导数应用八个专题汇总

1、1. 导数应用之函数单调性题组 1：1. 求函数f ( x)x33x29 x12 的单调区间 .2. 求函数f ( x )x23xln x 的单调区间 .3. 求函数f ( x )x23xln x 的单调区间 .14. 求函数f (x)的单调区间 .x ln x5. 求函数ln x的单调区间 .f ( x)ln x ln( x 1)1x题组 2：1. 讨论函数 f ( x)1x41ax3a2 x2a4 (a 0) 的单调区间 .432. 讨论函数f ( x)x33ax29 x12 的单调区间 .3. 求函数 f ( x)1 mx3(2m ) x24 x 1 (m 0) 的单调递增区间 .324

2、. 讨论函数f ( x)(a1) ln xax 21的单调性 .精品文库5. 讨论函数1af ( x) ln x ax1 的单调性 .x题组 3：1. 设函数f ( x)x3ax2x1.(1) 讨论函数 f (x) 的单调区间；(2) 设函数2，1f ( x) 在区间 () 内是减函数 , 求 a 的取值范围332.(1) 已知函数 f (x)ax 2xln x在区间 (1,3) 上单调递增 , 求实数 a 的取值范围 .(2) 已知函数 f (x)ax 2xln x在区间 (1,3) 上单调递减 , 求实数 a 的取值范围 .3. 已知函数 f ( x)(x33x2ax b)e x .(1)

3、若 ab3, 求f ( x)的单调区间；(2)若 f( x) 在 (,),(2,) 单调递增 , 在 ( ,2),( ,) 单调递减 ,证明 :6 .解：（1 ）当 a="b="-3 时， f（x） =(x+3x-3x-3)e，故=3分当 x<-3 或 0<x<3时，>0;当 -3<x<0或 x>3 时，<0,从而 f(x) 在（ -， -3 ），（ 0 ，3 ）上单调递增，在（-3 ， 0），（ 3， +）上单调递减 . 6 分(2) .7分. 8分欢迎下载2精品文库将 . . 分.10 分.11.由此可得a<-6,

4、于是>6 。 12 分4. 设函数f ( x)x3ax2a2 x1 , g ( x)ax22 x1 ,(1) 若 a 0 , 求函数 f ( x) 的单调区间；(2) 若 f ( x) 与 g( x) 在区间 (a, a 2) 内均为增函数 , 求 a 的取值范围2. 导数应用之极值与最值1. 设函数f ( x)x2ex 1ax 3bx 2 , 且 x2 和 x1 均为 f ( x) 的极值点(1) 求 a , b 的值 , 并讨论 f ( x) 的单调性；(2) 设 g (x)2x3x2 , 试比较 f ( x) 与 g ( x) 的大小3欢迎下载3精品文库2. 设函数 f ( x)

5、x2 ( x a) .(1) 若 f '(1)3, 求曲线 yf (x) 在点 (1, f (1)处的切线方程；(2) 求函数 y f ( x) 在区间 0,2 上的最大值 .3. 设函数 f ( x)ax 33x 2 (1)若 x 2 是函数 yf ( x) 的极值点 , 求 a 的值；(2)若函数 g( x)f (x)f (x) , x 0，2 , 在 x0处取得最大值 , 求 a 的取值范围4. 已知函数 f (x)1x3x22 .3(1) 设 Sn 是正项数列 an 的前 n 项和 , a13, 且点 (an , an212an 1) 在函数 yf '( x) 的图象上

6、 , 求证 : 点(n, Sn ) 也在 yf '( x) 的图象上；(2) 求函数 f (x) 在区间 (a 1,a) 内的极值 .5. 设函数 f ( x) ax 3 bx 23a2 x1在 x x1 , xx2处取得极值 , 且 xx 2 12(1)若 a1, 求 b 的值 , 及函数 f (x) 的单调区间；(2)若 a0 , 求实数 b 的取值范围欢迎下载4精品文库6. 设函数 f ( x)1ax3bx2(2 b) x 1 在 x1 处取得极大值 , 在 x2 处取得极小值 , 且 0 x1 1 x2 2 .3证明 : a 0 , 并求 a 2b的取值范围 .7. 已知 x1

7、 是函数 f ( x)1ax 33x2(a 1)x 5 的一个极值点 ,32(1) 求函数 f (x) 的解析式；(2) 若 yf (x) 的图像与直线y2xm 有三个不同的交点, 求实数 m 的取值范围 .8. 已知 x3 是函数 f (x)aln(1x)x210x 的一个极值点 .(1) 求 f (x) 的解析式及其单调区间；(2) 若直线 yb 与曲线 yf ( x) 有三个交点 , 求 b 的取值范围 .9. 设函数f ( x)x4ax32x2b( xR ) (1) 若函数f (x) 仅在 x0 处有极值 , 求 a 的取值范围；欢迎下载5精品文库(2) 若对于任意的a2，2 , 不等

8、式 f (x)1在11， 上恒成立 , 求 b 的取值范围10. 设 x3是函数 f ( x)(x2axb)e3 x 的一个极值点 .(1) 求 a 与 b 的关系式 ( 用 a 表示 b ), 并求函数 f ( x) 的单调区间；(2) 设 a 0,g ( x)(a225 x若存在0,4, 使f ( x1 ) g(x2 ) 1总成立,求 a 的取值范围.)e . x1, x24欢迎下载6精品文库11. 已知函数 f ( x)kx1 ( c 0 且 c1 ) 恰有一个极大值点和一个极小值点, 其中一个是 xc x2c(1) 求函数 f (x) 的另一个极值点；(2) 求函数f (x) 的极大值

9、 M 和极小值 m , 并求 Mm1时 k 的取值范围欢迎下载7精品文库12. 设函数f (x)ax3bx2cxd 的图像上有两个极值点P,Q , 其中 P 为坐标原点 ,(1) 当点 Q 的坐标为 (1,2) 时 , 求 f ( x) 的解析式；(2) 当点 Q 在线段 xy50 (1x3) 上时 , 求曲线的切线斜率的最大值.3. 导数应用之函数的零点题组 1：1.函数 f (x)3xx2 在区间 1,0 内有没有零点？为什么？2.函数f()2x3】 .xx 的零点所在的一个区间是【A. (2,1)B.(1,0)C.(0,1)D.(1,2)3.函数 f (x)的零点与 g (x)4x2x2

10、 的零点之差的绝对值不超过0.25, 则 f (x) 可以是【】 .A. f (x)ex1B.f (x) 4x 1C. f (x)( x1)2D.f (x)ln( x1)24.若 2a3 b4 , 且函数 f ( x)log a x xb 的零点 x0 (n, n 1)(nZ ) , 则 n【】 .A. 1B.2C.3D.4题组 2：5. 设函数 yf (x) 的图像在 a, b 上连续 , 若满足 _, 则方程 f (x)0在 a,b 上有实根 .欢迎下载8精品文库6. 已知 x0 是函数 f ( x) 2x11xA. f (x1)0 , f ( x2 )0C. f (x1)0 , f (

11、x2 )0的一个零点 . 若 x1(1,x0 ) , x2 (x0, ) , 则【】 .B.f (x1)0 , f ( x2 )0D.f (x1)0 , f ( x2 )07.函数 f (x)x1的零点个数为 _.x3 在区间 (0, 2) 内没有零点 .8.求证 : 函数 f ( x)x22x1题组 3：9.函数 f (x)x log 2 x 在区间 (0,1) 内是否有零点？为什么？10. 求证 : 函数 f (x)x42x1在区间 1,2 内至少有两个零点 .11. 求证: 函数12. 求证: 函数f (x)( x3)( x8)1 有且只有两个零点 .f (x)ln xx2x1 有且只有

12、两个零点 .13.设函数 f(xax 2bxc, 若 f (1)0 ,f (2)0, 则 f ( x) 在区间 (1,2)上的零点个数为【】.)A. 至多有一个B.有且只有一个C.有一个或两个D.一个也没有14.设 m (1,) , 求证 : 函数 f (x) xln( xm) 有且只有两个零点 .15. 判断函数f ( x)x2lg x 在区间 (0,10) 内的零点个数 , 并说明理由 .题组 4：16.设函数 fn ( x) xnx 1 ( n N * , n 2) .(1)证明 : fn ( x) 在区间 (1,1) 内存在唯一的零点；设 xn 是 fn ( x) 在 ( 12(2),

13、1) 内的零点 , 判断数列 x2 , x3 , , xn的增减性217. 设函数f ( x)x2(a2) xa ln x (2) 若函数有两个零点 , 求满足条件的最小正整数 a 的值；(3) 若方程 f ( x)c 有两个不等实根x1, x2, 求证 : f ( x1 x2 ) 0 2欢迎下载9精品文库18. 设函数 f ( x)2 ln x mx x2 有两个零点 x1, x2 , 求证 : f ( x1 x2 ) 0 .219. 设函数f ( x)ln xax 有两个零点x1 , x2 , 求证 : x1x2e2 .20. 记函数fn (x) 1xx2xn(n N ) , 求证 : 当

14、 n 为偶数时 , 方程 f n ( x)0 没有实数根；1!2!n!当 n 为奇数时 ,方程 fn (x)0有唯一实数根xn , 且 xn 2 xn .21.设函数 fn ( x)1xx2x3xn2222 ( x R, n N ) ,123n(1)证明 : 对每个 nN, 存在唯一的 xn 2,1 , 满足 fn ( xn )0 ；31(2)证明 : 对任意 pN, 由 (1) 中 xn 构成的数列 xn 满足 0xnxn p.n4. 导数应用之图像的切线题组 1：1. 求平行于直线9xy10 , 且与曲线 yx33x21相切的直线方程.2. 求垂直于直线x3y20, 且与曲线 yx33x2

15、1相切的直线方程.3. 求与直线 3xy20 夹角为 45 , 且与抛物线y2x2 相切的直线方程.4. 设函数f (x)sin x 图像上动点P 处切线的倾斜角为, 求的取值范围 .题组 2：5. 求函数f ( x)2x3 的图像 C 在点 P(1,2) 处的切线 l 方程 , 以及曲线 C 与切线 l 的所有交点坐标.欢迎下载10精品文库6. 求函数f ( x)2x3 的图像经过点P(1,2) 的切线方程 .7. 求函数f ( x)2x3 的图像经过点P(1,10) 的切线方程 .8. 求经过坐标原点 , 且与函数 f ( x)x9 的图像相切的直线方程 .x59. 设函数 f ( x)

16、axbf ( x) 在点 (2， f (2) 处的切线为 7x 4y 12 0 , 曲线 C : yx(1) 求函数 f ( x) 的解析式；(2) 求证 : 曲线 C 上任意一点处的切线与直线yx , 以及 y 轴所围成三角形的面积为定值.10.已知直线 2x y 3 ln 20 是函数 f (x) ln xm的图像 C 的一条切线 .x(1)求 f (x) 的解析式；(2) 若 P(s,t ) 是曲线 C 上的动点 , 求曲线 C 在点 P 处的切线纵截距的最小值.题组 3：11. 已知直线yx 是函数 f ( x)x33x 2ax1图像的一条切线, 求实数 a 的值 .12. 已知 a0

17、 , 且过点 P( a, b) 可作函数f ( x)x3x 图像的三条切线, 证明 :abf (a) .13. 设函数 f ( x)1 x31 ax 2bx c (a 0) 的图像 C 在点 P(0, f (0) 处的切线为 y 1 .32(1) 确定 b, c 的值；(2) 设曲线 C 在 A(x1, f ( x1 ), B( x2 , f (x2 ) 处的切线都过Q (0, 2) , 证明 : 若 x1x2 , 则 f '(x1)f '(x2 ) ；(3) 若过点 Q (0, 2) 可作曲线 C 的三条不同切线 , 求 a 的取值范围 .14.已知函数 f ( x)1x31

18、ax2bx 在区间 11)， , (13， 内各有一个极值点32(1)求 a24b 的最大值；欢迎下载11精品文库(2) 当 a24b8时 , 设曲线 C : yf ( x) 在点 A(1， f (1) 处的切线 l 穿过曲线 C ( 穿过是指 : 动点在点A 附近沿曲线 C 运动 , 当经过点 A 时, 从 l 的一侧进入另一侧), 求 f ( x) 的表达式15. 由坐标原点 O(0,0) 向曲线 y x33x 2x 引切线 , 切于不同于点 O 的点 P1 ( x1 , y1 ) , 再由 P1 引切线切于不同于 P1 的点 P2 ( x2 , y2 ) , 如此继续下去, 得到点 Pn

19、 ( xn , yn ) , 求 xn 1 与 xn 的关系 , 及 xn 的表达式 .巩固练习：1.求函数 f ( x)2x3 的图像经过点 P(1, 8)的切线方程 .2.求函数 f ( x)x3 的图像经过点P(3, 1 ) 的切线方程 .x2323.如图 , 从点 P1 (0, 0)作 x 轴的垂线交于曲线y ex 于点 Q1 (0, 1),曲线在 Q1 点处的切线与 x 轴交与点 P2；再从 P2 作 x 轴的垂线交曲线于点Q2 , 依次重复上述过程得到一系列的点 :P1, Q1, P2,Q2 , , Pn , Qn , 记点 Pk 的坐标为 Pk ( xk , 0)( k1,2,3

20、, n) .(1) 求 xk1 与 xk 之间的等量关系；(2)求PQ PQPQ. PQ.1 12 233n n5. 导数应用之存在与任意1. 已知函数 f (x) xa0) , 其中 a, bR b( xx(1)若曲线 f (x) 在点 P( 2, f (2) 处的切线方程为y3x1 , 求函数 f ( x) 的解析式；(2)若对于任意的 a 1 ,2 , 不等式 f (x)10 在 x 1 ,1 恒成立 , 求 b 的取值范围242. 已知函数 f ( x) (1 x)2 2ln(1 x) .(1) 求 f (x) 的单调区间；(2)若 f ( x)m 对 xe 11,e1恒成立 , 求

21、m 的取值范围；3. 设函数1.f ( x)x ln x1x a 对 x(1) 求 f (x) 的单调区间；(2)若 2 x(0,1) 恒成立 , 求 a 的取值范围 .欢迎下载12精品文库4. 已知函数2x2.f (x) ln ( x 1)x 1(1) 求 f (x) 的单调区间；(2)若 (1 1 )ne对 nN 都成立,求的最大值 .n5. 设函数f ( x)x(ex 1) ax2 .1(1) 若 a, 求 f ( x) 的单调区间；(2)若当 x0 时 , f (x)0, 求 a 的取值范围 .26. 设函数 f ( x) ex ax2 x .(1) 若 a0 , 求 f ( x) 的

22、最小值；(2)若当 x0 时 , f ( x)1恒成立 , 求 a 的取值范围 .7. 设函数f ( x)exax 的图象与 y 轴交于点 A , 曲线 yf ( x) 在点 A 处的切线斜率a为1 .(1) 求 f ( x) 的极值；(2)证明 : 当 x0 时 , x2ex ；(3)证明 : 对任意给定的正数c , 总存在 x0 , 使得当 xx0，, 恒有 x2cex .8. 设函数 f ( x)ax cos x ,(1) 讨论函数 f ( x) 在区间 0, 内的单调性；(2) 若 f ( x)1sin x 对 x0, 恒成立 , 求实数 a 的取值范围 .9. 设函数 f ( x)x

23、 cos xsin x, x 0, .2(1)求证 : f ( x)0 ；(2)sin xb 对 x(0, ) 恒成立 , 求 a 的最大值与 b 的最小值 .若 ax210. 已知函数 f ( x) ( a 1) ln x ax21,(1) 讨论函数 f (x) 的单调性；(2) 设 a1, 且对任意的x1 , x2(0,) , 都有 | f ( x1 )f ( x2 )4 | x1x2 | , 求 a 的取值范围 .欢迎下载13精品文库11. 已知 x3 是函数 f ( x)( x2 ax b) e3 x 的一个极值点 .(1) 求 a 与 b 的关系式 ( 用 a 表示 b ), 并求函

24、数 f ( x) 的单调区间；(2) 设 a0 , g( x) (a2 25)ex. 若存在 x1 , x20,4 , 使得 f ( x1 ) g(x2 )1成立 , 求 a 的取值范围 .412.已知函数 f ( x)ax31 x2 cos2xc 的图像过点 (1,37) , 且在 2,1 上递减 , 在 1,)上递增.26(1)求 f (x) 的解析式；(2)若对任意的 x1, x2m, m3 都有 f ( x1 )f (x2 )45 成立 , 求正实数 m 的取值范围 .213.设函数 f (x)1mx3( 2m) x24x1, g( x)mx 5 .32(1)当 m 0 时 , 求函数

25、 f ( x) 的递增区间；(2)是否存在负实数m , 使得对任意的 x1 , x21,2 , 都有 g ( x1 ) f ( x2 )1？若存在 , 求 m 的范围；若不存在 , 请说明理由 .6. 导数应用之极值点偏移1.(1) 设不同的两点A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 均在二次函数 f ( x)ax2bxc ( abc0 ) 的图像上 , 记直线 AB的斜率为 k , 求证 : kf '( x1 x2 ) ；2(2) 设不同的两点A(x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 均在“伪二次函数”g (x)ax2bxc ln x ( abc 0 ) 的图

26、像上 ,记直线 AB 的斜率为 k , 试问 : k g '( x1x2 ) 还成立吗？22. 设函数f ( x)ax2(12a) xln x ( aR ) (1) 当 a0 时 , 求函数 f ( x) 的单调递增区间；(2) 记函数 y f ( x) 的图像为曲线 C , 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 是曲线 C 上不同的两点 , M 为线段 AB 的中点 , 过点 M 作 x 轴的垂线交曲线C 于点 N 试问 : 曲线 C 在点 N 处的切线是否平行于直线AB？欢迎下载14精品文库3. 设函数f ( x)x2(a2) xa ln x (1) 求函数

27、f ( x) 的单调区间；(2) 若函数有两个零点 , 求满足条件的最小正整数 a 的值；(3) 若方程 f ( x)c 有两个不等实根x1, x2 , 求证 : f ( x1 x2 ) 0 24. 设函数 f ( x) 2 ln x mxx2 .(1)若曲线 yf ( x) 在点 (1, f (1) 处的切线方程为 y2xn , 求实数 m, n 的值；(2)若 m4 , 求证 : 当 ab 0 时 , 有 f ( a)f (b)2；a2b2(3)若函数 f ( x) 有两个零点 x1 , x2 ( x1 x2 ) ,且 x0 是 x1 , x2 的等差中项 , 求证 : f ' (

28、 x0 ) 0 .5. 设函数f ( x)ln xax 有两个零点x1 , x2 , 求证 : x1x2e2 .6. 设函数f ( x)exaxa 的两个零点为x1 , x2 , 求证 : x1 x2x1x2 .7. 设函数f ( x)exax , 其中 ae ,欢迎下载15精品文库(1)求证 : 函数 f (x) 有且仅有两个零点x1 , x2 , 且 0 x1 1x2 ；(2)对于 (1) 中的 x1 , x2 , 求证 : f '(x1 )f '(x2 ) 0 .8. 设函数 f ( x) exmx的图像在点 P(0, f (0) 处的切线方程为 2xy 1 0 , 求证

29、 : 对满足 ab c 的实数 a,b, c , 都有 f (b)f (a)f (c)f (b) 成立 .bacb7. 导数应用之不等式证明 (1)1. 证明 : 对任意的 nN111, 都有 ln(1)n2n3 .n2. 已知 m, nN , 且 1mn , 求证 : (1m)n(1n)m .3. 设函数 f ( x)1a ln( x 1),x)n（1(1) 当 n2 时 , 求函数 f ( x) 的极值；(2) 当 a1时 , 证明 : 对任意的 nN , 当 x2 时 , 都有 f ( x)x1.欢迎下载16精品文库4. 已知函数f (x)exa ln( x1)1在点 P(0, f (0

30、) 处的切线垂直于y 轴 ,(1) 求函数 f ( x) 的单调区间；(2)当 mn0 时 , 求证 : em n1ln( m1)ln( n1) .5. 设函数 f ( x)x, 且 f1 ( x) f ' ( x) ,fn 1( x) fn ' (x) ( n N ) .ex(1) 求 f1 ( x) , f2 (x) , f3 (x) , f n ( x) 的解析式；(2)求证 : 对任意的实数a, b , 以及任意的正整数n , 都有 f2n (a)f2 n 1(b)f (n) .6. 设函数 f ( x)mx x ln x 在 x1 处取得极值 , 数列 an 满足 e

31、 1a1 1 , an 1 f ( an ) (n N ) .(1) 求函数 f( x) 的单调区间；(2) 求证 : 对任意的(3) 求证 : 对任意的nN * , 都有 e 1an1 ；nN * , 都有 an 2an2an 1 .7. 记函数xx2xn(n N ) , 求证 : 当 n 为偶数时 , 方程 f n ( x)0 没有实数根；当 nfn ( x) 12!n!1!为奇数时 , 方程 fn (x)0 有唯一实数根xn , 且 xn 2 xn .欢迎下载17精品文库8. 设函数 fn ( x)1xx2x3xn2232n2 ( x R, n N ) ,12(1)证明 : 对每个 nN, 存在唯一的 xn2 ,1 , 满足 fn (xn )0 ；3(2)证明 : 对任意 pN,由(1)中 xn 构成的数列 xn 满足 0xnxn p1.n8. 导数应用之不等式证明(2)1x1. 设函数f ( x)ln x .(1) 若函数 f ( x) 在 1, ) 上为增函数 , 求正实数 a 的取值范围；(2) 当 a1时 , 求证 : 对大于 1的任意正整数1111n , 都有 ln n34.2n2. 设函数 f ( x) xln( xa) 的最小值为 0 , 其中 a>0 .(1)若对任意的 x0,+) , 有 f (x) kx2成立 , 求实数 k 的最小值