超声层析成像理论与实现实用教案

1、主要主要(zhyo)内容内容 一. 超声层析成像技术的发展历史 二. 超声层析成像技术的基本模型及方法 三. 问题的不适定性及其正则化 四. 模型噪声的判断方法Picard准则 五. 静态正则化技术在超声层析技术中的应用 六. 迭代正则化技术在超声层析技术中的应用 七. 总结(zngji)与展望 第1页/共48页第一页，共49页。一. 超声层析成像的发展(fzhn)历史 1. 折射系数(xsh)层析成像方法 2. 衰减系数(xsh)层析成像方法 3. 射线跟踪方法 4. 透射式衍射层析成像及反射式衍射 层析成像方法 5. 基于精确场描述的层析成像方法 第2页/共48页第二页，共49页。1.1.

2、折射系数折射系数(xsh)(xsh)层析成像方法层析成像方法1( , )BwAn x y dsct 第3页/共48页第三页，共49页。2.2.超声衰减系数层析成像超声衰减系数层析成像 Attenuation tomography 衰减系数 ( , ,)x y f0(,)xyf0(,)BAxyd s21ln/EE 第4页/共48页第四页，共49页。3.3.射线跟踪射线跟踪(gnzng)(gnzng)方法方法 Ray Tracing Method Ray Tracing Method 第5页/共48页第五页，共49页。4. 4. 透射式衍射透射式衍射(ynsh)(ynsh)层析成像及反射式衍层析成

3、像及反射式衍 射层析成像方法射层析成像方法物体傅里叶变换频域空域入射波前向散射场第6页/共48页第六页，共49页。从不同方向从不同方向(fngxing)照射物体时照射物体时,前向散射前向散射场数据的傅里叶变换场数据的傅里叶变换第7页/共48页第七页，共49页。5. 5. 基于精确基于精确(jngqu)(jngqu)场描述的层析成像方场描述的层析成像方法法第8页/共48页第八页，共49页。二二. . 超声层析成像技术超声层析成像技术(jsh)(jsh)的基本模型的基本模型 及方法及方法非齐次亥姆霍兹方程(fngchng)(Helmholtz Equation)220() ( )( ) ( )kp

4、 ro r p r 2220( )( ) 1( )/( ) 1o rn rc rc r 0sp rprpr第9页/共48页第九页，共49页。全场方程全场方程(fngchng)(Total Field Equation)(第二类第二类Fredholm积分方程积分方程(fngchng) 0Sp rprG rr o rp r dr散射(snsh)场方程(Scattering Field Equation)探测器方程(Detector Equation) sSprG rr o rp rdr第10页/共48页第十页，共49页。2. 积分方程(fngchng)的离散化矩量法 0() ()jjiiijjp

5、rpro rp rc() ()jjsmmjjpro rp rd 2010201000()22()( )2ijmji m jjk aHk aji= jc dj k ai mjJk a Hk R若若第11页/共48页第十一页，共49页。向量(xingling)形式: ( )()( )tintPPCOP( )( )stPDOP第12页/共48页第十二页，共49页。3. 波动(bdng)方程的近似 Born Born近似(jn s) (jn s) 0sprpr( )( )tinPP( )( )sinPDOP/ 4an第13页/共48页第十三页，共49页。 Rytov Rytov近似(jn s) (jn

6、 s) ()( )rp re0( )( )( )srrr2()( )o r2( )2snr 2（）001()( ) ( )( )sG rr p r o r drp r第14页/共48页第十四页，共49页。4. 4. 基本(jbn)(jbn)方法Born迭代(di di)算法(BI) 第15页/共48页第十五页，共49页。Born迭代(di di)算法(BI) 求Born逆解O由全场方程 确定全场 ( )()( )tintkPPCO P( )tkP由散射场方程求散射场,并计算 ( )( )stkkkPDO P( )( )( )ssskkPPP( )skP由方程求改变量( )( )stkkkPD

7、O PkO求1kkkOOO第16页/共48页第十六页，共49页。求Born逆解O由全场方程 确定全场 ( )()( )tintkPPCO P( )tkP由散射场方程求散射场,并计算 ( )( )stkkkPDO P( )( )( )ssskkPPP变形(bin xng)Born迭代算法(DBI) 根据最新求得的Ok改变散射方程的系数矩阵D( ) skP求1kkkOOO由方程求改变量( )( )stkkkPD O PkO第17页/共48页第十七页，共49页。Levenberg-Marquardt和Newton-Kantorovich方法(fngf) ( )()( )tintPPCOP( )( )

8、stPDOP代入( )()( )sintPDO PCOP第18页/共48页第十八页，共49页。三三. .问题的不适问题的不适(bsh)(bsh)定性及其定性及其正则化正则化 适定性问题是指： 对于连续算子(sun z)方程Kx=y，如果解x满足： (1). 存在； (2). 唯一； (3). 连续地依赖于数据y。 否则，即上述三个条件有一个不满足，则称其为不适定的（Ill-posed）。 第19页/共48页第十九页，共49页。离散不适(bsh)定问题(Discrete Ill-Posed Problem) 2min bAx第20页/共48页第二十页，共49页。Tikhonov正则(zhn z)

9、化 222022min()AxbL xxL=In，x0=0时，称为Tikhonov正则(zhn z)化的标准形式,其解可表示为: 2221,()niiiiiiu bxv第21页/共48页第二十一页，共49页。四四. .模型噪声模型噪声(zoshng)(zoshng)的判断方的判断方法法: Picard: Picard准则准则 离散Picard准则： 若方程组Ax=b的傅里叶系数(xsh) 趋于零的速度在平均意义下快于矩阵A的奇异值趋于零的速度的话，则称该方程组满足离散Picard准则(条件)。 1,nilsiiiu bxv,iu b2221,()niitikiiiiu bxv最小二乘解:Tik

10、honov正则(zhn z)化解:第22页/共48页第二十二页，共49页。受噪声污染(zo shn w rn)和无噪声污染(zo shn w rn)的Picard图 第23页/共48页第二十三页，共49页。A 对比度为30时对比度为20时对比度为10时第24页/共48页第二十四页，共49页。五五. . 静态静态(jngti)(jngti)正则化技术正则化技术 1.截断奇异值分解正则(zhn z)化方法 Truncated Singular Value Decomposition (TSVD)第25页/共48页第二十五页，共49页。1.截断奇异值分解(fnji)正则化方法(TSVD) 2min

11、bAx1,nilsiiiu bxv2221,()niitikiiiiu bxv最小二乘解:Tikhonov正则(zhn z)化解:1,kitsvdiiiu bxvTSVD正则化解:第26页/共48页第二十六页，共49页。正则化参数的选取(xunq)方法 离差原理(Discrepancy Principle)方法 广义(gungy)交叉验证(GCV)方法 L曲线(L-Curve)方法 10logbAx10logx减小时 增加(zngji)时 第27页/共48页第二十七页，共49页。TSVD方法的数值(shz)仿真结果 BACDE对比度为10时对比度为20时对比度为30时原始(yunsh)图像第2

12、8页/共48页第二十八页，共49页。迭代过程的相对误差(xin du w ch)和相对残差曲线第29页/共48页第二十九页，共49页。迭代过程的相对误差(xin du w ch)和相对残差曲线第30页/共48页第三十页，共49页。2.截断(ji dun)完全最小二乘正则化方法满足(mnz)：2min AxbAxbmin ( , )( , )FA bA bAxb第31页/共48页第三十一页，共49页。截断完全(wnqun)最小二乘的步骤 1. 首先(shuxin)，计算增广矩阵(A，b)的奇异值分解：11( , )nTiiiiA bUVuv2确定截断参数(cnsh)kmin(n，rank(A，b

13、)使得： 1kk221,11,1(,)0nknnVvv3. 记q=n-k+1,将矩阵分块11122122VVVVV 4.则完全最小二乘问题的解为： 212221222222TkxV VV VV 第32页/共48页第三十二页，共49页。TTLS方法的数值(shz)仿真结果 原始(yunsh)图像对比度为10时对比度为20时对比度为30时第33页/共48页第三十三页，共49页。迭代过程的相对(xingdu)误差和相对(xingdu)残差曲线第34页/共48页第三十四页，共49页。六六. . 迭代正则迭代正则(zhn z)(zhn z)化技术化技术1.求解最小二乘问题的共轭梯度(t d)方法(cgl

14、s)第35页/共48页第三十五页，共49页。1.求解(qi ji)最小二乘问题的共轭梯度 方 法(cgls) 将共轭梯度(t d)法应用于法方程 TTA AxA b10000(;),kTTTTTTTkA A A rspan A r A AA rA AA r相当于在Krylov子空间(kngjin)：产生的序列xk，使得：22*2( )TkkkA Af xxxAxb第36页/共48页第三十六页，共49页。cgls方法(fngf)的解可表示为:2211()Tnikikiiiib uxqv1( )kq2的k-1次多项式，其系数(xsh)的确定是 其中(qzhng)： 依赖于：(1).方程的右侧项b的

15、特征； (2).矩阵A的奇异值的分布； (3).迭代的次数 第37页/共48页第三十七页，共49页。第38页/共48页第三十八页，共49页。正则化参数(cnsh)对迭代的影响第39页/共48页第三十九页，共49页。cgls方法的数值(shz)仿真结果BACDE对比度为10时原始(yunsh)图像对比度为20时对比度为30时第40页/共48页第四十页，共49页。迭代过程的相对误差(xin du w ch)和相对残差曲线第41页/共48页第四十一页，共49页。LSQR迭代(di di)方法 Lanczos三对角(du jio)过程 LanczosTA A应用(yngyng)于将矩阵A双对角化Gol

16、ub和Kahan(1965) Paige和Saunders(1982) 2min bAx应用于第42页/共48页第四十二页，共49页。LSQR方法(fngf)的优点: 1. 速度快 2. 对不适定性问题数值稳定 3. 从迭代过程很容易(rngy)求得数值分析的数值 第43页/共48页第四十三页，共49页。BACDE原始(yunsh)图像对比度为10时对比度为20时对比度为30时第44页/共48页第四十四页，共49页。七七. . 总结总结(zngji)(zngji)与展望与展望 首先(shuxin)利用Picard理论，分析了超声层析成像问题的中的模型噪声问题，给出了入射波的确定方法、以及正则化方法的适用范围的判断方法。第45页/共48页第四十五页，共49页。今后需要(xyo)进一步研究的工作第46页/共48页第四十六页，共49页。 谢谢 谢！谢！第47页/共48页第四十七页，共49页。谢谢您的观看(gunkn)！第48