超静定结构与弯矩分配法实用教案

1、二、超静定(jn dn)结构的优缺点1.超静定结构(jigu)的优点1）超静定结构在抵抗外荷载时具有较大的刚度。刚度：力在所作用点产生单位(dnwi)位移时所需的力。第1页/共36页第一页，共37页。静定(jn dn)梁超静定(jn dn)梁第2页/共36页第二页，共37页。2)超静定(jn dn)结构与静定(jn dn)结构相比具有较低的应力连续性第3页/共36页第三页，共37页。2.超静定(jn dn)结构的缺点连续性1）支座沉降(chnjing)会引起内力和变形可能(knng)导致超载超静定三跨连续梁支座B相对沉降 对于超静定结构，可以导致结构变形的任何原因，如相对的沉陷、温度改变引起的

2、杆件长度变化或者制造误差等，都会使整个结构产生内力。第4页/共36页第四页，共37页。1 1、超静定结构是有多余约束的几何不变体系；、超静定结构是有多余约束的几何不变体系；2 2、超静定结构的全部内力和反力仅有平衡条件求不出，还、超静定结构的全部内力和反力仅有平衡条件求不出，还必须考虑必须考虑(kol)(kol)变形条件；变形条件； 如在力法计算中，多余未知力由力法方程（变形条件）计如在力法计算中，多余未知力由力法方程（变形条件）计算。再由算。再由M=MiXi+MP M=MiXi+MP 叠加内力图。如只考虑叠加内力图。如只考虑(kol)(kol)平衡条件平衡条件画出单位弯矩图和荷载弯矩图，画出

3、单位弯矩图和荷载弯矩图，XiXi是没有确定的任意值。是没有确定的任意值。因此单就满足平衡条件来说，超静定结构有无穷多组解答。因此单就满足平衡条件来说，超静定结构有无穷多组解答。3 3、超静定结构的内力与材料的物理性能和截面的几何特征、超静定结构的内力与材料的物理性能和截面的几何特征有关，即与刚度有关。有关，即与刚度有关。 荷载引起的内力与各杆的刚度比值有关。因此在设计超静荷载引起的内力与各杆的刚度比值有关。因此在设计超静定结构时须事先假定截面尺寸，才能求出内力；然后再根据内定结构时须事先假定截面尺寸，才能求出内力；然后再根据内力重新选择截面。力重新选择截面。 另外，也可通过调整各杆刚度比值达到

4、调整内力的目的。另外，也可通过调整各杆刚度比值达到调整内力的目的。小结(xioji)(xioji)：第5页/共36页第五页，共37页。l/2l/2Pl/4PPPPPl/4 5 5、超静定结构的多余约束破坏，仍能继续(jx)(jx)承载。具有较高的防御能力。6 6、超静定结构的整体性好，在局部荷载作用下可以减小局部的内力幅值和位移幅值。PlP 多余约束约束的存在，使结构(jigu)的强度、刚度、稳定性都有所提高。=1=1/2第6页/共36页第六页，共37页。1MABMBA等截面杆件的刚度等截面杆件的刚度(n d)(n d)方程方程一、由杆端位移一、由杆端位移(wiy)求杆端弯矩求杆端弯矩（1 1

5、）由杆端弯矩）由杆端弯矩 BABAABMM和引起的和ABMABMBAlABMABMBA利用利用(lyng)(lyng)单位荷载法可求得单位荷载法可求得设设ilEI同理可得同理可得BAABBMiMi31611 杆端力和杆端位移的正负规定杆端力和杆端位移的正负规定 杆端转角杆端转角A A、B B ，弦转角，弦转角 / /l l都以顺时针为正。都以顺时针为正。 杆端弯矩对杆端以顺时针为正杆端弯矩对杆端以顺时针为正 对结点或支座以逆时针为正。对结点或支座以逆时针为正。E I第7页/共36页第七页，共37页。ABE IE IM MABABM MBABAl l ABM MABABM MBABABAABAM

6、iMi6131 AB（2 2）由于）由于(yuy)(yuy)相对线位移相对线位移引起的引起的A A和和B B以上以上(yshng)(yshng)两过程的叠加两过程的叠加我们的任务是要由杆端位移求我们的任务是要由杆端位移求杆端力，变换上面杆端力，变换上面(shng (shng min)min)的式子可得：的式子可得：第8页/共36页第八页，共37页。AB用力用力(yng l)法求解单跨超静定梁法求解单跨超静定梁X1X21/l1/lX2=112M1MX1=11lEIi 第9页/共36页第九页，共37页。可以将上式写成矩阵可以将上式写成矩阵(j zhn)形式形式第10页/共36页第十页，共37页。A

7、MAB几种几种(j zhn)不同远端支座的刚度方程不同远端支座的刚度方程（1 1）远端为固定）远端为固定(gdng)(gdng)支座支座AMABMBA因因 B = 0，代入，代入(1)(1)式可得式可得（2 2）远端为固定）远端为固定(gdng)(gdng)铰支座铰支座因因MBA = 0，代入代入(1)(1)式可得式可得) 1 (642624liiiMliiiMBABABAABAMABMBA（3 3）远端为定向支座）远端为定向支座因0,0BAABBQQ代入（代入（2 2）式可得）式可得)2(12662lililiQQBABAABlEIlEIlEI第11页/共36页第十一页，共37页。由单位杆端

8、位移引起的杆端力称为由单位杆端位移引起的杆端力称为(chn wi)形常数。形常数。单跨超静定梁简图单跨超静定梁简图MABMBAQAB= QBA4i2i=1ABAB1AB10AB=13i0AB=1ii0第12页/共36页第十二页，共37页。二、由荷载二、由荷载(hzi)求固端反力求固端反力mABEIqlABQBAQEIqlABQBAQmBA 在已知荷载及杆端位移的共同作用下的杆端力一般公式在已知荷载及杆端位移的共同作用下的杆端力一般公式(gngsh)(gngsh)（转角位移方程）：（转角位移方程）：第13页/共36页第十三页，共37页。第二节 超静定结构(jigu)的计算方法概述1.力法是将超静

9、定结构的多余(duy)未知力作为首先解决的对象，通过把多余(duy)未知力计算出未成为已韧力以后，剩下的问题便可归结为静定结构的计算。2.位移法是通过向原结构中沿独立位移方向人为地添加约束，并引入未知位移作为首先解决的现象，当把未知的节点位移计算出来以后，剩下的问题就可以(ky)把杆件的杆端弯矩求出，又使问题成为静定结构的计算。3. 有限元法或称结构矩阵分析。4.渐进法第14页/共36页第十四页，共37页。1 1、线性代数、线性代数(xin xn di sh)(xin xn di sh)方程组的解法方程组的解法: :直接直接(zhji)(zhji)法法渐近法渐近法2 2、结构力学的渐近法、结构

10、力学的渐近法力学建立方程力学建立方程(fngchng)(fngchng)，数学渐近解，数学渐近解不建立方程式，直接逼近真实受力状态。其突出的优点是每一不建立方程式，直接逼近真实受力状态。其突出的优点是每一步都有明确的物理意义。步都有明确的物理意义。3 3、不建立方程组的渐近解法有：、不建立方程组的渐近解法有：(1)(1)弯矩分配法：弯矩分配法：适于连续梁与无侧移刚架。适于连续梁与无侧移刚架。(2)(2)无剪力分配法：无剪力分配法：适于规则的有侧移刚架。适于规则的有侧移刚架。(3)(3)迭代法：迭代法：适于梁的刚度大于柱刚度的各种刚架。适于梁的刚度大于柱刚度的各种刚架。它们都属于位移法的渐近解法

11、。它们都属于位移法的渐近解法。渐近法概述第15页/共36页第十五页，共37页。弯矩分配弯矩分配(fnpi)(fnpi)法的基本概念法的基本概念弯矩分配弯矩分配(fnpi)法法理论基础：位移法；理论基础：位移法；计算对象计算对象(duxing)：杆端弯矩；：杆端弯矩；计算方法：逐渐逼近的方法；计算方法：逐渐逼近的方法；适用范围：连续梁和无侧移刚架。适用范围：连续梁和无侧移刚架。表示杆端对转动的抵抗能力。表示杆端对转动的抵抗能力。在数值上在数值上 = = 仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。1SAB=4i1SAB=3iSAB=i1SAB=0SAB与杆

12、的与杆的i（材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及远端支承有关，（材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及远端支承有关，而与近端支承无关。而与近端支承无关。一、转动刚度一、转动刚度S ：第16页/共36页第十六页，共37页。分配系数SAB = 4i1SAB= 3i11SAB= i二、分配系数二、分配系数(xsh) (xsh) 设设A A点有力矩点有力矩M M，求，求MABMAB、MACMAC和和MADMADCABDiABiACiADAM如用位移如用位移(wiy)法求解：法求解：MMABMACMAD于是于是(ysh)可得可得第17页/共36页第十七页，共37页。三、传递三、传递(chund)(

13、chund)系数系数MAB = 4 iAB AMBA = 2 iAB AMAB = 3iABAMAB= iABAMBA = - iAB A 在结点上的外力矩按各杆分配系数分配给各杆近端截面，各杆远端弯矩分在结点上的外力矩按各杆分配系数分配给各杆近端截面，各杆远端弯矩分别等于别等于(dngy)(dngy)各杆近端弯矩乘以传递系数。各杆近端弯矩乘以传递系数。AlAB近端远端ABAAAB第18页/共36页第十八页，共37页。四、杆端弯矩四、杆端弯矩:支座支座(zh zu)对靠近支座对靠近支座(zh zu)的杆件这一端的弯矩的杆件这一端的弯矩1.计算(j sun)杆端弯矩的目的2.近端弯矩和远端弯矩3

14、.杆端弯矩一律(yl)以顺时针方向为正第19页/共36页第十九页，共37页。固端弯矩：对单跨超静定梁仅由荷载(hzi)引起的杆端弯矩，称为固端弯矩，用 表示。MM五、固端弯矩五、固端弯矩 将每相邻两节点(ji din)之间的杆件视为一根两端支座为固定支座的单跨梁，这样的梁在各种外荷载作用下的杆端弯矩叫做固端弯矩。第20页/共36页第二十页，共37页。基本基本(jbn)运算运算ABCABCMBMBABC-MB0-MB+=最后最后(zuhu)杆端弯矩：杆端弯矩：MBA =MBC =MAB=然后各跨分别然后各跨分别(fnbi)叠加简支梁的弯矩图，即得最后弯叠加简支梁的弯矩图，即得最后弯矩图。矩图。固

15、端弯矩带本身符号单结点的弯矩分配BAMBCMBAM第21页/共36页第二十一页，共37页。例1. 用弯矩分配(fnpi)法作图示连续梁的弯矩图。3m3m6mEIEI200kN20kN/m（1 1）B B点加约束点加约束(yush)(yush)ABC200kN20kN/mMAB=MBA=MBC=MB=MBA+ MBC=-150150-90（2 2）放松）放松(fn sn)(fn sn)结点结点B B，即加，即加-60-60进行分配进行分配60ABC-60设设i =EI/l计算转动刚度：计算转动刚度：SBA=4iSBC=3i分配系数分配系数：0.5710.429分配力矩分配力矩:-34.3-25.

16、7-17.20+(3) (3) 最后结果。合并前面两个过程最后结果。合并前面两个过程ABC0.5710.429-150150-90-34.3-25.7-17.20-167.2115.7-115.70167.2115.730090M图(kNm)ABC=第22页/共36页第二十二页，共37页。多结点(ji din)的弯矩分配ABCDBCMBAMBCMCBMCDMABMBMCmBAmBCmCB-MB放松放松(fn sn)，平衡了，平衡了MC固定固定(gdng)放松，平衡了放松，平衡了-MC固定固定固定固定放松，平衡了放松，平衡了渐近运算渐近运算第23页/共36页第二十三页，共37页。CB例例1.1.

17、用弯矩分配法列表计算用弯矩分配法列表计算(j sun)(j sun)图示连续梁。图示连续梁。ABCD6m6m4m4mEI=1EI=2EI=120kN/m100kN0.4 0.60.6670.333m-6060-100100分配(fnpi)与传递-33.3-66.7-33.429.4442214.7-14.7-7.3-7.34.42.92.2-1.5-0.7-0.70.30.41.50.2-43.692.6-92.641.3-41.3Mij043.692.6133.141.3ABCD21.9M图（kNm）第24页/共36页第二十四页，共37页。ABCD6m6m4m4mEI=1EI=2EI=120

18、kN/m100kN43.6133.141.321.9M图（kNm）92.6ABCDABCD51.868.256.443.66.9Q图（kN）求支座求支座(zh zu)反力反力68.256.4B124.6第25页/共36页第二十五页，共37页。上题若列位移法方程式，用逐次上题若列位移法方程式，用逐次(zh c)渐近解法：渐近解法：(1)将上式改写将上式改写(gixi)成成(2)余数余数(ysh)(3)BC第一次近似值24-66.67-8202.4-6.672-0.80.24-0.670.2-0.08结 果B=48.84C=-82.89精确值48.88-82.06 MBC= 4iBCB+2 iBC

19、C-100 =第26页/共36页第二十六页，共37页。 1 1）单结点弯矩分配法得到精确解；多结点弯矩分配法得到渐近解。）单结点弯矩分配法得到精确解；多结点弯矩分配法得到渐近解。 2 2）首先从结点不平衡）首先从结点不平衡(pnghng)(pnghng)力矩绝对值较大的结点开始。力矩绝对值较大的结点开始。 3 3）结点不平衡）结点不平衡(pnghng)(pnghng)力矩要变号分配。力矩要变号分配。 4 4）结点不平衡）结点不平衡(pnghng)(pnghng)力矩的计算：力矩的计算：结点结点(ji (ji din)din)不平不平衡力矩衡力矩（第一（第一(dy)轮第一轮第一(dy)结点）结点

20、）固端弯矩之和固端弯矩之和（第一轮第二、三（第一轮第二、三结点）结点）固端弯矩之和固端弯矩之和 加传递弯矩加传递弯矩传递弯矩传递弯矩（其它轮次各结点）（其它轮次各结点）总等于附加刚臂上的约束力矩总等于附加刚臂上的约束力矩5 5）不能同时放松相邻结点（因定不出其转动刚度和传递系数），但可）不能同时放松相邻结点（因定不出其转动刚度和传递系数），但可 以同时放松所有不相邻的结点，以加快收敛速度。以同时放松所有不相邻的结点，以加快收敛速度。弯矩分配法小结：弯矩分配法小结：第27页/共36页第二十七页，共37页。0.222111ABCDFEBCmBA= 40kNm mBC= - 41.7kNm mCB=

21、 41.7kNm0.30.40.30.4450.33340-41.7-41.7-18.5-9.3-13.9-9.33.33.34.42.2-1.0-0.5-0.7-0.50.150.150.2-4.651.65-0.250.0743.453.45-46.924.4-9.8-14.61.72-4.9043.546.924.514.73.451.79.84.89M图)(mkN 例例2.2.4m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE第28页/共36页第二十八页，共37页。ABC1m5m1mEI=常数D50kN5/61/65025-20.8-4.2-20.8 +20.8+50例例3. 3. 带悬

22、臂杆件的结构带悬臂杆件的结构(jigu)(jigu)的弯矩分配法。的弯矩分配法。50kNmABMM/2ABC1m5m1mEI=常数D50kN第29页/共36页第二十九页，共37页。4EI4EI2EI2EI用弯矩分配用弯矩分配(fnpi)(fnpi)法计算，作法计算，作M M图。图。取取EI=5i=4i=4i=2.5i=2.510kN/m20kN5m5m1m4m20kN20结点结点杆端杆端AEBCFABEBBEBABCCBCFFCm0.2630.3160.4210.6150.38500031.2520.8320.8300(20)2.74 3.29 4.391.372.20MB=31.2520.8

23、3=10.42MC=20.83202.2=1.370.84 0.530.270.420.10 0.14 0.180.050.09 ABCEF第30页/共36页第三十页，共37页。2.85结点结点杆端杆端AEBCFABEBBEBABCCBCFFCm0.2630.3160.4210.6150.38500031.2520.8320.8300(-20)2.74 3.29 4.391.372.200.84 0.530.270.420.10 0.14 0.180.050.090.06 0.030.020.030.01 0.01 0.01M01.4227.8024.9619.940.560.29k计算之前计

24、算之前, ,去掉静定伸臂去掉静定伸臂, ,将其上荷载向结点作等效将其上荷载向结点作等效(dn xio)(dn xio)平移。平移。k有结点集中力偶时有结点集中力偶时, ,结点不平衡力矩结点不平衡力矩= =固端弯矩之和结点集中固端弯矩之和结点集中k 力偶力偶( (顺时针为正顺时针为正) )第31页/共36页第三十一页，共37页。20kN/m3m3m3m2iiiiii4i2iSAG=4i20kN/m1.5miiACEGHSAC=4iSCA=4iSCH=2iSCE=4iAG=0.5AC=0.5CA=0.4CH=0.2CE=0.4结点杆端ACEAGACCACHCECHm0.50.50.40.20.415对称对称(duchn)(duchn)结构的计算结构的计算第32页/共36页第三十二页，共37页。0.50.50.40.20.4157.5 7.53.751.50 0.75 1.50 0.75 0.750.37 0.380.190.08 0.03 0.08 0.04 0.040.02 0.02结点杆端ACEAGACCACHCECHmM7.117.112.360.781.580.7920kN/m7.110.791.582.630