动能习题汇总(重庆大学理论力学习题)

1、 坦克的履带单位长度质量为坦克的履带单位长度质量为r r ，轮的半径为，轮的半径为r，轮轮轴之间的距离为轴之间的距离为d，坦克，坦克前进的速度为前进的速度为v0 。求全部履带的总动能。求全部履带的总动能。v0例例2v0解：解：在在C1C2杆上建立动系杆上建立动系C1x y 。 牵连运动为水平平移，牵连速度为牵连运动为水平平移，牵连速度为ve =v0； 相对运动为绕在两个作定轴转动圆轮上履带的相对运动为绕在两个作定轴转动圆轮上履带的运动。圆轮的角速度为运动。圆轮的角速度为w w v0/r ,履带上各点的履带上各点的相对速度均为相对速度均为vr= v0 。v0应用柯希尼定理，全部履带的总动能为应用

2、柯希尼定理，全部履带的总动能为 图示坦克的履带质量为m1，每个车轮质量为m2，车轮可看成匀质圆盘，半径为R。设坦克前进的速度为v，试求整个系统的动能。m14m11ABm12m13RDCvm14m11ABm12m13RDCv将履带分为四部分，如图示将履带分为四部分，如图示11121314111121314mmmmmmmmm2222121314131411102222vTmvmmvmmRR履带221213141314120.5()0.5()vmmmmmmv222222211 13222 22vTm vm Rm vR轮2121232TTTmmv履带轮vhwBhACIV已知：匀质杆AB，L，m，v，h

3、求:杆AB的动能？解:I为匀质杆AB的速度瞬心222111223ILJmLmmL2222211 1122 36IvvTJmLmLhhw 1416 如图所示，均质圆盘半径为r，质量为m1，可绕固定水平轴O转动。重物A的质量为m2，BC为弹簧，且位置水平，刚度系数为k，OC=e ，当OC铅直时系统平衡。求A物受到微小干扰而作上下微小振动时，系统的周期。21222mmrTek。习题14-16图习题14-16图QVBQVBQVB1416 ，均质圆盘半径为r，质量为m1，重物A的质量为m2，刚度系数为k，OC=e ，系统平衡时OC铅直,求A物作上下微小振动时，系统的周期。212222mmrTekw。22

4、212(2)kemm rw 习题141424 24 放置于放置于水平面水平面 的图示行星齿轮机构。已知行的图示行星齿轮机构。已知行星齿轮节圆半径为星齿轮节圆半径为r，质量为，质量为m1，可视为均质圆盘。均质曲，可视为均质圆盘。均质曲柄柄OO1受不变力矩受不变力矩M的作用而绕固定轴的作用而绕固定轴O转动，并带动行星转动，并带动行星齿轮齿轮O1在固定水平齿轮在固定水平齿轮O上滚动。上滚动。曲柄曲柄OO1质量为质量为m2，固定齿轮节圆半径为固定齿轮节圆半径为R。设曲柄由静止开始运动，设曲柄由静止开始运动，试求曲柄转动试求曲柄转动f角时的角时的角速度和角加速度。角速度和角加速度。习题14142424解

5、解 开始时，整个系统处于静止，所以开始时，整个系统处于静止，所以T1=0。 当当曲柄转过角曲柄转过角f时，设曲柄的角速度为时，设曲柄的角速度为w1 1，动齿轮中心，动齿轮中心的速度为的速度为v v1 1 ，动齿轮的角速度为，动齿轮的角速度为w2 2，则系统在位置时的动，则系统在位置时的动能为能为22221111111222OOTJm vJww因为因为 v v1=(R+r)w， w1= = v v1 / /r =(R+r)w/ /r ，22221111111222OOTJm vJww222111()312OOJm RrJm r因为因为 v v1=(R+r)w， w1= = v v1 / /r =

6、(R+r)w/ /r ，所以可将动能所以可将动能T2 2表示为表示为w的函数。的函数。又因为又因为习题1424解解求角速度和角加速度。求角速度和角加速度。习题1424解解将上式两边对时间求导数，将上式两边对时间求导数，并注意到并注意到得曲柄的角加速度为得曲柄的角加速度为求角速度和角加速度。求角速度和角加速度。dddtdtww，习题1424解解解：设曲柄的角速度为解：设曲柄的角速度为 ， P点为点为AB杆速度瞬心，故杆速度瞬心，故DvlwyOBAxD 习题习题14.26 椭圆规尺在椭圆规尺在水平面内水平面内由曲柄带动，设曲柄和椭由曲柄带动，设曲柄和椭圆规尺都是匀质细杆，其质量分别为圆规尺都是匀质

7、细杆，其质量分别为m和和2m，且，且OD=AD=BD=l，如图所示。滑块，如图所示。滑块A与与B的质量相等，均为的质量相等，均为m1，如作用在曲柄上一力矩如作用在曲柄上一力矩M。不计摩擦，求曲柄角加速度。不计摩擦，求曲柄角加速度。 ABwwB2 cosvl wA2 sinvl wBvAvDvC/2vlw因为椭圆规尺在因为椭圆规尺在水平面内水平面内运动，运动，重力不做功，所以重力不做功，所以1,2WM解：设曲柄的角速度为解：设曲柄的角速度为 ，P点为点为AB杆速度瞬心，故杆速度瞬心，故DvlwyOBAxD 习题习题14.26 曲柄质量曲柄质量m和椭圆规尺质量为和椭圆规尺质量为2m，滑块滑块A与与

8、B的质量均为的质量均为m1， OD=AD=BD=l，力矩，力矩M。求曲柄角加速度。求曲柄角加速度。 系统的动能22OD1 1()2 3TmlwABwwB2 cosvl wA2 sinvl wBvAvDvC/2vlw1,2WM222ABD22221112(2 ) 22 12214(1)33Tmlmvmlmlwww22A11(2 sin)2Tmlw22B11(2 cos)2TmlwyOBAxD 习题习题14.26 曲柄质量曲柄质量m和椭圆规尺质量为和椭圆规尺质量为2m，滑块滑块A与与B的质量均为的质量均为m1， OD=AD=BD=l，力矩，力矩M。求曲柄角加速度。求曲柄角加速度。 系统的动能221

9、6ODTmlwBvAvDv1,2WMODABAB222222221142(sincos)63TTTTTmlmlmlwww22222211332(2)22mlmlmm lwww22AB43Tmlw22A11(2 sin)2Tmlw22B11(2 cos)2Tmlw由动能定理，有2213(2)02mm lMwyOBAxD 习题习题14.26 曲柄质量曲柄质量m和椭圆规尺质量为和椭圆规尺质量为2m，滑块滑块A与与B的质量均为的质量均为m1， OD=AD=BD=l，力矩，力矩M。求曲柄角加速度。求曲柄角加速度。 系统的动能BvAvDv1,2WMODABABTTTTT2213(2)2mm lw由动能定理

10、，有2213(2)02mm lMw等式两边求导，得213(2)22mm lMww21(34)Mmm l14.27 质量为m 的杆置于两个半径为r ，质量为的实心圆柱上，圆柱放在水平面上，求当杆上加水平力时，杆的加速度。设接触处都有摩擦，而无相对滑动。2mP解：用动能定理求解。解：用动能定理求解。取系统为研究对象，杆作平动，圆柱体作平面运动。设任一瞬时，杆的速度为v，则圆柱体质心速度为 v/2，角速度rv2w系统的动能222221611)2)(221(21)2(221221mvrvrmvmmvT主动力的元功之和：SPWFd)(由动能定理的微分形式：)(dFWTSPmvd)1611(d2两边除以，

11、并求导数，得t dvPavm21611mPa118 AR45B 均质细杆长为l，重Q，上端B靠在光滑的墙上，下端A以铰链与圆柱的中心相连。圆柱重P，半径为R，放在粗糙的地面上，自图示位置由静止开始滚动而不滑动，杆与水平线的交角=450。求点A在初瞬时的加速度。DCARIB2VB1VANBQPNCFC解：取杆AB与圆柱A为质点系受力分析：运动分析：圆柱A作平面运动，C点为速度瞬心1AvRw杆AB作平面运动，I点为速度瞬心2sinAvdddtdtlw 从 位置时，力的功为045012sin45sin2lWQ221212110,22CITTJJww从 位置时，力的功为1AvRw2sinAvdddtd

12、tlw 045012sin45sin2lWQ质点系的动能其中223123CIPQJRJlggDCARIB2VB1VANBQPNCFC根据质点系的动能定理 ，得2222912sinAvQTPg202290sin45sin12sin2AvQlPQg223123CIPQJRJlgg221212110,22CITTJJww2112TTW1AvRw2sinAvlwDCARIB2VB1VANBQPNCFCDCARIB2VB1VANBQPNCFC2112TTW由得两边同时对时间t求导，整理得223cos1229cos12sin3 sinsin2sinAAAAAdvQvvvQlvPQdtggll22312co

13、s29cos12sin3sin2AAAdvQvQdldvPQdtggdtdt2sinAvddtlw 202290sin45sin12sin2AvQlPQgDCARIB2VB1VANBQPNCFC得0450Av令有23232sincossin92sinAAAgvldvQadtPQ394AQgaPQ223cos12cos196sin3 sin2sinAAdvQvQlPQdtggl 2232cos2193cossinsinsinAAdvQvQPQgldtl223cos1229cos12sin3 sinsin2sinAAAAAdvQvvvQlvPQdtggllBCorRAD 14-29: 重物A质量m

14、1，系在绳子上，绳子跨过固定滑轮D，并绕在鼓轮B上，如图所示。由于重物下降，带动了轮C，使它沿水平轨道滚动而不滑动。设鼓轮B半径为r，轮C的半径为R，两者固连在一起，总质量为m2，对于其水平轴O的回转半径为。求重物A的加速度a。轮D质量不计。ABOBABtvvRrvRdvdaaRrdtdtwww 23oaRraRI为速度瞬心BCorRADBOm g1I202Jmr121Wm gs2221202 01 A1110,222TTJm vmvw求重物A的加速度a。轮D质量不计。根据质点系的动能定理 ，得2112TTW2222AA221 A11110222vRvmmmvm gsRrRrr 23oaRra

15、RBCorRADBOm g1I求重物A的加速度a。轮D质量不计。根据质点系的动能定理 ，得2112TTW2222AA221 A11110222vRvmmmvm gsRrRrr222A2211222vmm Rmm gsRrRrr22221AA1A2()mRmRra vm gvRrr21A22221()m g RramRmRrrEEEtvvRrdvdaaRrdtdtww 23oaRraRI为速度瞬心CorRADBBOm g12QPPQPRrrPRrRRggggr 1PaPTg建立坐标系Ixy, xy 4OQaTFg列平面运动微分方程EEEtvvRrdvdaaRrdtdtww 23oaRraR 25

16、QTrFRgr ATPICBRorEFNQTPTPag由式（4）、（6）、（3），得：OQFTag将式（6）、（7）代入式（5），得：2QPPQPRrrPRrRRggggr 1PaPTg 4OQaTFg 23oaRraR 25QTrFRgr 6PPRrg 7PQPRrRgg222Pg RrP RrQRr解得：2QPPQPRrrPRrRRggggr 2222Pg RraRrP RrQRrBCorRADATPOXoBC BTCCmgBCnCnvBYoTBwAmgrAw22B22O2222OO2121212121212121BBBBmvmrmrmvJJTwwwwBOBwwrrv系统动能系统动能mgh

17、1,2WOXoBC TCCmgBCnCnBYoTBAmgrABvww22B22O2222OO2121212121212121BBBBmvmrmrmvJJTwwwwBOBwwrrv系统动能系统动能mgh1,2W习题习题14.32 长为l ， 质量为m 的均质直杆，初瞬时直立于光滑的桌面上。当杆无初速度地倾倒后，求质心的速度（用杆的倾角 和质心的位置表达）。 解解：由于水平方向不受外力，且初始静止，故质心C铅垂下降。由于约束反力不作功, 主动力为有势力，因此可用机械能守恒定律求解。sin2 , sin2 cos12 lylyly即又由机械能守恒定律：)2(2124120222ylmgymmlmgl

18、将代入上式，化简后得sin2ly ygy22sin31sin6mglVT2 , 011初瞬时：222222212412121ymmlymJTC)2(2ylmgV任一瞬时： 系统在铅直平面内由两根相同的匀质细直杆构系统在铅直平面内由两根相同的匀质细直杆构成，成， A，B为铰链，为铰链，D为小滚轮，且为小滚轮，且AD水平。每根水平。每根杆的质量杆的质量m=6 kg，长度，长度l=0.75 m。当仰角。当仰角 1=60时，时，系统由静止释放。求当仰角减到系统由静止释放。求当仰角减到 2=20时杆时杆AB的角的角速度。摩擦和小滚轮的质量都不计。速度。摩擦和小滚轮的质量都不计。习题习题14.33 (a)

19、(b)解解: 取整个系统为研究对象，其中杆AB定轴转动，而杆BD平面运动。由图b知，杆BD的速度瞬心是Cv。分析点B的速度有 由于BCv = BD = AB，代入上式，求得wAB = wBDAB wAB = BCv wBDBmgmg(a)(b)1习题习题14.33AB = BD但两者的转向相反。另外，当2=20 时，有DCv = 2l sin 20 由余弦定理可求得Cv E ，从而得杆BD质心C的速度vE = Cv E BD(a)(b)习题习题14.33 在运动过程中，只有杆的重力做功。所以作用在系统中的力在运动过程中的总功为 T1=0(a)(b)习题习题14.33从而得杆AB的角速度大小AB

20、 = 3.9 rads1 (顺钟向)代入动能定理积分形式的方程 T2 T1=W 习题习题14.33习题习题14.34l圆管的质量为圆管的质量为m1，半径为，半径为R，以初角速度，以初角速度w0绕铅直轴转绕铅直轴转动。管内有质量为动。管内有质量为m 2 的小球，由静止开始自的小球，由静止开始自A处下落，处下落，l试求小球到达试求小球到达B处和处和C处时圆处时圆管的角速度和小球相对于管管的角速度和小球相对于管的速度。已知圆管对轴的转的速度。已知圆管对轴的转动惯量为动惯量为J，摩擦不计。，摩擦不计。习题习题1434管质量管质量m1，转动惯量，转动惯量J，半径，半径R，w0 ；小球质量；小球质量m 2

21、 ，解：解：1、取圆环（包括转轴）和小球、取圆环（包括转轴）和小球 组成组成的系统为对象：的系统为对象： 2、受力分析：、受力分析：因为所有的力都与转轴平行或相交，因为所有的力都与转轴平行或相交， ( )0zMF zLct3、设小球到达、设小球到达B处时圆管的角速度处时圆管的角速度w12011JJmRwww012JJmRww解得解得小球到达小球到达C处时圆管的角速度处时圆管的角速度w2 Jw0=Jw2 得得 w2 w0由系统的动量矩守恒由系统的动量矩守恒 习题习题14.344、小球对管的速度（由动能定理）、小球对管的速度（由动能定理） 在在B处处 2222110111()222BrJmRvJm

22、gRwww22022BrJRvgRJmRw2222Cr0111()2222JmvJmgRww2rvgR解得解得解得解得在在C处处012JJmRww习题习题14.341439 重150N的均质圆盘与重60N、长24cm的均质杆AB在B处用铰链连接。 系统由图示位置无初速地释放。求求系统经过最低位置B点时的速度及支座A的约束反力。解解：（1）取圆盘为研究对象）取圆盘为研究对象; 0)(FBM0 0BBBJ00wwB，圆盘平动。（2）用动能定理求速度）用动能定理求速度。 取系统研究。初始时T1=0 ，（2）用动能定理求速度）用动能定理求速度。 取系统研究。初始时T1=0 ， 最低位置时：222221

23、21BAvgPJTw221222163213121BBBvgPPvgPvgP( )12(sin30 )(sin30 )22ellWPP ll )(12FWTT)30sin)(2(06321221llPPvgPPB代入数据，得m/s 58. 1Bv12()(sin30 )2PPll习题习题14.39（3）用动量矩定理求杆的角加速度）用动量矩定理求杆的角加速度 。ww)31(312221221lgPlgPvlgPlgPLA由于0)(dd) e (FAAMtL所以 0 。盘质心加速度：盘质心加速度：)0( 22wCnCCalaa)0( 2wBnBBalaarad/s 58. 624. 058. 1l

24、vBw杆质心杆质心C的加速度：的加速度：m/s 58. 1Bv习题习题14.39 相对质心动量矩守恒定理相对质心动量矩守恒定理+动能定理动能定理+动量矩定理动量矩定理+质心运动质心运动定理。定理。 可用对积分形式的动能定理求导计算可用对积分形式的动能定理求导计算，但要注意需取杆，但要注意需取杆AB在一般位置进行分析在一般位置进行分析。（4）由质心运动定理求支座反力。）由质心运动定理求支座反力。 研究整个系统 0t2t1AxBCixiFagPagPam 代入数据，得 N401 , 0AyAxFF2122212PPFlgPlgPamAyiyiww0;6.58 rad/sw习题习题14.39 习题1

25、4.37 如图所示系统中，滚子A和定滑轮B都是半径为r的匀质圆盘，重量均为P1 ；重物C重为P2 。当滚子沿倾角为的斜面向下作纯滚动时，试求：（1）滚子A质心的加速度；（2）两端绳子的拉力；（3）滑轮轴承处的反力；（4）滚子A和斜面的摩擦力F， 摩擦系数f至少为多少？AB解：解：(1) 求滚子A质心的加速度以整个系统为研究对象以整个系统为研究对象,开始静止时动能10T 滚子质心A沿斜面下降距离S时,系统动能为222212211112222AAABBCPPTvJJvggww受力分析，运动分析受力分析，运动分析AABCAvvvrww其中2112ABPJJrg2222221112211 11 112

26、2 22 22AAAAPPvPvPTvrrvggrgrg212122APP vg作用于系统上的力所作的功为作用于系统上的力所作的功为1212sinWP SP S根据动能定理2112TTW得2212122ATPP vg2121212sin2APP vPPSg将上式对时间t求导注意到：1212122sin2AAdvdSPPvPPgdtdtAAAdvdSvadtdt1212sin2APPagPPAB（2）求物）求物C上绳的拉力上绳的拉力T11212sin2APPagPP取物C为研究对象受力分析，运动分析CAaa由动力学基本方程，得由动力学基本方程，得212cPaTPg212122122sin12Ac

27、P PPaTaPPggPP（3）求滚子A上绳的拉力T2和轴承B处的反力XB、YB取定滑轮B为研究对象：受力分析，运动分析ABar由由 得得eBBBJM212112AParT rTrgr解得解得1211211232sinsin122 2AP PPPTTagPPB根据质心运动定理eeBXByMaXMaY得20cosBXT0Ba 并注意质心的加速度解得212112cos32sinsincos2 2BXTP PPPP120sinBYTTB122212112sin45sin2sinsin2 2BYTTP PPPP4）求滚子A和斜面的摩擦力F和摩擦系数的最小值fmin取滚子A为研究对象：受力分析，运动分析

28、AAar建立相对质心的转动微分方程AAJF r2112AParF rgrA112112sin11222APPPFaPgPP由 得0X 1cosNP12112sin122PPFPPPmax1cosFfNfP12max1112sin1cos22PPFFfPPPP1212sin2 2cosPPfPP12min12sin2 2cosPPfPPA习题习题13-33 如如图所示系统，图所示系统，物块物块A质量为质量为m1，沿楔块的，沿楔块的斜面下降，借绕过滑轮的绳索使质量为斜面下降，借绕过滑轮的绳索使质量为m2的物体的物体B上升。斜上升。斜面与水平面成面与水平面成a角，滑轮的质量和各处摩擦均忽略不计。求角

29、，滑轮的质量和各处摩擦均忽略不计。求楔块作用于地板凸出部分楔块作用于地板凸出部分D处的水平压力。处的水平压力。 解：设物块解：设物块A 由静止由静止开始下滑，某瞬时其速度为开始下滑，某瞬时其速度为v，画运动分析图和受力图画运动分析图和受力图 ，列动力学方程：列动力学方程：l 解：设物块解：设物块A 由静止开始下滑，某瞬时其速度为由静止开始下滑，某瞬时其速度为v，画，画运动分析图和受力图运动分析图和受力图 ，列动力学方程：，列动力学方程：221212110sin22m vm vm gSm gS等式两边对时间求导得等式两边对时间求导得21212sin2mmvgSmm1212sin22,mmdvdSdSvgvdtmmdtdt即即等式两边对时间求导得等式两边对时间求导得1212sin22,mmdvdSdSvgvdtmmdtdt由质心运动定理由质心运动定理1212sinmmagmmcxicixxmamaF1cosxm aF11212cos(sin)xmmmFgmmBA 图示三棱柱A沿三棱柱B的光滑斜面滑动，A和B各重P和Q，三棱柱B的斜面与水平面成角。如开始时物系静止，求运动时三棱柱B的加速度。忽略摩擦。yoABxhPQNVrVB以两三棱柱为质点系受