导数及其应用

1、第一节变化率与导数、导数的计算考纲要求： 1.了解导数概念的实际背景2 理解导数的几何意义3 能根据导数定义求函数y c(c 为常数 )， y x，y x2， y x3， y1的导数x4能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数 (仅限于形如y f(ax b)的复合函数 )的导数1 导数的概念(1) 函数 y f( x)在 x x0 处的导数设函数 y f(x)，当自变量x 从 x0 变到 x1 时，函数值从f(x0)变到 f(x1) ，函数值 y 关于 x 的平均变化率为yf x f x2 f x x fx.100xx1x0x当 x1 趋于 x0，即x

2、 趋于 0 时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数 y f(x)在 x0点的瞬时变化率在数学中，称瞬时变化率为函数yf(x)在 x0点的导数通常用符号 f (x0 )表示，记作 f (x0) lixmf x1 f x0 li mf x0 x f x0. x10x 0x10x x(2) 导数的几何意义函数 yf(x)在 x0 处的导数 ，是曲线 y f(x) 在点 (x0，f(x0)处的切线的斜率函数yf(x)在 x0 处切线的斜率反映了导数的几何意义精选文库(3) 函数的导函数一般地 ，如果一个函数f(x)在区间 (a，b)上的每一点x 处都有导数 ，导数值记为f (x) ：f

3、 (x) li mf x x f x，则 f (x)是关于 x 的函数 ，称 f (x)为 f(x)的导函数 ，通常也简称为导xx0数2 导数公式及运算法则(1) 导数公式表原函数导函数f(x) c(c 为常数 )f (x)0nf (x)nxn 1f(x) x (n Q)f(x) sin xf (x)cos_xf(x) cos xf( x) sin_xf( x) axf (x) axln_ af(x) exf (x)exa1f(x) logxf( x) xln a1f(x)lnxf (x) x(2) 导数的运算法则 f(x) ±g(x) f (x) ±g (x)； f(x)

4、 ·g(x) f (x) g(x) f(x)g (x)；f xf x g x f x g x g x g x 2(g(x) 0)(3) 复合函数的导数复合函数 y f(g(x)的导数和函数 y f(u)，u g(x)的导数间的关系为 yxux ，即 y ·uy 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积 自我查验 1判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“×” )(1) f (x0) 与 f(x0) 表示的意义相同 ()(2) f (x ) 是导函数 f (x)在 x x 处的函数值 ()00(3) 曲线的切线不一定与曲线只有一个公共

5、点() cos )(4) sin 33.(-2精选文库11(5)若 (ln x) x，则 x ln x ()(6)函数 f(x) sin ( x)的导数为 f (x) cos x ()(7) y cos 3x 由函数 ycos u， u 3x 复合而成 ()答案： (1)× (2) (3) (4) ×(5) × (6) ×(7)2 曲线 y sin x ex 在点 (0,1)处的切线方程是 ()A x3y 3 0B x 2y 20C 2xy 1 0D 3x y 10解析： 选 C ysin xex， y cos x ex， y x 0cos 0 e0 2

6、，曲线 y sin x ex 在点(0,1)处的切线方程为y1 2(x 0)，即 2x y 1 0.故选 C.3 求下列函数的导数：x31.(1) y xnex；(2) ysin x答案： (1)y ex(nxn1 xn)(2) y3x2sin x x3 1 cos x.sin2x 典题 1求下列函数的导数：(1) y (1 x) 11；xln x(2) y x ；(3) y tan x；(4) y 3xex 2x e；ln2x 3(5) y x2 1 . 听前试做 (1) y (1 x)1 1 1 x x 1 x1，xx2 2111311. y (x) (x ) x x2222221

7、3;x ln xln xln x x x ln x x1ln x(2) y x x2x2x2.-3精选文库sin x(3) y cos x sin x cos x sin x cos x cos2xcos xcos x sin x sin x1cos2xcos2x.(4) y (3x xx) e (3xxx xxxxx xxe ) (2) e 3 (e ) (2) 3 (ln 3)·e 3 e 2 ln 2 (ln3 1) ·(3e)x 2xln 2.ln 2x 3 x2 1 ln 2x 3 x2 1 (5) y x2 1 22x 3 2xln 2x 32x3·x

8、2 1x2 122 x21 2x 2x 3 ln 2x3.2x 3 x2 1 2导数的运算方法(1) 连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导(2) 分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导(3) 对数形式：先化为和、差的形式，再求导(4) 根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导(5) 三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导(6) 复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导 典题 2(1)(2015 ·天津高考 ) 已知函数f(x) axln x， x (0， )，其中 a 为实数 ， f (x)为 f(x)的导函数若 f (1) 3

9、，则 a 的值为 _(2) 已知 f(x) 12x2 2xf (2 016) 2 016ln x，则 f (2 016)_. 听前试做 1 ln x)由于 f (1) a(1 ln 1) a，又 f (1)(1) f (x) a ln x x· a(1x 3，所以 a 3.(2) 由题意得 f (x) x 2f (2 016) 2 016， x-4精选文库所以 f (2 016) 2 016 2f (2 016) 22 016016，即 f(2 016) (2 0161) 2 017.答案： (1)3(2) 2 017在求导过程中，要仔细分析函数解析式的特点，紧扣法则，记准公式，预防

10、运算错误1 若函数 f(x) ax4 bx2 c 满足 f (1) 2，则 f ( 1)等于 ()A 1B 2C2D 0解析： 选 B f(x) ax4 bx2 c， f (x) 4ax3 2bx.又 f (1) 2， 4a 2b2， f (1) 4a 2b 2.2 在等比数列 a 中， a 2，a 4，函数 f(x) x(x a ) ·(x a) · ·(xa )，则 f (0)n18128的值为 _解析： 因为 f (x) x ·(x a128128)( x a ) · ·(x a ) (x a )( x a ) · &

11、#183;(x a ) ·x (x a1) ·(x a2) ··(x a8) (x a1)(x a2) · ·(x a8) ·x，所以f (0) (0 a1)(0 a2) · ·(0) 0 a a · ·a .因为数列 a 为等比数列，所以a aa aa a a a 8，所以 f (0) a81 28n2 73 64 51 8 84 212.答案： 212-5精选文库导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题、填空题 ，也常出现在解答题的第 (1)问中 ，难度偏小 ，属中低

12、档题 ，且主要有以下几个命题角度：角度一：求切线方程 典题 3 (1)(2016 ·宜春模拟 )曲线 yex ln x 在点 (1， e)处的切线方程为 ()A (1 e)x y1 0B (1 e)x y 10C (e 1)x y 1 0D (e1)x y 101x 2y 1 0垂直 ，则实(2)(2016 铜·川模拟 )设曲线 y ex ax 在点 (0,1) 处的切线与直线2数 a()A 3B1C2D0(3) 已知函数f(x) x34x2 5x 4.求曲线f(x)在点 (2， f(2) 处的切线方程；求经过点A(2， 2)的曲线 f(x) 的切线方程 听前试做 (1)

13、由于 y e1，所以 y x 1 e 1，故曲线 y ex ln x 在点 (1， e)处x的切线方程为y e (e 1)(x 1)，即 (e 1)x y1 0.(2) 与直线 x 2y 1 0 垂直的直线斜率为 2， f (0) e012a 2，解得 a 2.(3) f (x) 3x2 8x5， f (2) 1，又 f(2) 2，曲线 f(x) 在点 (2， f(2) 处的切线方程为y ( 2) x2，即 x y 40.设切点坐标为(x0320 4)， x0 4x0 5x2 f (x0) 3x0 8x0 5，切线方程为y ( 2) (3x02 8x0 5)(x 2)，32又切线过点 (x0，

14、 x0 4x0 5x0 4)，322 4x 5x 2 (3x 8x 5)(x 2)， x000000整理得 (x0 2)2(x0 1) 0，-6精选文库解得 x0 2 或 x0 1，经过 A(2， 2)的曲线 f(x)的切线方程为x y4 0 或 y 2 0.答案： (1)C(2)C角度二：求切点坐标 典题 4 (2015 ·陕西高考 )设曲线 yex 在点 (0,1) 处的切线与曲线1y x(x 0)上点 P 处的切线垂直 ，则 P 的坐标为 _ 听前试做 y ex，曲线 yex 在点 (0,1)处的切线的斜率k10 1，设 P(m，n)， y e1111x(x 0)的导数为 y

15、x2( x 0)，曲线 y x(x 0)在点 P 处的切线斜率k2 m2(m 0)，因为两切线垂直，所以k1k2 1，所以 m 1， n 1，则点 P 的坐标为 (1,1) 答案： (1,1)角度三：求参数的值 典题 5(1) 若曲线 f( x) acos x 与曲线 g(x) x2 bx 1 在交点 (0，m)处有公切线 ，则 a b ()A 1B 0C 1D 2(2)(2015新·课标全国卷)已知函数f(x) ax3 x 1 的图像在点 (1， f(1) 处的切线过点(2,7)，则 a _.(3)(2015新·课标全国卷 )已知曲线 y x ln x 在点 (1,1)处

16、的切线与曲线 yax2 (a 2)x 1 相切，则 a _. 听前试做 (1) 两曲线的交点为(0， m)，m a，即 a 1，m1， f(x) cos x， f (x) sin x，则 f(0) 0， f(0) 1.又 g (x) 2x b， g (0) b， b 0， a b 1.(2) f (x) 3ax2 1， f (1) 3a 1.又 f(1) a 2，切线方程为 y (a 2) (3a 1)(x 1)-7精选文库切线过点 (2,7) ， 7 (a2) 3a 1，解得 a 1.1(3) 法一： y x ln x， y 1 x， y x 1 2.曲线 y x ln x 在点 (1,1)

17、处的切线方程为y 1 2(x 1)，即 y 2x 1. y 2x 1 与曲线 y ax2 (a 2)x 1 相切， a 0(当 a0 时曲线变为 y 2x1 与已知直线平行 )y 2x1，消去 y，得 ax2 ax 2 0.由y ax2 a 2 x1，由 a2 8a 0，解得 a8.法二： 同法一得切线方程为y2x 1.2 (a 2)x 1 相切于点2(a2)x0 1) y 2ax设 y 2x 1 与曲线 y ax(x0， ax0(a 2)， y x x0 2ax0 (a2)2ax0 a 2 2，01，2由 2x解得ax0 a 2 x0 1 2x0 1，a8.答案 ： (1)C(2)1(3)8

18、(1) 注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0) 处的切线方程是y f(x0) f (x0)(x x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解(如角度一 )(2) 已知斜率 k，求切点 A(x0， f(x0)，即解方程 f (x0) k.( 如角度二 )(3) 根据导数的几何意义求参数的值时， 一般是利用切点 P(x0，y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解当切线方程中x(或 y)的系数含有字母参数时，则切线恒过定点(如角度三 ) 课堂归纳 感悟提升 方法技巧 -8精选文库1f (x0) 代表函数f(x)在 x x0 处

19、的导数值； (f(x0) 是函数值f(x0)的导数，而函数值f( x0)是一个常数，其导数一定为0，即 (f(x0) 0.2对于函数求导， 一般要遵循先化简再求导的基本原则求导时， 不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误3 奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数 易错防范 1曲线 y f(x)“ 在点 P(x0，y0)处的切线 ” 与 “过点 P(x0，y0)的切线 ” 的区别：前者 P(x0，y0)为切点，而后者P( x0， y0)不一定为切点2 利用公式求导时要特别注意除

20、法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆3直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点4 曲线未必在其切线的同侧，如曲线y x3 在其过 (0,0)点的切线y 0 的两侧 全盘巩固 一、选择题1 曲线 y ex 在点 A(0,1)处的切线斜率为 ()1A 1 B 2 C e D. e解析：选A由题意知 y ex，故所求切线斜率kexx 0 e0 1.1 ()2 (2016 抚·州模拟 )已知函数f(x) xcos x，则 f()f 2313D1A 2 B 2 C解析：选C f (

21、x)111 23x2cos x ( sin x)， f( )f2·( 1) .x 3设曲线 y1 cos x在点x ay1 0 平行 ，则实数 a 等于 ()， 1 处的切线与直线sin x21A 1B.2C 2D2 1cos x1解析： 选 A y sin2x， yx2 1，由条件知 a 1， a 1.14 (2016 西·安模拟 )设直线 y 2x b 是曲线 y lnx(x>0) 的一条切线 ，则实数 b 的值为()-9精选文库A ln 2 1B ln 2 2C 2ln 2 1D 2ln 2 2解析：选A设切点坐标为 (x001 1，即 x0，又，ln x)，则

22、 x02 2，切点坐标为 (2， ln 2)1切点在直线y 2x b 上， ln 2 1 b，即 b ln 2 1.5 (2016 上·饶模拟 )若点 P 是曲线 y x2ln x 上任意一点 ，则点 P 到直线 y x 2 的最小值为 ()2A1 B. 2C. 2D. 3解析：选B因为定义域为 (0 ， )，所以 y 2x 1 1，解得 x1，则在P(1,1) 处x的切线方程为x y 0，所以两平行线间的距离为d 2 2.2二、填空题6 已知函数 f( x) xln x，若 f (x ) 2，则 x _.00解析： f (x) ln x 1，由 f (x0) 2，即 ln x0 1

23、 2，解得 x0e.答案： e7 若直线 l 与幂函数 yxn 的图像相切于点A(2,8)，则直线 l 的方程为 _解析：由题意知， A(2,8) 在 y xn 上， 2n 8， n 3， y 3x2，直线 l 的斜率 k 3× 22 12，又直线 l 过点 (2,8) y 812(x 2)，即直线 l 的方程为 12x y 16 0. 答案： 12x y 16 08 (2016 ·洛模拟商 )在平面直角坐标系 xOy 中，点 M 在曲线 C：y x3 x 上，且在第二象限内 ，已知曲线 C 在点 M 处的切线的斜率为 2，则点 M 的坐标为 _解析： y 3x2 1，曲线

24、 C 在点 M 处的切线的斜率为2， 3x2 12，x ±1，又点 M 在第二象限， x 1， y ( 1)3 ( 1) 0， M 点的坐标为 ( 1,0)答案： ( 1,0)三、解答题9 已知函数 f( x) x3 x16.(1) 求曲线 y f(x)在点 (2， 6)处的切线的方程；(2) 直线 l 为曲线 y f(x) 的切线 ，且经过原点 ，求直线 l 的方程及切点坐标解： (1)可判定点 (2， 6)在曲线 y f(x)上 f (x) (x3 x 16) 3x2 1，-10精选文库 f(x)在点 (2， 6)处的切线的斜率为k f(2) 13.切线的方程为y 6 13(x

25、2)，即 y 13x32.(2) 设切点坐标为 (x0， y0)，则直线 l 的斜率为23f (x0) 3x0 1， y0 x0 x0 16，直线 l 的方程为23y (3x0 1)(x x0) x0 x0 16.又直线 l 过原点 (0,0)，233 0 (3x0 1)( x0)x0 x016，整理得， x0 8， x0 2， y0( 2)3 (2) 16 26，得切点坐标 ( 2， 26)， k 3× ( 2) 21 13.直线 l 的方程为y 13x，切点坐标为( 2， 26)10 设函数 y x2 2x2 的图像为C1，函数 y x2 ax b 的图像为C2，已知过 C1 与

26、C2 的一个交点的两切线互相垂直，求 a b 的值解： 对于 C1： y x2 2x2，有 y 2x 2，对于 C2： y x2 ax b，有 y 2x a，设 C1 与 C2 的一个交点为 (x0，y0)，由题意知过交点 (x0， y0)的两条切线互相垂直 (2x02) ·( 2x0 a) 1，即 4x2 2(a 2)x 2a 1 0，00又点 (x0 ，y0)在 C1 与 C2 上，22，故有y0 x02x02y0 x0 ax0 b，? 2x02 (a 2)x0 2 b0.5.由消去 x0，可得 ab2 冲击名校 1下面四个图像中 ，有一个是函数1322f(x)x ax (a 1

27、)x 1(aR )的导函数 y f (x)3的图像 ，则 f( 1) ()-11精选文库A. 1B 2C.7 D 1或 533333解析：选 D f (x) x2 2ax a2 1， f (x)的图像开口向上， 则排除 若 f (x)的图像为，此时a 0， f( 1) 5；若 f (x)的图像为，此时a2 1 0，又对称轴 x a31 0， a 1， f( 1) .32 已知曲线 C：f(x) x3 ax a，若过曲线 C 外一点A(1,0)引曲线 C 的两条切线 ，它们的倾斜角互补 ，则 a 的值为 ()2727A. 8B 2 C2 D 8解析：选 A设切点坐标为 (t，t 3 at a)由

28、题意知， f (x) 3x2 a，切线的斜率 k y x t 3t2 a ，所以切线方程为y( t3 at a) (3t2 a)( xt).将点 A(1,0)代入式得(t3 at a) (3t2 a)(1 t)，解得 t0 或 t3.分别将 t 0和 t3代入式，得 k a 和 k22 27a，由题意得它们互为相反数，故a2748 .3函数 f(x)ex x2 x1 与 g(x)的图像关于直线 2x y 3 0 对称 ，P，Q 分别是函数f(x) ， g( x)图像上的动点 ，则 |PQ|的最小值为 ()525A. 5B.5C.5D 25解析：选D因为 f(x)与 g(x)的图像关于直线2xy

29、 3 0 对称，所以当 f(x)与 g(x)在 P，Q 处的切线与 2x y3 0 平行时， |PQ|的长度最小 f (x) ex 2x 1，令 ex 2x 1 2，得 x0，此时 P(0,2)，且 P 到 2x y3 0 的距离为5，所以 |PQ |min 25.4 若曲线 f(x) ax3 ln x 存在垂直于y 轴的切线 ，则实数 a 的取值范围是 _-12精选文库解析： 由题意，可知f (x) 3ax2 1x，又存在垂直于y 轴的切线，所以3ax2 1x 0，即1a 3x3(x>0) ，故 a ( ，0)答案： ( ， 0)5 已知函数f( x) 13x3 2x23x(xR )的

30、图像为曲线C.(1) 求过曲线 C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2) 若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围解： (1)由题意得 f (x) x2 4x3，则 f( x) (x 2)2 1 1，即过曲线 C 上任意一点切线斜率的取值范围是 1， )(2) 设曲线 C 的其中一条切线的斜率为k，k 1，则由 (2)中条件并结合 (1)中结论可知，1 1，k解得 1 k 0 或 k1，故由 1 x2 4x 3 0 或 x2 4x3 1，得 x ( ，2 2 (1,3) 2 2， )第二节导数与函数的单调性、极值、最值考纲要求： 1.了解函数的单调

31、性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)2了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)1 函数的单调性与导数-13精选文库2 函数的极值与导数(1) 极大值：在包含 x0 的一个区间 (a，b)内，函数 y f(x)在任何一点的函数值都小于x0 点的函数值 ，称点 x0 为函数 y f(x)的极大值点 ，其函数值 f(x0)为函数的极大值(2) 极小值：在包含 x0 的一个区间 (a，b)内，函数 y f(x)在任

32、何一点的函数值都大于x0 点的函数值 ，称点 x0 为函数 y f(x)的极小值点 ，其函数值 f(x0)为函数的极小值(3) 极值：极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点3 函数的最值与导数(1) 函数 f(x)在 a， b 上有最值的条件：一般地 ，如果在区间 a，b 上，函数 y f(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值(2) 求函数 y f(x)在 a， b 上的最大值与最小值的步骤为求函数 y f(x)在 (a， b)内的极值；将函数y f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)， f(b)比较 ，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 自我查

33、验 1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“×”)-14精选文库(1) f (x)>0 是 f(x)为增函数的充要条件()(2) 函数的导数越小 ，函数的变化越慢 ，函数的图像就越“平缓” ()(3) 函数的极大值不一定比极小值大()(4)对可导函数 f(x)， f (x ) 0是 x点为极值点的充要条件 ()00(5)函数的极大值一定是函数的最大值()(6)开区间上的单调连续函数无最值()答案： (1)×(2) ×(3)(4) ×(5) ×(6) 2 函数 f(x) ex x 的减区间为 _答案： ( ， 0)3 已知 f(x)

34、x3ax 在 1， )上是增函数 ，则 a 的最大值是 _答案： 34 函数 f(x) 13x3 4x 4 的极大值为 _答案： 2835 函数 y 2x3 2x2 在区间 1,2 上的最大值是_解析： y 6x2 4x，令 y 0，得 x 0 或 x2.3 f( 1) 4， f(0) 0， f 2 8 ， f(2) 8.327最大值为8.答案： 8典题 11 3a 2， f(0)y设函数f(x)3x2x bx c，曲线 y f( x)在点 (0处的切线方程为1.(1) 求 b，c 的值；(2) 求函数 f(x)的单调区间；(3) 设函数 g(x) f(x) 2x，且 g(x)在区间 ( 2，

35、 1)内为单调递减函数，求实数 a 的取值范围 听前试做 (1) f (x) x2 axb，-15精选文库f 0 1，c 1，由题意得即f 0 0，b 0.(2) 由 (1)得， f (x) x2 ax x(x a)当 a 0 时， f (x) x2 0 恒成立，即函数f(x)在 ( ， )内为单调增函数当 a>0 时，由 f (x)>0 得， x>a 或 x<0；由 f( x)<0 得 0<x<a.即函数 f(x) 的单调递增区间为( ， 0)， (a， ) ，单调递减区间为(0， a)当 a<0 时，由 f (x)>0 得， x>

36、0 或 x<a；由 f( x)<0 得， a<x<0.即函数 f(x) 的单调递增区间为( ， a)， (0， ) ，单调递减区间为(a,0)(3) g (x) f (x) 2 x2 ax 2，且 g(x)在 ( 2， 1)内为减函数， g (x) 0，即 x2ax 2 0 在( 2， 1)内恒成立，g 2 0，g 1 0，4 2a 2 0，即1 a2 0，解得 a 3，即实数 a 的取值范围为 ( ， 3 探究 1在本例 (3) 中，若 g(x)的单调减区间为( 2， 1)，如何求解？解： g(x)的单调减区间为(2， 1)， x1 2， x2 1 是 g (x) 0

37、 的两个根， ( 2) ( 1) a，即 a 3. 探究 2在本例 (3) 中，若 g(x)在区间 ( 2， 1)内存在单调递减区间，如何求解？解： g (x) x2 ax 2，依题意，存在x ( 2， 1)，使不等式g (x)x2ax 2<0 成立，2即 x ( 2， 1) 时， a< x x max 22，2当且仅当x 即 x2时等号成立所以满足要求的a 的取值范围是 ( ， 22) 探究 3在本例 (3) 中，若 g(x)在区间 ( 2， 1)内不单调 ，如何求解？解： g(x)在 ( 2， 1)内不单调， g (x) x2 ax 2，-16精选文库a2< <1，2 g ( 2) ·g ( 1)<0 或>0，g 2 >0