平行四边形的存在性问题

1、平行四边形的存在性问题专题攻略解平行四边形的存在性问题一般分三步：第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3 个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3 个交点如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况灵活运用向量和中心对称的性质，可以使得解题简便针对训练1如图，已知抛物线y x2 2x3 与 x 轴交于 A、 B 两点（点A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点C，顶点为 P若

2、以 A、 C、 P、M 为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标解析、 由 y x2 2x3 (x 3)(x 1) (x1)2 4，得 A（ 3， 0）， B（ 1， 0）， C（ 0，3）， P（ 1， 4）如图，过 PAC 的三个顶点，分别作对边的平行线，三条直线两两相交的三个交点就是要求的点M因为 AM 1/PC， AM 1 PC，那么沿 PC 方向平移点 A 可以得到点 M1因为点 P( 1，4) 先向下平移 1 个单位，再向右平移1 个单位可以与点C(0， 3)重合，所以点A(3， 0)先向下平移 1 个单位，再向右平移1 个单位就得到点 M1( 2， 1)因为 AM 2/CP，

3、AM 2 CP，那么沿 CP 方向平移点 A 可以得到点 M2因为点 C(0，3) 先向左平移1 个单位，再向上平移1 个单位可以与点 P( 1， 4)重合，所以点A( 3， 0)先向左平移 1 个单位，再向上平移1 个单位就得到点 M2( 4，1)因为 PM 3/AC， PM 3 AC，那么沿 AC 方向平移点 P 可以得到点 M3因为点 A( 3，0) 先向右平移 3 个单位，再向上平移3 个单位可以与点C(0， 3)重合，所以点P(1， 4)先向右平移 3 个单位，再向上平移3 个单位就得到点 M3(2，7) 2如图， 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线 y x2+2x 3 与 x

4、轴交于 A、B 两点，点 M 在这条抛物线上，点 P 在 y 轴上，如果以点P、 M、A、 B 为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标解析 由 y x2+2x3 (x 1)(x 3)，得 A( 1， 0)，B(3， 0)如图 1，当 AB 是平行四边形的对角线时， PM 与 AB 互相平分， 因此点 M 与点 P 关于 AB 的中点 （1，0）对称，所以点 M 的横坐标为 2当 x 2 时， y = x2+2 x 33此时点 M 的坐标为 (2， 3)1如图 2，图 3，当 AB 是平行四边形的边时，PM /AB ， PM AB 4所以点 M 的横坐标为4 或 4如图 2，当 x 4 时，

5、 y =x2+2x 35此时点M 的坐标为 (4， 5)如图 3，当 x 4 时， y =x2+2x 3 21此时点M 的坐标为 ( 4， 21)第2题图1第2题图2第2题图33将抛物线1y3 x23沿 x 轴翻折，得到抛物线2c ：c ，如图所示现将抛物线c1 向左平移 m 个单位长度， 平移后得到新抛物线的顶点为M，与 x 轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线 c2向右也平移 m 个单位长度， 平移后得到新抛物线的顶点为N，与 x 轴的交点从左到右依次为D、E在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由解析、 抛物

6、线 c1： y3 x23 与 x 轴的两个交点为 (1， 0)、 (1，0)，顶点为 (0, 3) 1m 个单位长度后，顶点M 的坐标为( m,3)，与 x轴的两个交点为A( 1 m,0) 、抛物线 c 向左平移B(1 m,0) ， AB 2抛物线 c2 在平移的过程中，与抛物线c1 关于原点对称所以四边形AMEN是平行四边形如果以点四边形 AMEN 是矩形，那么 AE MN 所以 OA OM 而 OM 2 m2 3，所以 (1 m)2 m2 3解得 m1（如图）第 3题图另解 探求矩形ANEM ，也可以用几何说理的方法：在等腰三角形ABM 中，因为AB 2， AB 边上的高为3 ，所以 AB

7、M 是等边三角形同理 DEN 是等边三角形当四边形ANEM 是矩形时， B、 D 两点重合因为起始位置时BD 2，所以平移的距离m 124已知平面直角坐标系 xOy（如图），一次函数 y3 x 3的图像与 y 轴交于点 A，点 M 在正比例函数 y3 x的42图像上，且 MO MA 二次函数 yx2 bx c 的图像经过点A、M（ 1）求线段 AM 的长；（ 2）求这个二次函数的解析式；（ 3）如果点 B 在 y 轴上，且位于点A 下方，点 C 在上述二次函数的图像上，点D 在一次函数 y3 x3 的图4像上，且四边形ABCD 是菱形，求点C 的坐标解析、（1）当 x 0 时， y3 x 33

8、，所以点 A 的坐标为 (0， 3)， OA 34如图 1，因为 MO MA，所以点 M 在 OA 的垂直平分线上， 点 M 的纵坐标为 3 2将 y3 代入 y3 x，得 x 1所以点 M 的坐标为 (1,3) 因此 AM13 2222c3,（ 2）因为抛物线y x2 bxc 经过 A(0， 3)、 M (1,3) ，所以b321c.2解得 b5 ， c3所以二次函数的解析式为y x25 x 3 22（ 3）如图 2，设四边形 ABCD 为菱形，过点 A 作 AE CD，垂足为 E在 Rt ADE 中，设 AE 4m， DE3m，那么 AD 5m 因此点 C 的坐标可以表示为 (4m，3 2

9、m)将点 C(4m， 3 2m)代入 y x25 x 3 ，得 3 2m 16m210m 3 2解得 m1 或者 m 0（舍去）因此点 C 的坐标为（2， 2）25如图 1，在 Rt ABC 中， C 90°， AC 6， BC 8，动点 P 从点 A 开始沿边AC 向点 C 以每秒 1 个单位长度的速度运动，动点Q 从点 C 开始沿边CB 向点 B 以每秒 2 个单位长度的速度运动，过点P 作 PD/BC，交AB 于点 D ，联结 PQ点 P、Q 分别从点 A、 C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为 t 秒（ t 0）（ 1）直接用含t 的代数式

10、分别表示：QB_， PD _；（ 2）是否存在 t 的值，使四边形 PDBQ 为菱形？若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点 Q 的速度（匀速运动） ，使四边形 PDBQ 在某一时刻为菱形，求点 Q 的速度；（ 3）如图 2，在整个运动过程中，求出线段PQ 的中点 M 所经过的路径长3解析 （1） QB 82t， PD 4 t 3（ 2）当点 Q 的速度为每秒2 个单位长度时，四边形PDBQ 不可能为菱形说理如下：在 RtABC 中， AC 6， BC 8，所以 AB 10已知 PD/BC，当 PQ/AB 时，四边形 PDBQ 为平行四边形所以 CQCP ，即 2t6t

11、解得 t12 CBCA865此时在 Rt CPQ 中， CQ24， PQCQ2456 5sin CPQ 54所以 BQCB CQ82416， BDPQ6 55因此 BQ BD所以四边形PDBQ 不是菱形如图 1，作 ABC 的平分线交 CA 于 P，过点 P 作 PQ/AB 交 BC 于 Q，那么四边形PDBQ 是菱形过点 P 作 PEAB，垂足为 E，那么 BEBC 8在 Rt APE 中， cos AAE23 ，所以 t10 APt53当 PQ/AB 时， CQCP ，即 CQ61032 3 解得 CQCBCA869所以点 Q 的运动速度为 321016 9315（ 3）以 C 为原点建立

12、直角坐标系如图 2，当 t 0 时， PQ 的中点就是AC 的中点 E(3， 0)如图 3，当 t 4 时， PQ 的中点就是PB 的中点 F(1， 4)直线 EF 的解析式是y 2x 6如图 4， PQ 的中点 M 的坐标可以表示为（6t ， t）经验证，点2第5题图1M（ 6t ， t）在直线 EF 上2所以 PQ 的中点 M 的运动路径长就是线段EF 的长， EF 2 5 第5题图2第5题图 3第5题图 4另解 第（ 3）题求点 M 的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数：当 t 2 时， PQ 的中点为 (2， 2)设点 M 的运动路径的解析式为yax2 bx c，代入 E(3， 0

13、)、 F(1， 4)和 (2， 2)，9a3b c0,得 ab c 4,解得 a 0， b 2， c 64a2b c2.所以点M 的运动路径的解析式为y 2x646如图， 在平面直角坐标系 xOy 中， ABC 的 A、B 两个顶点在 x 轴上，顶点 C 在 y 轴的负半轴上 已知 |OA| |OB| 1 5， |OB |OC |， ABC 的面积 S ABC 15，抛物线 yax2 bx c(a 0)经过 A、B、 C 三点（ 1）求此抛物线的函数表达式；（ 2）设 E 是 y 轴右侧抛物线上异于点B 的一个动点，过点E 作 x 轴的平行线交抛物线于另一点F ，过点 F 作FG 垂直于 x

14、轴于点 G，再过点 E 作 EH 垂直于 x 轴于点 H，得到矩形EFGH 则在点 E 的运动过程中，当矩形EFGH 为正方形时，求出该正方形的边长；（ 3）在抛物线上是否存在异于B、 C 的点 M，使 MBC 中 BC 边上的高为72 ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由解析 （1）设 OA 的长为 m，那么 OBOC 5m由 ABC 的面积 SABC 15，得 m 5所以点 A 、 B、 C 的坐标分别为 ( 1， 0)、 (5，0)、 (0， 5)设抛物线的解析式为y a(x 1) (x 5)，代入点 C(0 ， 5)，得 a1所以抛物线的解析式为y (x 1) (x 5)

15、x2 4 x 5（ 2）抛物线的对称轴为直线x2，设点 E 在对称轴右侧，坐标为 (x， x2 4 x 5)如图 1，当 E 在 x 轴上方时， EF 2(x 2)， EH x24 x 5解方程 2(x 2) x24 x 5，得 x 310 或 x 310 （舍去）此时正方形的边长为22 10如图 2，当 E 在 x 轴下方时， EF 2(x 2)， EH ( x2 4 x 5)解方程 2(x 2) (x2 4 x 5)，得 x1 10 或 x1 10 （舍去）此时正方形的边长为210 第6题图1第6题图 2第6题图3（3）如图 3，因为点B、C 的坐标分别为(5，0) 、 (0， 5)，所以

16、 BC 与 x 轴正半轴的夹角为45°过点 B 作 BMBC，且使得BM 72 过点 M 作 x 轴的垂线，垂足为N，那么 BMN 是等腰直角三角形在 Rt BMN 中，斜边 BM 7 2 ，所以 BN MN 7因此点 M 的坐标为 ( 2， 7)或 (12， 7)经检验，点 (2， 7)在抛物线 y (x 1) (x 5)上；点 (12， 7)不在这条抛物线上所以点 M 的坐标是 ( 2， 7) 另解 第（ 3）题也可以这样思考：设抛物线上存在点M，设点 M 的坐标为 (x， x2 4 x 5)由于 BMN 是等腰直角三角形，BN MN，所以 5 x x2 4 x 5解得 x 2

17、或 x 5（与点 B 重合，舍去） 所以点 M 的坐标是 ( 2， 7)这种解法不需要分情况讨论点M 的位置，这是因为：当 M 在点 B 的右侧时，方程为x 5 (x2 4 x 5)，这个方程和点M 在点 B 的左侧时的方程是同一个方程57如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线y ax2 bx 3a 经过 A(1,0)、 B(0,3)两点，与 x 轴交于另一点 C，顶点为 D（ 1）求该抛物线的解析式及点C、 D 的坐标；（ 2）经过点 B、D 两点的直线与x 轴交于点 E，若点 F 是抛物线上一点，以 A、B、E、F 为顶点的四边形是平行四边形，求点 F 的坐标；（ 3）如图 2， P（2，

18、3）是抛物线上的点，Q 是直线 AP 上方的抛物 线上一动点，求 APQ 的最大面积和此时Q 点的坐标图1图2解析 （1）抛物线的解析式为y x22x 3， C(3,0)，顶点 D (1,4)（ 2）如图 1，直线 BD 为 y x 3， E( 3,0)过 ABE 的三个顶点，分别作对边的平行线，三条直线两两相交，得到三个点F点 E( 3,0)向左平移 2 个单位得到点 A(1,0)，那么点 B(0,3)向左平移 2 个单位得到点 F1(2,3)经验证， F 1(2,3)在抛物线上F2 不在抛物线上由 B(0,3)先向下平移 3 个单位，再向左平移 3 个单位得到点 E( 3,0)，那么点 A

19、( 1,0) 先向下平移3 个单位，再向左平移 3 个单位得到点 F 3(4, 3)经验证， F3( 4, 3)不在抛物线上（ 3）如图 2，直线 AP 的解析式为 y x 1过点 Q 作 y 轴的平行线交 AP 于 H 设 Q(x, x2 2x 3)，那么 H (x, x 1)因此 SAPQ SAQH SPQH 1QH ( xPxA )1( x2x2) 33( x1)22722228所以当 x1时， APQ 的最大面积为27 此时 Q (1,15)2824第7题图1第7题图 28已知抛物线ya( x2) 2b(ab0) 的顶点为A，与 x 轴的交点为B， C（点 B 在点 C 的左侧）（ 1

20、)直接写出抛物线对称轴方程；（ 2）若抛物线经过原点，且 ABC 为直角三角形，求 a， b 的值；（ 3）若 D 为抛物线对称轴上一点，则以A、B、C、D 为顶点的四边形能否为正方形？若能，请求出a，b 满足的关系式；若不能，说明理由解析 （ 1）抛物线对称轴是直线x 2（ 2）点 B(0,0)关于对称轴 x2 对称的点 C 为 (4,0) ，设抛物线的解析式为y ax(x 4)当 ABC 为直角三角形时， ABC 为等腰直角三角形， AB AC， BAC90°所以点 A 的坐标为 (2,2)或(2, 2)将 A(2,2)代入 y ax(x 4)，得 a1 于是 y1 x(x4)1 x22x 因此 b2 222当 A(2,2) 代入 y ax(x 4)，得 a1 于是 y1 x(x4)1 x 22 x 因此 b2 2226（ 3）如果四边形 ABDC 是正方形，那么 A、D 关于 BC（x 轴）对称且 ABC 为等腰直角三角形由 A(2,b)，得 B(2 b,0)、C(2 b,0)于是可得抛物线的解析式为ya(x2 b)(x 2