问题，有时要先整体再部分，有时排列组合和分步计数原理，分类计数原理一起出现，有时分类以后， 每类方法并不都是一步完成的，必须在分类后又分步，综合利用两个原理解决

23、，即类中有步，步中有类13直线 ax+by=1 与圆 x2+y2=1 相交于 A， B 两点（其中a， b 是实数），且 AOB是直角三角形（ O是坐标原点），则点 P（ a，b）与点（ 1， 0）之间距离的最小值为考点 ： 直线与圆的位置关系专题 ： 计算题；直线与圆分析：根据直线和圆的位置关系以及两点间的距离公式即可得到结论解答：解： AOB是直角三角形（O是坐标原点），圆心到直线ax+by=1 的距离 d=，即 d=，10/2122整理得 a +2b =2，则点 P（ a， b）与点 Q（1， 0）之间距离d=，点 P（ a， b）与点（ 1， 0）之间距离的最小值为故答案为：点评： 本

24、题主要考查直线和圆的位置公式的应用以及两点间的距离公式，考查学生的计算能力14已知 f （ n） =sin （ nx）dx，若对于 ? R， f （ 1）+f （ 2）+ +f （n） |x+3|+|x1| 恒成立，则正整数n 的最大值为3考点 ： 函数恒成立问题；定积分专题 ： 函数的性质及应用；导数的概念及应用分析：先根据定积分计算出f （ n），再根据绝对值的几何意义求出|x+3|+|x 1| 的最小值为 4，继而得到n 的最大值解答：解： f （ n） =sin （ nx）dx=cosnx=（ cos cos0） =，根据绝对值的几何意义，得到|x+3|+|x1| 4，对于 ? R，

25、f （ 1） +f （ 2）+ +f （n） |x+3|+|x 1| 恒成立， + + + + =3+ + + 4，正整数n 的最大值为3，故答案为： 3点评： 本题考查了定积分的计算以及绝对值的几何意义，以及函数恒成立的问题，属于中档题15已知点A， B， C， D 均在球 O的球面上， AB=BC=1， AC=，若三棱锥D ABC体积的最大值是，则球 O的表面积为考点 ： 球内接多面体专题 ： 计算题；空间位置关系与距离分析：确定 ABC=120°， S=，利用三棱锥D ABC的体积的最大值为，可得 D 到ABC平面 ABC的最大距离，再利用射影定理，即可求出球的半径，即可求出球

26、O的表面积解答：解：设 ABC的外接圆的半径为r ，则AB=BC=1， AC=， ABC=120°， S ABC=，11/212r=2三棱锥 D ABC的体积的最大值为，D 到平面 ABC的最大距离为，设球的半径为R，则 12 =×（ 2R），R=，球 O的表面积为24 R =故答案为：点评： 本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定D 到平面 ABC的最大距离是关键三、解答题：本大题共 6小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16已知函数 f （ x） =2cosxsin（ x+）（I ）求 f （ x）的最小正周期；（）在 ABC中，角 A，

27、B，C 所对的边分别为a， b，c，若 f （ C） =1， sinB=2sinA ，且ABC的面积为2，求 c 的值考点 ： 余弦定理；三角函数的周期性及其求法专题 ： 解三角形分析： （ I ）f（ x）解析式利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理为一个角的正弦函数，找出的值，即可确定出f （x）的最小正周期；（）由 f （C）=1 确定出 C 的度数， sinB=2sinA利用正弦定理化简得到b=2a，利用三角形面积公式列出关系式，把 sinC 与已知面积代入求出ab 的值，联立求出a 与 b 的值，利用余弦定理求出c 的值即可解答：解：（ I ）f （ x）=2cosx （sinx+c

28、osx ）=sin2x+cos2x+=sin （ 2x+）+ ， =2， f （ x）的最小正周期为；（） f （ C） =sin （ 2C+） +=1， sin （ 2C+ ） = ，2C+， 2C+ =，即C= ， sinB=2sinA ， b=2a， ABC面积为 2，absin=2，即 ab=8，12/21联立，得：a=2， b=4，由余弦定理得：c2=a2 +b22abcosC=12，即 c=2点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及三角函数的周期性，熟练掌握定理及公式是解本题的关键17某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（

29、如图） ，年上缴税收范围是0 ，100 ，样本数据分组为0 ，20），20 ， 40），40 ，60）， 60 ，80）， 80 ， 100 （I ）求直方图中x 的值；（） 如果年上缴税收不少于60 万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业1200 个，试估计有多少企业可以申请政策优惠；（）从企业中任选4 个，这 4 个企业年上缴税收少于20 万元的个数记为X，求 X 的分布列和数学期望 （以直方图中的频率作为概率）考点 ： 离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列专题 ： 概率与统计分析：（ I ）由直方图可得：20×（ x+0.025+0.0065+0

30、.003× 2） =1，解得 x 即可（II ）企业缴税收不少于60 万元的频率 =0.003 × 2× 20=0.12 ，即可得出1200 个企业中有1200× 0.12 个企业可以申请政策优惠（III）X 的可能取值为0，1，2，3，4由（ I ）可得：某个企业缴税少于20 万元的概率 =0.0125×20=因此 X B（ 4，），可得分布列为P（ X=k） =，（ k=0，1，2， 3， 4），再利用E（ X） =4×即可得出解答： 解：（ I ）由直方图可得： 20×（ x+0.025+0.0065+0.003 &#

31、215; 2） =1，解得 x=0.0125 （ II ）企业缴税收不少于 60 万元的频率 =0.003 × 2× 20=0.12 ， 1200 × 0.12=144 1200 个企业中有 144 个企业可以申请政策优惠（ III ） X 的可能取值为 0， 1， 2， 3， 4由（ I ）可得：某个企业缴税少于20 万元的概率 =0.0125 × 20=0.25=因此 X B（ 4，），13/21分布列为 P（ X=k） =，（ k=0， 1， 2， 3，4），E（ X） =4×=1点评： 本题考查了频率分布直方图的有关性质、随机变量服从二

32、项分布的分布列与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18一个楔子形状几何体的直观图如图所示，其底面ABCD为一个矩形，其中AB=6， AD=4，顶部线段EF平面 ABCD，棱 EA=ED=FB=FC=6 ，二面角F BCA 的余弦值为设 M，N分别是 AD， BC的中点（ I ）证明：平面 EFNM平面 ABCD；（）求直线 BF 与平面 EFCD所成角的正弦值考点 ： 直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定专题 ： 综合题；空间位置关系与距离；空间角分析：（ I ）根据线面平行的性质定理推断出EF AB，又 M， N 是平行四形ABCD两边 AD，BC的中点，推断出MN

33、AB，进而可知EF MN，推断出E， F， M， N四点共面根据FB=FC，推断出 BC FN，又 BC MN，根据线面垂直的判定定理推断出，BC平面 EFNM，即可证明平面 EFNM平面 ABCD；（）在平面 EFNM内 F 做 MN的垂线，垂足为 H，则由第 （ 1）问可知： BC平面 EFNM，则平面 ABCD平面 EFNM，进而可知 FH平面 ABCD，又因为 FN BC，HN BC，可知二面角 FBC A 的平面角为 FNH在 Rt FNB和 Rt FNH中，分别求得FN和 HN，过 H做边 AB，CD的垂线，垂足为 S， Q，建立空间直角坐标系，由此能求出直线BF 与平面 EFCD

34、所成角的正弦值解答： （ I ）证明： EF平面 ABCD，且 EF? 平面 EFAB，又平面 ABCD平面 EFAB=AB，EF AB，又 M， N 是平行四形 ABCD两边 AD， BC的中点，MN AB，EF MN，E， F， M， N四点共面FB=FC，BC FN，又 BC AB，BC MN，14/21FN MN=N，BC平面 EFNM，BC? 平面 ABCD，平面 EFNM平面 ABCD；（）解：在平面EFNM内 F 做 MN的垂线，垂足为H，则由第（ I ）问可知： BC平面 EFNM，则平面 ABCD平面 EFNM， FH平面 ABCD，又 FN BC， HN BC，二面角F B

35、CA 的平面角为 FNH在 Rt FNB和 Rt FNH中， FN=， HNHN=FNcos FNH=2， FH=8，过 H 做边 AB， CD的垂线，垂足为 S， Q，以 H 为坐标原点，以 HS， HN，HF 方向为 x， y，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则 F（ 0， 0， 8）， S（ 2， 0， 0）， C（ 2， 2， 0）， D（ 2， 4， 0），则=（2， 2， 8），=（ 2， 2， 8），=（ 0， 6， 0）设平面 EFCD的一个法向量为=（ x， y， z），则，取 z=1，得=（ 4， 0，1），设直线 BF与平面 EFCD所成角为，则sin =点评： 本题主

36、要考查了空间点，线面的位置关系，空间的角的计算考查学生的空间想象能力和运算能力属于中档题*19已知 a n 满足 2nan+1=（ n+1）an （n N），且 a1， 1， 4a3 成等差数列（）若数列 a n 满足 bn=sin （ an）， Sn 为数列 b n 的前 n 项和，求证：对任意*， Snn N2+考点： 数列的求和；数列递推式专题： 等差数列与等比数列15/21*），当 n=1 时， a2=a1；当 n=2 时， 4a3=3a2由 a1， 1，分析： （ I ） 2nan+1=（ n+1） an（ n N4a3 成等差数列，解得a1由 2nan+1=（ n+1） an，可得

37、，利用等比数列的通项公式即可得出；（II ）证明： bn=sin （ an） =，利用当 x时， sinx x，可得 Sn2+，令T=+ +，利用“错位相减法” 、等比数列的前 n 项和公式即可得出*解答：（ I ）解： 2nan+1=（ n+1） an（ nN ），当 n=1 时， 2a2=2a1，即 a2=a1 ；当 n=2 时， 4a3 =3a2 a1， 1， 4a3 成等差数列， 2=a1 +4a3 ， 2=a1 +3a1 ，解得 a1= 由 2nan+1=（ n+1）an，可得，数列是首项为，公比为的等比数列， an= （II ）证明： bn=sin（ an） =，Sn=1+1+ +

38、，当 x时， sinx x，Sn 2+，令 T=+，T=+=+，化简可得： T=Sn 2+点评：本题考查了递推式的应用、“错位相减法” 、等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16/2120已知函数f （ x） =a（ x1） 2+lnx+1 （）当a=时，求函数f （ x）的极值；（）当 x1 ，+）时，函数y=f （x）图象上的点都在所表示的平面区域内，求数 a 的取值范围考点 ： 利用导数研究函数的极值专题 ： 函数的性质及应用；导数的综合应用分析：（）当时，求导；从而求极值；（）原题意可化为当x 1 ，+）时，不等式f （ x）

39、 x 恒成立，即2a（x 1） +lnx x+1 0 恒成立；设 g（ x） =a（ x 1） 2+lnx x+1（ x 1），求导=；从而求 a解答： 解：（）当时，；由 f （ x） 0 解得 0 x 2，由 f （ x） 0 解得 x 2；故当 0 x 2 时， f （ x）单调递增；当x 2 时， f （ x）单调递减；所以当 x=2 时，函数f （ x）取得极大值；（）因f （ x）图象上的点在所表示的平面区域内，即当 x 1 ， +）时，不等式f （ x） x 恒成立，即 a（ x 1） 2+lnx x+1 0 恒成立；设 g（ x） =a（ x 1） 2+lnx x+1（ x 1），只需 g（ x） max 0 即可；由=；（）当a=0 时，当 x 1 时， g（ x） 0，17/21函数 g（ x）在（ 1，+）上单调递减，故 g（ x） g（ 1） =0 成立；（）当a 0 时，由，令 g（ x） =0，得 x1=1 或；若，即时，在区间（ 1， +）上， g（ x） 0，函数 g（ x）在（ 1，+）上单调递增函数，g（ x）在 1 ， +）上无最大值，不满足条件；若，即时，函数 g（ x）在上单调递减，在区间上单调递增，同样 g（ x）在 1 ， +）上无最