《管理运筹学》课后习题答案

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第2章线性规划的图解法

1．解：

x

`

Ax1(1)可行域为OABC

(2)等值线为图中虚线部分

(3)由图可知，最优解为B点，最优解：x1=2．解：x21

01

(1)由图解法可得有唯一解(2)(3)(4)(5)

无可行解无界解无可行解无穷多解

x10.2x20.6

127

，x2

157

。最优目标函数值：

697

，函数值为3.6。

x1

20383

(6)有唯一解

x2

，函数值为

923

。

3．解：

(1).标准形式：

maxf3x12x20s10s20s39x12x2s130

3x12x2s2132x12x2s39x1,x2,s1,s2,s30

(2).标准形式：

minf4x16x20s10s2

3x1x2s16x12x2s2107x16x24x1,x2,s1,s20

(3).标准形式：

minfx12x22x20s10s23x15x25x2s170

'

''

'

'

''

2x15x25x2503x2x2xs230x1,x2,x2,s1,s20

'

'

''

'1

'2

''2

''''

4．解：

标准形式：

maxz10x15x20s10s2

3x14x2s19

5x12x2s28

x1,x2,s1,s20

松弛变量（0，0）最优解为x1=1，x2=3/2.

标准形式：

minf11x18x20s10s20s310x12x2s120

3x13x2s2184x19x2s336x1,x2,s1,s2,s30

剩余变量（0.0.13）最优解为x1=1，x2=5.

6．解：

(1)最优解为x1=3，x2=7.(2)1c13(3)2c26(4)

x16x24

(5)最优解为x1=8，x2=0.(6)不变化。由于当斜率1

7．解：

模型：

maxz500x1400x2

2x13003x25402x12x14401.2x11.5x2300x1,x20

c1c2

13

,最优解不变,变化后斜率为1,所以最优解不变.

(1)x1150，x270，即目标函数最优值是103000(2)2，4有剩余，分别是330，15，均为松弛变量.(3)50，0，200，0。

(4)在0,500变化，最优解不变。在400到正无穷变化，最优解不变.(5)由于

c1c2

450430

1,所以原来的最优产品组合不变.

(1)模型：minf8xa3xb

50xa100xb1200000

5xa4xb60000100xb300000xa,xb0

基金a,b分别为4000，10000,回报率为60000。(2)模型变为：maxz5xa4xb

50xa100xb1200000

100xb300000

xa,xb0

推导出：x118000x23000，故基金a投资90万，基金b投资30万。

第3章线性规划问题的计算机求解

1．解：

(1)x1150，x270。目标函数最优值103000。

(2)1，3车间的加工工时已使用完；2，4车间的加工工时没用完；没用完的加工工时数为

2车间330小时,4车间15小时.(3)50，0，200，0

含义：1车间每增加1工时，总利润增加50元；3车间每增加1工时，总利润增加200元；2车间与4车间每增加一个工时，总利润不增加。(4)3车间，由于增加的利润最大。

(5)在400到正无穷的范围内变化，最优产品的组合不变。(6)不变由于在0,500的范围内。

(7)所谓的上限和下限值指当约束条件的右边值在给定范围内变化时，约束条件1的右边值

在200,440变化，对偶价格仍为50（同理解释其它约束条件）。(8)总利润增加了10050=5000,最优产品组合不变。(9)不能，由于对偶价格发生变化。

(10)不发生变化，由于允许增加的百分比与允许减少的百分比之和(11)不发生变化，由于允许增加的百分比与允许减少的百分比之和

最大利润为103000+5050－60200=93500元。

2．解：

(1)4000，10000，62000

(2)约束条件1：总投资额增加1个单位，风险系数则降低0.057；约束条件2：年回报额增加1个单位，风险系数升高2.167；

约束条件3：基金B的投资额增加1个单位，风险系数不变。

(3)约束条件1的松弛变量是0，表示投资额正好为1200000；约束条件2的剩余变量是0，

表示投资回报率正好是60000；约束条件3的松弛变量为700000，表示投资B基金的投资额为370000。(4)当c2不变时，c1在3.75到正无穷的范围内变化，最优解不变；当c1不变时，c2在负无穷到6.4的范围内变化，最优解不变。(5)约束条件1的右边值在780000,1500000

。变化，对偶价格仍为0.057（其它同理）

44.25

23.6

100%，理由见百25100

50140

5010060140

100%100%，其

(6)不能，由于允许减少的百分比与允许增加的百分比之和

分之一百法则。

3．解：

(1)18000，3000，102000，153000

(2)总投资额的松弛变量为0，表示投资额正好为1200000；基金b的投资额的剩余变量为

0，表示投资B基金的投资额正好为300000；(3)总投资额每增加1个单位，回报额增加0.1；

基金b的投资额每增加1个单位，回报额下降0.06。(4)c1不变时，c2在负无穷到10的范围内变化，其最优解不变；c2不变时，c1在2到正无穷的范围内变化，其最优解不变。

(5)约束条件1的右边值在300000到正无穷的范围内变化，对偶价格仍为0.1；约束条件2的右边值在0到1200000的范围内变化，对偶价格仍为-0.06。(6)

600000900000

300000900000

100%故对偶价格不变。

4．解：

(1)x18.5，x21.5，x30，x40，最优目标函数18.5。

(2)约束条件2和3，对偶价格为2和3.5，约束条件2和3的常数项增加一个单位目标函

数分别提高2和3.5。

(3)第3个，此时最优目标函数值为22。

(4)在负无穷到5.5的范围内变化，其最优解不变，但此时最优目标函数值变化。(5)在0到正无穷的范围内变化，其最优解不变，但此时最优目标函数值变化。

5．解：

(1)约束条件2的右边值增加1个单位，目标函数值将增加3.622；(2)x2目标函数系数提高到0.703，最优解中x2的取值可以大于零；

(3)根据百分之一百法则判定，由于允许减少的百分比与允许增加的百分比之和

114.583

215

100%，所以最优解不变；

65111.2515

100%根据百分之一百法则，我们不能判定其对偶价

(4)由于

309.189

格是否有变化。

第4章线性规划在工商管理中的应用

1．解：为了用最少的原材料得到10台锅炉，需要混合使用14种下料方案。

设按14种方案下料的原材料的根数分别为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11，x12，x13，x14，模型如下：

表4-1各种下料方式

minf＝x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8＋x9＋x10＋x11＋x12＋x13＋x14s.t.2x1＋x2＋x3＋x480

x2＋3x5＋2x6＋2x7＋x8＋x9＋x10350x3＋x6＋2x8＋x9＋3x11＋2x12＋x13420x4＋x7＋x9＋2x10＋x12＋2x13＋3x1410

x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11，x12，x13，x140

用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为：

x1＝40，x2＝0，x3＝0，x4＝0，x5＝116.667，x6＝0，x7＝0，x8＝0，x9＝0，x10＝0，x11＝140，x12＝0，x13＝0，x14＝3.333最优值为300。

2．解：

从上午11时到下午10时分成11个班次，设xi表示第i班次安排的临时工的人数,模型如下：

minf＝16（x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8＋x9＋x10＋x11）

s．t．x1＋19x1＋x2＋19x1＋x2＋x3＋29x1＋x2＋x3＋x4＋23x2＋x3＋x4＋x5＋13x3＋x4＋x5＋x6＋23x4＋x5＋x6＋x7＋16x5＋x6＋x7＋x8＋212x6＋x7＋x8＋x9＋212x7＋x8＋x9＋x10＋17x8＋x9＋x10＋x11＋17

x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x110

用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为：

x1＝8，x2＝0，x3＝1，x4＝1，x5＝0，x6＝4，x7＝0，x8＝6，x9＝0，x10＝0，x11＝0

最优值为320。

(1)在满足对职工需求的条件下，在11时安排8个临时工，13时新安排1个临时工，14

时新安排1个临时工，16时新安排4个临时工，18时新安排6个临时工可使临时工的总成本最小。

(2)这是付给临时工的工资总额为80元，一共需要安排20个临时工的班次。

约束松弛/剩余变量对偶价格

10-420032049050-465070080090-410001100

根据剩余变量的数字分析可知，可以让11时安排的8个人工做3小时，13时安排的1个人工作3小时，可使得总成本更小。

（3）设xi表示第i班上班4小时临时工人数，yj表示第j班上班3小时临时工人数minf＝16（x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8）＋12（y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋y6＋y7＋y8

＋y9）

s．t．x1＋y1＋19

x1＋x2＋y1＋y2＋19

x1＋x2＋x3＋y1＋y2＋y3＋29x1＋x2＋x3＋x4＋y2＋y3＋y4＋23x2＋x3＋x4＋x5＋y3＋y4＋y5＋13x3＋x4＋x5＋x6＋y4＋y5＋y6＋23x4＋x5＋x6＋x7＋y5＋y6＋y7＋16x5＋x6＋x7＋x8＋y6＋y7＋y8＋212x6＋x7＋x8＋y7＋y8＋y9＋212x7＋x8＋y8＋y9＋17x8＋y9＋17

x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，y1，y2，y3，y4，y5，y6，y7，y8，y90

用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为：

x1＝0，x2＝0，x3＝0，x4＝0，x5＝0，x6＝0，x7＝0，x8＝6，y1=8，y2=0，y3=1，y4=0，y5=1，y6=0，y7=4，y8=0，y9=0最优值为264。安排如下：

在11：00－12：00安排8个三小时的班，在13：00－14：00安排1个三小时的班，

在15：00－16：00安排1个三小时的班，在17：00－18：00安排4个三小时的班，在18：00－19：00安排6个四小时的班。

总成本最小为264元，能比第一问节省：320-264=56元。

3．解：设生产A、B、C三种产品的数量分别为x1，x2，x3，则可建立下面的数学模型：

maxz＝10x1＋12x2＋14x3s.t.x1＋1.5x2＋4x320002x1＋1.2x2＋x31000x1200

x2250x3100

x1，x2，x30

用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为：x1＝200，x2＝250，x3＝100，最优值为6400。

(1)在资源数量及市场容量允许的条件下，生产A200件，B250件，C100件，可使生产

获利最多。

(2)A、B、C的市场容量的对偶价格分别为10元，12元，14元。材料、台时的对偶价格

均为0。说明A的市场容量增加一件就可使总利润增加10元，B的市场容量增加一件就可使总利润增加12元，C的市场容量增加一件就可使总利润增加14元。但增加一千克的材料或增加一个台时数都不能使总利润增加。假使要开拓市场应当首先开拓C产品的市场，假使要增加资源，则应在0价位上增加材料数量和机器台时数。

4．解：设白天调查的有孩子的家庭的户数为x11，白天调查的无孩子的家庭的户数为x12，晚上调查的有孩子的家庭的户数为x21，晚上调查的无孩子的家庭的户数为x22，则可建立下面的数学模型：

minf＝25x11＋20x12＋30x21＋24x22s．t．x11＋x12＋x21＋x222000x11＋x12＝x21＋x22x11＋x21700x12＋x22450x11,x12,x21,x220

用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为：x11＝700，x12＝300，x21＝0，x22＝1000最优值为47500。

(1)白天调查的有孩子的家庭的户数为700户，白天调查的无孩子的家庭的户数为300户，

晚上调查的有孩子的家庭的户数为0，晚上调查的无孩子的家庭的户数为1000户，可使总调查费用最小。

(2)白天调查的有孩子的家庭的费用在20到26元之间，总调查方案不会变化；白天调查的

无孩子的家庭的费用在19到25元之间，总调查方案不会变化；晚上调查的有孩子的家庭的费用在29到正无穷之间，总调查方案不会变化；晚上调查的无孩子的家庭的费用在－20到25元之间，总调查方案不会变化。

(3)发调查的总户数在1400到正无穷之间，对偶价格不会变化；

有孩子家庭的最少调查数在0到1000之间，对偶价格不会变化；

无孩子家庭的最少调查数在负无穷到1300之间，对偶价格不会变化。

5．解：设第i个月签订的合同计划租用j个月的面积为xij，则需要建立下面的数学模型：

minf＝2800x11＋4500x12＋6000x13＋7300x14＋2800x21＋4500x22＋6000x23＋2800x31＋

4500x32＋2800x41

s．t．x1115

x12＋x2110x13＋x22＋x3120

x14＋x23＋x32＋x4112xij0，i，j＝1，2，3，4

用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为：

x11＝15，x12＝0，x13＝0，x14＝0，x21＝10，x22＝0，x23＝0，x31＝20，x32＝0，x41＝12，最优值为159600。即在一月份租用1500平方米一个月，在二月份租用1000平方米一个月，在三月份租用2000平方米一个月，四月份租用1200平方米一个月，可使所付的租借费最小。

6．解：设xij表示第i种类型的鸡需要第j种饲料的量，可建立下面的数学模型：

maxz＝9（x11＋x12＋x13）＋7（x21＋x22＋x23）＋8（x31＋x32＋x33）－5.5（x11＋x21

＋x31）－4（x12＋x22＋x32）－5（x13＋x23＋x33）

s．t．x110.5（x11＋x12＋x13）x120.2（x11＋x12＋x13）x210.3（x21＋x22＋x23）x230.3（x21＋x22＋x23）x330.5（x31＋x32＋x33）x11＋x21＋x3130x12＋x22＋x3230x13＋x23＋x3330xij0，i，j＝1，2，3

用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为：

x11＝30，x12＝10，x13＝10，x21＝0，x22＝0，x23＝0，x31＝0，x32＝20，x33＝20，最优值为335。即生产雏鸡饲料50吨，不生产蛋鸡饲料，生产肉鸡饲料40吨。

7．设Xi为第i个月生产的产品I数量Yi为第i个月生产的产品II数量

Zi，Wi分别为第i个月末产品I、II库存数

S1i，S2i分别为用于第（i+1）个月库存的自有及租借的仓库容积（立方米）。则可以

建立如下模型：

5

12

12

i

Minz=(5xi8yi)

i1

(4.5x

i6

7yi)

(S

i1

1i

S2i)

s.tX1-10000=Z1X2+Z1-10000=Z2X3+Z2-10000=Z3X4+Z3-10000=Z4X5+Z4-30000=Z5X6+Z5-30000=Z6X7+Z6-30000=Z7X8+Z7-30000=Z8X9+Z8-30000=Z9X10+Z9-100000=Z10X11+Z10-100000=Z11X12+Z11-100000=Z12Y1-50000=W1Y2+W1-50000=W2Y3+W2-15000=W3Y4+W3-15000=W4Y5+W4-15000=W5Y6+W5-15000=W6Y7+W6-15000=W7Y8+W7-15000=W8

Y9+W8-15000=W9Y10+W9-50000=W10

Y11+W10-50000=W11Y12+W11-50000=W12S1i150001i12Xi+Yi1200001i120.2Zi+0.4WiS1iS2i31i12

Xi0,Yi0,Zi0,Wi0,S1i0,S2i0用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为：最优值为4910500

X110000,X2=10000,X3=10000,X4=10000,X5=30000,X6=30000,X7=30000,X8=45000,X9=105000,X10=70000,X11=70000,X12=70000;Y1=50000,Y2=50000,Y3=15000,Y4=15000,Y5=15000

Y6=15000,Y7=15000,Y8=15000,Y9=15000,Y10=50000,Y11=50000,Y12=50000;Z8=15000,Z9=90000,Z10=60000,Z11=30000;

S18=3000,S19=15000,S11012000,S1116000;S293000;其余变量都等于0

8．解：设第i个车间生产第j种型号产品的数量为xij,可以建立下面的数学模型：

max25(x11x21x31x41x51)20(x12x32x42x52)17(x13x23x43x53)

+11(x14x24x44)

s.tx11x21x31x41x511400x12x32x42x52300x12x32x42x52800x13x23x43x538000x14x24x44700

5x117x126x135x14180006x213x233x24150004x313x3214000

3x412x424x432x44120002x514x525x5310000xij0,i1,2,3,4,5j=1,2,3,4

用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为：

**********************最优解如下*************************

目标函数最优值为:279400

变量最优解相差值x11011x21026.4x3114000x41016.5x5105.28x12015.4x328000x42011x52010.56x1310000x2350000x4308.8x5320000x1424000x2402.2x4460000

约束松弛/剩余变量对偶价格1025250003020403.8577000602.2704.4860000

905.51002.64目标函数系数范围:

变量下限当前值上限x11无下限2536x21无下限2551.4x3119.7225无上限x41无下限2541.5x51无下限2530.28x12无下限2035.4x329.4420无上限x42无下限2031x52无下限2030.56x1313.21719.2x2314.817无上限x43无下限1725.8x533.817无上限x149.1671114.167x24无下限1113.2x446.611无上限常数项数范围:

约束下限当前值上限10140029002无下限30080033008002800470008000100005无下限70084006600018000无上限7900015000180008800014000无上限9012000无上限1001000015000即

x110,x120,x131000,x142400,x210,x235000,x240,x311400,x32800,x410,x420,x430,x446000,x510,x520,x532000

最优值为279400

（2）对5个车间的可用生产时间做灵敏度分析可以照以上管理运筹学软件的计算结果自行进行。

9．解：设第一个月正常生产x1,加班生产x2,库存x3;其次个月正常生产x4,加班生产x5,

库存x6;第三个月正常生产x7，加班生产x8，库存x9;第四个月正常生产x10,加班

生产x11,可以建立下面的数学模型：

Minf=200(x1+x4+x7+x10)+300(x2+x5+x8+x11)+60(x3+x6+x9)s.tx14000x44000x74000x104000

x31000

x61000x91000x21000x51000x81000x111000x1x2x34500x3x4x5x63000x6x7x8x95500x9x10x114500

x