导数应用题答案

1、16. 如图，抛物线yx29 与 x 轴交于两点 A, B ，点C, D 在抛物线上（点 C 在第一象限）， CD AB 记| CD |2x ，梯形 ABCD 面积为 S （）求面积 S以 x 为自变量的函数式；（）若 |CD |k ， k 为常数，且 0k1，求 S 的最|AB|大值值（）解：依题意，点C 的横坐标为 x ，点 C 的纵坐标为 yCx291 分点 B 的横坐标 xB 满足方程 xB29 0，解得 xB3 ，舍去 xB3 2 分所以 S1 (| CD | | AB |) y1 (2x2 3)( x29)( x3)(x29)4分2C2由点 C 在第一象限，得0x3 所以 S 关于

2、 x 的函数式为S( x3)(x29) ， 0x35 分0x3,（）解：由x及 0k1 ，得 0x3k 6 分k,3记 f ( x)( x3)(x29), 0x3k ，则 f (x)3x26x93( x 1)( x 3) 8 分令 f (x)0 ，得 x1 9 分 若 13k ，即 1k 1时， f (x) 与 f ( x) 的变化情况如下：3x(0,1)1(1,3k)f (x)0精选文库f ( x)极大值所以，当 x1 时， f ( x) 取得最大值，且最大值为f (1)32 11 分 若 1 3k ，即 0 k1 时， f (x)0恒成立，3所以， f ( x) 的最大值为 f (3k)2

3、7(1 k)(1k 2 )13 分综上， 1k1 时， S 的最大值为 32 ； 0k1 时， S 的最大值为 27(1 k)(1 k 2 ) 3317.统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量为y（升），关于行驶速度 x （千米 / 小时）的函数解析式可以表示为：y1x3 3 x 8(0x 120).12800080已知甲、乙两地相距100 千米（ I ）当汽车以 40 千米 / 小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（ II ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？100解：（I ）当 x40 时，汽车从甲地到乙地行驶了402.5小时，(14

4、033408)2.517.5要耗油 12800080（升）答：当汽车以 40千米 / 小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5 升100（ II ）当速度为 x 千米 / 小时时，汽车从甲地到乙地行驶了x小时，设耗油量为 h( x) 升，h( x)(1x33x8).1001x280015(0x 120),依题意得12800080x1280x4-2精选文库h '(x)x800x3803 (0 x 120).640x2640x2令 h '(x) 0, 得 x80.当 x(0,80) 时， h '( x)0, h(x) 是减函数；当 x(80,120) 时， h 

5、9;( x)0, h( x) 是增函数当 x80 时， h( x) 取到极小值 h(80) 11.25.因为 h(x) 在 (0,120 上只有一个极值，所以它是最小值答：当汽车以80 千米 / 小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升19. 已知函数 f ( x)ex ，点 A(a,0) 为一定点，直线 x t(ta) 分别与函数 f (x) 的图象和 x 轴交于点 M , N ，记 AMN的面积为 S(t) 。（1）当 a0 时，求函数 S(t ) 的单调区间；（2）当 a2时，若 t 00,2 ，使得 S(t0 )e ，求实数 a 的取值范围。7. 解：（）因为S(

6、t )1 | ta | e ，其中 ta2当 a0 ，1S t)| t | e，其中t0(2当 t0 时，S t1teSt1(t 1)e，(),( )22所以 S (t)0，所以S(t) 在 (0,) 上递增，当 t0 时， S(t )1 te , S (t)1 (t 1)e ，22-3精选文库令 S (t)1 (t1)e0 ，解得 t1 ，所以 S(t ) 在 (,1) 上递增2令 S (t)1 (t1)e0 ，解得 t1，所以 S(t ) 在 (1,0)上递减2综上， S(t) 的单调递增区间为(0,), (, 1)（）因为S t1| ta | e ，其中( )ta2当a2，t0,2时，S

7、 t1(a t )e( )2因为t0 0,2，使得 S(t0 )e ，所以 S(t ) 在 0,2 上的最大值一定大于等于 eS (t )1 t(a1)e，令 S (t)0 ，得 ta 12当 a12 时，即 a3 时S (t )1 t(a1)e0对 t(0,2)成立， S(t ) 单调递增2所以当 t2 时， S(t ) 取得最大值 S(2)1 (a2)e22令 1(a2)e2e，解得 a22，2e所以 a3当 a12时，即 a3时S (t )1(a1)e0 对 t(0,a1) 成立， S(t)t2S (t )1(a1)e0 对 t(a1,2) 成立， S(t )t2单调递增单调递减所以当

8、ta1时， S(t ) 取得最大值 S(a1)1 ea 12S a1a 1e ，解得令e(1)2a ln 22所以 ln 22a 3综上所述， ln 22a-4精选文库20、已知函数fxax3bx23x 在 x1 处取得极值。（）求函数 f(x) 的解析式；（ ） 求 证 ： 对 于 区 间 1 ， 1 上 任 意 两 个 自 变 量 的 值 x1 , x2 ， 都 有f x1fx24 ；（）若过点 A（1，m）（ m 2）可作曲线 y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围 .（ I） fx3ax22bx3 ，依题意 f 1 f 1 0 ，3a2b30即3a2b3, 2分0解得 a=1 ，

9、b=0.f xx 33x 4分（ II ） f x x33x f x3x 23 3 x 1 x 1 ，当 1<x<1时， f(x)<0，故 f(x) 在区间 1， 1 上为减函数，fmax x f 12 , f minxf 126分对于区间 1， 1 上任意两个自变量的值x1 , x2 ，f x1 f x2fmax xf min x4 8 分（ III ） f(x)=3x2 3=3(x+1)(x 1) ，曲线方程为 y=x3 3x，点 A（ 1， m ）不在曲线上 .设切点为M（ x0， y0），则点 M 的坐标满足 y0 x033x0 .因 f ( x0 )3( x021)

10、 ，故切线的斜率为3( x021)x033x0m ，x01-5精选文库整理得 2x033x02m30.过点 A（ 1，m ）可作曲线的三条切线，关于 x0 方程 2x033x02m3 =0 有三个实根 .10 分设 g(x0)=2x3x 2m3，则26x0，030g (x0)=6x0由 g(x0)=0 ，得 x0=0 或 x0=1.g(x0) 在（， 0），（ 1， + ）上单调递增，在（0，1）上单调递减 .函数 g(x0)= 2x 33x 2m3 的极值点为x0=0，x0=1 分0012关于 x0 方程 2x033x02m3 =0 有三个实根的充要条件是g(0)0，解得 3<m<

11、; 2.g(1)0故所求的实数a 的取值范围是 3<m< 2.14 分13（ 18）已知函数 f (x)axa2 22a (a0) .x（）当 a1 时，求函数f (x) 在点 (2, f (2) 处的切线方程；（）求函数f ( x) 的单调区间；（）若 f ( x) 2ln x 在 1,) 上恒成立，求 a 的取值范围 .（ 1）当a1时， f (x)x1 ， f ( x)11 2 分xx2f (2)3,5 3 分2f (2)4所以，函数f ( x) 在点 (2, f (2)处的切线方程为y35( x 2)24即： 5 x4 y 4 0 4 分( ) 函数的定义域为： x | x

12、0 1 分f ' (x)aa 2 ax2(2a)(a 0) 2 分x2x2-6精选文库当 0a2 时， f'0 恒成立，所以，f ( x) 在 (,0) 和 (0,) 上单调递增(x)当 a2 时，令 f( x)0 ，即： ax22a0 ， x1a2 , x2a2'aa''x0或 0x x2 ,f ( x) 0, x x2或 x x1 ; f ( x) 0, x1所 以 ，f (x)单调递增区间为(,a 2 )和(a2 ,)，单调减区间为aa(aa2 ,0) 和 (0,a2 ) . 4 分a（）因为 f ( x)2lnx 在 1,) 上恒成立，有a222

13、a2ln x 0(a0)axx在 1,) 上恒成立。所以，令g( x)a22 2a2ln x ，axx则 g' ( x)a a 2 2 ax22x a 2 ( x 1)ax (a 2) .x2xx2x2令 g ' ( x)0, 则 x1,xa2 2 分12a若aa21 ，即 a 1时， g ' ( x)0 ，函数 g (x) 在 1,) 上单调递增，又 g (1)0所以， f ( x) 2ln x 在 1, ) 上恒成立； 3 分若aa21 ，即 a 1时，当 x(0,1),(aa2,) 时， g ' ( x)0, g (x) 单调递增；当 x(1,a 2) 时

14、， g ' ( x)0 ， g ( x) 单调递减a所以， g ( x) 在 1,) 上的最小值为 g (a2) ，a因为 g (1)0, 所以 g (a 20 不合题意 . 4 分)aa21,即 a1时，当 x(0,a2),(1,) 时， g ' ( x)0, g( x) 单调递增，aa当 x(a2'0, g( x) 单调递减，,1)时， g ( x)a所以， g ( x) 在 1,) 上的最小值为g (1)-7精选文库又因为 g (1) 0 ，所以 f (x) 2lnx 恒成立综上知， a 的取值范围是 1,) .14 已知函数 f (x)ln x x（）求函数yf

15、 ( x) 在点 (1,0) 处的切线方程；（）设实数 k 使得 f (x)kx 恒成立，求 k 的取值范围；（）设 g ( x)f (x)kx ( k R) ，求函数 g (x) 在区间 1 ,e 2 上的零点个数e（） f ( x)ln xxf(x)1ln x2 分x2f(1)13分曲线 yf ( x) 在点 (1,0) 处的切线方程为yx14分( ) 设 h( x)f ( x)ln x12ln x0)xx2 ( x0) ，则 h ( x)x3(x令 hx12ln x0 ，解得： xe2分x3当 x 在 (0,) 上变化时， h (x) ， h(x) 的变化情况如下表：x(0, e)e( e,)hx+0-h(x)12e由上表可知，当xe 时， h( x) 取得最大值14分2e由已知对任意的x0 ， kf ( x)h(x) 恒成立x所以， k 得取值范围是 ( 1 ,) 。5分2e-