高等数学A试题解答

1、CH1-3 CH1-3 一元函数微分学一元函数微分学一、基本概念一、基本概念: :极限极限: :连续连续: :导数：导数：微分：微分：定义、性质、无穷小定义、性质、无穷小( (替换替换) )、两准则两极限、两准则两极限定义式、三个条件、单侧连续、间断点的分类定义式、三个条件、单侧连续、间断点的分类定义式、几何意义、求定义式、几何意义、求导公式与法则导公式与法则( (复合复合) ) 二、关系二、关系: :极限存在极限存在连续连续 可导可导可微可微定义式、几何意义、求定义式、几何意义、求微公式与法则微公式与法则( (复合复合) )三、计算三、计算: :3.: 定定义义求求导导（分分段段点点）求求导

2、导数数复复合合函函数数求求导导隐隐函函数数求求导导及及参参数数的的二二阶阶导导数数.)(:.4微微分分形形式式的的不不变变性性复复合合求求微微分分dxxfdy ；包包含含洛洛必必达达法法则则列列的的极极限限用用各各种种方方法法求求函函数数及及数数)(. 1间间断断点点的的类类型型；求求函函数数的的间间断断点点及及判判断断. 2判判断断单单调调性性凹凹凸凸性性拐拐点点求求函函数数的的驻驻点点极极值值最最值值,. 5四、应用四、应用: :;.:. 1凹凹凸凸性性及及最最值值等等证证法法单单调调性性定定理理利利用用证证明明不不等等式式lagrange;.:. 2单单调调性性及及介介值值定定理理等等定

3、定理理利利用用研研究究方方程程根根的的问问题题Rolle. 3（求求驻驻点点等等）实实际际应应用用中中的的最最值值问问题题CH4-6 CH4-6 一元函数积分学一元函数积分学一、基本概念一、基本概念: :二、计算二、计算: :定义、性质定义、性质(定定)、意义、常用恒等式意义、常用恒等式 分分部部积积分分三三角角代代换换凑凑微微分分基基本本积积分分公公式式不不定定积积分分. 1（注意结果中的常数（注意结果中的常数C）2.牛牛顿顿莱莱公公式式定定积积分分 换换元元法法分分部部积积分分（注意对称性的应用）（注意对称性的应用）三、应用三、应用: :、弧弧长长；平平面面图图形形的的面面积积、体体积积几

4、几何何 :. 1(1) 平面图形的面积平面图形的面积 badxxfxfA)()(12直角坐标情形直角坐标情形 21)()(ttdtttA 参数方程参数方程 dA2)(21极坐标情形极坐标情形(2) 体积体积dxxfVba2)( dyyVdc2)( dxxfxVbay)(2 badxxAV)(平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积(3) 平面曲线的弧长平面曲线的弧长xoyabxdxx dydxysba 21A曲线弧为曲线弧为)(xfy )()(tytx )( t弧长弧长dttts )()(22B曲线弧为曲线弧为C曲线弧为曲线弧为)( )( rr 弧长弧长 drrs )()(

5、22CH12 CH12 微分方程微分方程二、基本计算二、基本计算: : 求解方程求解方程:一一阶阶方方程程 可可分分离离变变量量、齐齐次次、一一阶阶线线性性；( )():( )( ,)( ,)nyf xyf x yyf y y 可可降降阶阶的的 二二阶阶、；齐齐次次、非非齐齐次次二二阶阶线线性性方方程程:三、应用三、应用: :.)(及及其其相相关关问问题题求求曲曲线线xf一、基本概念一、基本概念: : 微分方程的解微分方程的解;类型类型;特解形式特解形式高等数学高等数学A A，B(B(一一) )模拟试题模拟试题1.1. 3().2xfxx 的的 微微 分分一、一、 填空题（每小题填空题（每小题

6、3分，共分，共15分）分）解解 222335( )222xxxfxxxx 25, d ( )d2f xxx所所以以 :( ).dyfx dx知知识识点点：两两个个函函数数商商的的导导数数公公式式，导导数数与与微微分分的的关关系系3.3. 2()8ln(0).fxxxx 曲曲线线的的拐拐点点是是一、一、 填空题（每小题填空题（每小题3分，共分，共15分）分）解解8( )2,fxxx 知知识识点点：导导数数的的应应用用，求求拐拐点点，28( )20,fxx令令2，x 00,().xf x拐拐点点是是用用坐坐标标（来来表表示示的的，不不同同于于极极值值点点的的表表示示 (0,2) ,0,fx 但但在

7、在内内(0,2;曲曲线线在在上上是是凸凸的的 (2,) ,0,fx 在在内内2,).曲曲线线在在上上是是凹凹的的2(2,4+8ln2)( )8ln(0).f xxxx点点是是曲曲线线的的拐拐点点4.4. 321.xdxx 一、一、 填空题（每小题填空题（每小题3分，共分，共15分）分）解解 知知识识点点：求求不不定定积积分分的的直直接接积积分分法法， 基基本本积积分分表表的的应应用用23) 1(xx dx 223133xxxxdx(x 3 x3 21x)dx x dx 3dx 3x1dx 21xdx21x 23x 3 ln | x | x1 C 原原式式 根据不定积分的运算性质和基本函数的积分

8、公式根据不定积分的运算性质和基本函数的积分公式, ,可计算简单函数的不定积分可计算简单函数的不定积分. .称为称为直接积分法直接积分法.5 5. . 202ln(1tan)0()0.xt dtxfxxaxa 设设在在原原点点处处连连续续，则则一、一、 填空题（每小题填空题（每小题3分，共分，共15分）分）解解知知识识点点：连连续续函函数数的的定定义义，变变上上限限积积分分函函数数的的求求导导方方法法，洛洛必必达达法法则则()( ) ( )( )xadf t dtfxxdx 220200ln(1tan)ln(1tan)2lim=lim0.2xxxt dtxxaxx 0.a1 1. . lim.n

9、nx “数数列列极极限限存存在在”是是“数数列列有有界界”的的二、二、 选择题（每小题选择题（每小题3分，共分，共15分）分）解解知知识识点点：收收敛敛数数列列的的性性质质，收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界,但是有界数列不一定收敛但是有界数列不一定收敛如数列如数列( 1)n.:Bkey ( );( );( ); ( ).ABCD充充 分分 必必 要要 条条 件件充充 分分 但但 不不 必必 要要 条条 件件必必 要要 但但 非非 充充 分分 条条 件件既既 非非 充充 分分 条条 件件 ， 也也 非非 必必 要要 条条 件件2 2. . 1211xfxxxfx 设设= =+ +e e, ,

10、则则是是的的. . 二、二、 选择题（每小题选择题（每小题3分，共分，共15分）分）解解知知识识点点：函函数数间间断断点点的的类类型型，( );( );( );( ).ABCD可可去去间间断断点点跳跳跃跃间间断断点点无无穷穷间间断断点点振振荡荡间间断断点点:Ckey( )f x0 x第一类间断点第一类间断点可去间断点可去间断点跳跃间断点跳跃间断点左右极限都存在左右极限都存在 第二类间断点第二类间断点无穷间断点无穷间断点振荡间断点振荡间断点左右极限至少有一左右极限至少有一个不存在个不存在在点在点间断的类型间断的类型 +12111limlim=+xxxfxx = =+ +e e, , 12111l

11、imlim=1xxxfxx = =+ +e e， 1xfx 则则是是的的无无穷穷间间断断点点. .11yx 3 3. . 220coscos23xxxx 当当时时，是是的的. . 二、二、 选择题（每小题选择题（每小题3分，共分，共15分）分）解解知知识识点点：无无穷穷小小的的比比较较，等等价价无无穷穷小小，洛洛必必达达法法则则，( );( );( );( ). ABCD高高阶阶无无穷穷小小同同阶阶无无穷穷小小，但但不不是是等等价价无无穷穷小小低低阶阶无无穷穷小小等等价价无无穷穷小小: Dkey 2002coscos22sin2sin23lim=lim32xxxxxxxx 0cos4cos2l

12、im1.3xxx 220cos -co.s23xxxx当当时时，是是的的等等价价无无穷穷小小4 4. . exyy 曲曲线线与与该该曲曲线线过过原原点点的的切切线线及及 轴轴所所围围图图形形的的面面积积为为. . 二、二、 选择题（每小题选择题（每小题3分，共分，共15分）分）解解知知识识点点：定定积积分分的的应应用用，求求平平面面图图形形的的面面积积, ,切切线线方方程程 1e01e110( )();( )lnln;( )() ;( )lnln.xxAeex dxByyy dyCeex dxDyyy dy : Akeyexy 解解: 设曲线和切线的交点坐标为设曲线和切线的交点坐标为则切线方程

13、为则切线方程为ee ()aaYXa，把原点代入切线方程，得把原点代入切线方程，得( ,e ),aaee (0)aaa，所以所以1,eaae ，yex 从从而而切切线线方方程程为为，交交点点坐坐标标为为(1,e),(1,e),故故所所围围图图形形的的面面积积为为10()xeex dx 1e01eelndyy dyyy或或exy (0,1)5 5. . 下下列列等等式式正正确确的的是是. . 二、二、 选择题（每小题选择题（每小题3分，共分，共15分）分）解解知知识识点点：不不定定积积分分和和导导数数的的关关系系， dd( );( );ddd( );(.d )baAf x dxf xBf x dx

14、f xCxxCf x dxf xDfx dxf xx : Akey微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是的的. )()(xfdxxfdxd dxxfdxxfd)()( CxFdxxF)()( CxFxdF)()(1 1. . 30sinlim.xxxx 三、求极限（三、求极限（10分）分）解解知知识识点点：导导数数的的应应用用洛洛必必达达法法则则，30sinlimxxxx 201cos=lim3xxx 0sin=lim6xxx1=62 2. . 10lim.xxxxe 三、求极限（三、求极限（10分）分）解解知知识识点点：导导数数的的应应用用, ,洛洛必必达达法法则则，=原原

15、式式1100lim1lim1xxxxxxxxxeeee 10lim 1xxexxxexxxee 120lim1xxeexxxxeee 2 2. . 10lim.xxxxe 三、求极限（三、求极限（10分）分）解解知知识识点点：导导数数的的应应用用, ,洛洛必必达达法法则则，=原原式式 10ln1lnlimln00limelime=exxxxxx ex ex exxxx 00ln1+lim=lim=2xxxxxxeexxe 因因为为 120lim=e .xxxxe 所所以以四、计算题（每小题四、计算题（每小题8分，共分，共32分）分）1 1. . 2arcsin4,.2xyxxy 求求知知识识点

16、点：基基本本求求导导公公式式，导导数数的的四四则则运运算算, ,复复合合函函数数求求导导公公式式，解解2211arcsin22412xxyxxx arcsin2x 四、计算题（每小题四、计算题（每小题8分，共分，共32分）分）2 2. . 24d .xx 用用换换元元法法求求不不定定积积分分：知知识识点点：不不定定积积分分的的计计算算方方法法，第第二二换换元元积积分分法法，解解2sin ,22xtt设设22222222 sinxt 2 cos , t 2 cos,dxtdt 24x dx 2cos2cos ttdt 24 cos tdt sin2=424ttc=22sin costttc2 s

17、in ,22xtt 由由 于于所所 以以arcsin2xt 2cos1 sintt 212x 242x 于是所求积分为于是所求积分为24x dx 212arcsin422xxxc=22sin costttcx24x 2t四、计算题（每小题四、计算题（每小题8分，共分，共32分）分）3 3. . 340sin 2.x dx 知知识识点点：不不定定积积分分的的计计算算方方法法，第第一一换换元元积积分分法法（凑凑微微分分法法），解解：2 ,tx 设设,2dtdx 3201|sin |2t dt 原原式式32011sinsin22tdttdt 32011coscos22tt 11110122 32 四

18、、计算题（每小题四、计算题（每小题8分，共分，共32分）分）3 3. . 340sin 2.x dx 知知识识点点：不不定定积积分分的的计计算算方方法法，第第一一换换元元积积分分法法（凑凑微微分分法法），解解：00 ,sin2;2xx 当当时时，203,sin24xx 当当时时20sin2xdx 原原式式342sin2xdx 3240211sin22sin2222xd xxd x 3420211113cos2cos2110122222xx 四、计算题（每小题四、计算题（每小题8分，共分，共32分）分）4 4. . 2sin(),().xf xxfx dxx 设设的的原原函函数数为为求求知知识识

19、点点：定定积积分分的的计计算算方方法法，分分部部积积分分法法，原原函函数数的的定定义义和和性性质质，解解：2sincossin( ),( ).xxxxf xf xxx 因因为为所所以以.sin)(Cxxdxxf 并并且且 2222( )( )( )( )xfx dxxdf xxf xf x dx 22cossinsin41xxxxxx 五、解答题（五、解答题（8分）分）3331( )( ).31xttyf xf xytt 由由参参数数方方程程确确定定，求求的的极极值值知知识识点点：参参数数方方程程求求导导，导导数数的的应应用用，求求极极值值，解解：2210,1.1dyttdxt 令令解解得得2

20、112231410,3(1)61311.tttdytdxty 所所 以以是是 极极 小小 值值2112231410,3(1)61315.tttdytdxty 所所 以以是是 极极 大大 值值六、综合题（六、综合题（14分）分） 20M21.3MM.xyxxx 在在曲曲线线上上的的点点处处作作一一切切线线使使其其与与曲曲线线及及 轴轴所所围围平平面面图图形形面面积积为为求求( (1 1) ) 切切点点的的坐坐标标及及过过切切点点的的切切线线方方程程；( (2 2) )上上述述平平面面图图形形绕绕 轴轴旋旋转转一一周周所所得得旋旋转转体体的的体体积积 知知识识点点：导导数数的的应应用用，切切线线方

21、方程程， 定定积积分分的的应应用用，平平面面图图形形的的面面积积，旋旋转转体体的的体体积积， 20M21.3MM.xyxxx 在在曲曲线线上上的的点点处处作作一一切切线线使使其其与与曲曲线线及及 轴轴所所围围平平面面图图形形面面积积为为求求( (1 1) ) 切切点点的的坐坐标标及及过过切切点点的的切切线线方方程程；( (2 2) )上上述述平平面面图图形形绕绕 轴轴旋旋转转一一周周所所得得旋旋转转体体的的体体积积 xoy2解解: 设设M点的坐标为点的坐标为2( ,)2aa,则该点处的切线方程为则该点处的切线方程为2()2aYa Xa它它与与 x 轴的交点为轴的交点为(,0),2a所指所指面积

22、面积( )S x 2233011d22 22683axa aaax 2,M2,222.ayx 因因此此故故点点的的坐坐标标为为，切切线线方方程程为为旋转所得立体体积为旋转所得立体体积为V42222200114( )dd1 234315xfxxr hx xoy2xy yxo2 0( )0 1( )(1)( ).f xff x dx 设设在在区区间间 0 0, ,1 1 上上连连续续，证证明明至至少少存存在在一一点点，使使得得分析：验证罗尔定理的条件分析：验证罗尔定理的条件0()(1)( ),xF xxf t dt 令令 F x则则在在0,10,1上上连连续续，在在(0,1)(0,1)内内可可导导，七、证明题（七、证明题（6分