周期函数的最小正周期-

1、中学代数研究期末论文周期函数最小正周期存在性及其应用 摘要 本文研究了周期函数最小正周期的若干问题. 对周期函数的最小正周期存在的充要和充分条件进行了探讨，也给出了说明结果的一些例子，并总结了些求最小正周期的方法，最后简要分析了高中生对最小正周期的认识。 全文分为五部份: 第一部分是关于最小正周期的一般理论, 得到了周期函数有最小正周期的充要条件和充分条件,; 第二部分讨论了周期函数的应用。如两个周期函数之和的最小正周期的问题, 和复合函数最小正周期问题; 第三部分讨论了如何求最小正周期，其中三角函数最小正周期求法是我们所最常见的；第四部分讨论了高中对最小正周期的认识，发现其中问题，并给予了些

2、意见。关键词：周期函数 最小正周期 三角函数 最小正周期的求法引言 我们都知道一些周期函数在定义域上存在最小正周期，如sinx，cosx，tanx等。但也有些周期函数并无最小正周期，例如常值函数、狄利克雷函数等。那么，什么样的周期函数一定存在最小正周期？一周期函数最小正周期存在性(洪,王,李)1.1周期函数最小正周期的定义定义：若函数f(x)为M上的周期函数，T称为函数f(x)的一个周期，如果在所有周期中存在一个最小正数，那么叫做f(x)的最小正周期或基本周期。1.2周期函数最小正周期存在充要条件1为叙述简洁，先就本文采用的符号作说明:R周期函数的正周期集周期函数的正周期集J的下确界T*-周期

3、函数的最小正周期(若最小正周期存在)定理1 (i)周期函数f(x)存在最小正周期的充要条件是。 (ii)f(x)无最小正周期的充要条件是=0。其实，(i)和(ii)可相互作为推论而成立。这里仅对(i)予以证明。证明 必要性显然成立。 充分性。已知，只要证明是f(x)的一个正周期即可。利用反证法，假设f(x)不存在最小正周期，即不是f(x)的正周期。由的定义，存在f(x)的一正周期列 .于是中总存在和，使. ，仍是f(x)的正周期，这与的定义矛盾。所以f(x)必有最小正周期，且最小正周期。(证毕)推论1设f(x)为定义在M上的周期函数，如果存在开区间，则f(x) 必存在最小正周期。事实上,如果。

4、则。推论2无最小正周期的周期函数的定义域必是稠密集。1.2周期函数最小正周期存在充分条件2定理2 若R上周期函数f（x）不恒为常数，且f(x)是连续的，则f(x)必有 最小正周期。等价为 无最小正周期的连续周期函数一定为常值函证明：设E为f(x)的正周期构成的一个集合，0为E的一个下界，故E有下确界，记为， 事实上，周期函数的“连续性”条件可以被更弱的条件“一点连续，一点单侧极限存在或为无穷大”所代替。从而结论可变为下述更强的命题。定理3 设f(x)是非常值周期函数，若f(x)在某点x。处是连续的，则f(x)有最小 正 周期。定理4 设f(x)是定义在M上的非常值函数，若f(x)在某点x。处存

5、在单侧极限(左 极限或右极限)，则f(x)有最小正周期。说明:定理3中的点，由连续性知;而定理4中的点x。则有两种可能，定理5 设f(x)是定义在M上的周期函数，若f(x)在某点处的左极限(或右极 限)为无穷大，则f(x)有最小正周期。证明：设f(x)在点处的左极限为无穷大，即则存在yM(y)，有f(y)0。对于|f(y)|>o，存在，使|f(x)|>|f(y)| 成立，于是,由定理1知，f(x)有最小正周期。(证毕)推论3 无最小正周期的非常值周期函数，必是处处单侧极限不存在，也不为无 穷大。推论4 无最小正周期的周期函数f(x)，若在某点处左极限(或右极限)存在，则f(x)必是

6、常值函数。以上这些定理全为周期函数最小正周期存在充分条件，下面举些反例说明反例【例1】【例2】函数易知f(x)的最小正周期T=1。由于有理数集是稠密的，又0x-x<1，所以f(x)在R上点点左、右极限不存在，也不为无穷大。二：最小正周期的应用(洪)2.1周期函数最小正周期与周期的关系3定理7 若t是函数的一个周期，n为非零整数，则nt并不一定能包含函数的所有周期，但当t为函数的最小正周期时，nt就能包括函数的所有周期。证明：记函数f所有周期构成的集合为S，对任意的T属于集合S，有T=nt+r,其中0=<r<t,若, 是函数f的一个正周期，这与t为f的最小正周期矛盾。所以r=0

7、,即T=nt.定理8若周期函数有最小正周期, 它的任何两个周期为,，则为有理数。 反之则不行，反例为狄利克雷函数 所有的非零有理数都是它的周期, 所有的无理数都不是它的周期, 它的任何两个周期相除都是有理数的, 然而它却没有最小正周期.2.2求两个周期函数之和的最小正周期3定理9 定义在M上的周期函数f(x)、g(x)的最小正周期分别为T1、T2,若是有理数，那么它们的和与积也是定义在M上的周期函数。此时T1和T2的最小公倍数是函数f(x)+g(x)的一个周期，但未必是最小正周期。 例5 求函数y=|sin x|+|cos x|的最小正周期.解:y =|sin x|+|cos x|=|sin

8、x|+|cos x|=|cos(x+/2)|+|sin(x+/2)|=|sin(x+/2)|+|cos(x+/2)|=f(x+/2)|sin x|和|cos x|的最小正周期的最小公倍数为，但函数|sin x|+|cos x|的最小正周期为/2。即两函数最小正周期的最小公倍数是两函数的和的函数周期,但不是最小正周期。 那f(x)+g(x)最小正周期会是如何了？设函数 的最小正周期= mD , 的最小正周期= nD , m, n 皆为正整数, L = m,n 表示m, n 的最小公倍数; 并设有最小正周期.首先注意, 即使 为正整数, 也不一定有=L . 例如, 这时, 取D = , m= 6,

9、 n = 3, L =6, F( x ) = f ( x ) + g ( x ) = sin x 的最小正周期不是LD= 6 , 而是2.再者, 也不一定是整数. 那么, F( x ) 的最小正周期究竟与f ( x ) 的最小正周期, g ( x ) 的最小正周期有怎样的关系呢?定理9 设函数f(x)的最小正周期T1=mD,g(x)的最小正周期T2=nD,m,n皆为正整数,且d=(m,n),L=m,n;并设F(x)=f(x)+g(x)有最小正周期 . 则存在与互素的正整数q , 使得证明 LD是f(x)与g(x),从而也是F(x)的一个周期, 由定理8知,为有理数.设,其中p,q为正整数,且(

10、p,q)=1(如为整数,则q=1).先假定d=1,这时L=.,|,由于(p,q)=1,故p|.另一方面,是F(x)与g(x),从而也是f(x)的周期,故m|pn,但(m,n)=1,于是m|p.同理,n|p.这样,|p.因此,p=, 即,再证一般情形. 设, 这时,( )=1,L =d. 视 为 的一个公度, 由已证结果,且（q,）=1,即q与互素. 定理6 得证.至q的寻求,则与f(x),g(x)的具体形式有关.然而对于正弦函数, 情形特别简单.特例：推论 设（其中A ,B 为非零常数,），的最小正周期为， 的最小正周期为， m,n 皆为正整数, L = m, n , 则F( x ) 的最小正

11、周期为。2.3复合函数的最小正周期4定理 10 如果f(u)是定义在集合M上的函数，而u=g(x)是定义在集合N上的周期函数，且最小正周期为T，当xN时，g(x)M，那么复合函数fg(x)是集合N上的周期函数。但最小正周期不一定还是T。例3 g(x)=sin x,f(x)=c, 则fg(x)=c,此时无最小正周期。例4 g(x)=sinx,f(x)=x²,则fg(x)=,即周期为那何时fg(x)的最小正周期与g(x)相同呢？定理11 设在D上存在最小正周期，而f(z)在上严格单调，则f在D上也有最小正周期。证明 显然是f(的正周期，假设还存在，使，则必存在nN，使，于是，必有，因为f

12、(x)在上严格单调，所以有 ，因此 还有小于的正周期，矛盾，故f()的最小正周期也是。例6 可看成复合而成，又 在一1，1上严格单调，而内函数sin x的最小正周期。由此可知复合函数的最小正周期也是 。三：最小正周期的求法(李)1.初等函数中，除常函数外的任一周期函数都存在最小正周期。一般方法方法一：函数的定义求最小正周期，即取适当的M，(常取=0)，找出使f(+T)=f()成立的最小正数T，若能证明此T值对任意xM，f(x+T)=f(x)都满足，则T就是最小正周期。方法二：先找出函数的一个正周期再证明它是最小的。例7 求f(x)=x一x的最小正周期解：1)因为f(x十1)=(x+1)一x+1

13、=x+1一(x+1)=x一x=f(x)，所以1是f(x)的一个正周期。 2)任意0<<l，取x=0，因为f(0+)=0+一0+=0=f(O)，所以l是f(x)的最小正周期。方法三：由已知的某个函数的最小正周期，根据下面的定理或推论求出要求的函数的最小正周期。定理12 .设周期函数为其最小正周期则5(1)f(x+c)(c为任意常数)也是以为最小正周期的周期函数。(3)(a>0，d均为常数)也是周期函数，它的最小正周期为。证明：先证是f(ax+b)的周期，由周期函数的定义，令y=ax+b,则有fa(x+)+b=f(ax+bT)=f(yT)=f(y)=f(ax+b),所以是f(ax

14、+b)的周期。再证是f(ax+b)的最小正周期，即0<<,若是f(ax+b)的周期，则有：fa(x+)+b=f(ax+b),即f(ax+b+a)=f(ax+b),令y=(ax+b),得f(y+a)=f(y),即a是f(x)的周期，但|a|=|a|<|a|<T,这与T是f(x)的最小正周期矛盾，故是f(ax+b)的最小正周期。针对三角函数 1.公式法这类题目是通过三角函数的恒等变形，转化为一个角的一种函数的形式，用公式去求，其中正余弦函数求最小正周期的公式为T=2/|w| ，正余切函数T=/|w|例7求函数y=cot xtan x的最小正周期.解：y=1/tan xtan

15、 x=(1tan²x)/tan x=2*(1-tan²x)/(2tan x)=2cot2xT=/22. 最小公倍数法设f(x)与g(x)是定义在公共集合上的两个三角周期函数，T1、T2分别是它们的周期，且T1T2，则f(x)±g(x)的最小正周期为T1、T2的最小公倍数，最小正周期=T1,T2分子的最小公倍数/T1、T2分母的最大公约数。例8 求函数y=sin3x+cos5x的最小正周期.解：设sin3x、cos5x的最小正周期分别为T1、T2，则T1=2/3,T2=2/5 ，所以y=sin3x+cos5x的最小正周期T=2/1=2.例9 求y=sin3x+tan

16、2x/5 的最小正周期.解：sin3x与tan2x/5 的最小正周期是2/3与5/2,其最小公倍数是10/1=10.y=sin3x+tan2x/5的最小正周期是10.3 图象法例10 求y=|sin x|的最小正周期.解：由y=|sin x|的图象 可知y=|sin x|的周期T=四：关于高中生对最小正周期的认识(王)4.1高中课本中对周期及最小正周期的定义 “函数周期性”内容出现在高中数学课本“三角函数”一章中。目前，全国及各省市新编高中数学课本中的函数周期性均采用如下定义：一般地，对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f(x+T)=f(

17、x),那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数 T 叫这个函数的周期。对于一个周期函数 f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数叫做最小正周期。4.2学生求函数最小正周期函数的方法从实际教学与文献来看，学生主要有三种判断方法：一：是利用公式法若 f(x)是最小正周期为 T 的周期函数，则 y=Asin( x+)+b(其中A0, 0,A, ,b 都为常数)是以=2/为最小正周期的周期函数。二：是定义法即利用定义找非零常数 T 来判断；三：是图象法，若函数图象可由某一段重复平移而衔接得到则该函数是周期函数。4.3学生学习函数最小正周期函数中存在的问题（1）学生求最小正

18、周期问题上方法单一，绝大部分学生判断函数周期性只停留在直觉判断上，而对形如 y=Asin(x+)的周期求解则非常熟练，一旦函数稍作变形，不能采用公式来计算最小周期，学生就显得无计可施。在他们脑子里关于最小正周期的印象只剩下三角函数的最小正周期T=2/或T=/。（2）对最小正周期的概念和性质并不是很了解。如：有最小正周期的函数的倍数仍有最小正周期，周期函数必有最小正周期等错误的理解。4.4教材对函数最小正周期性内容的处理与教师的教学方法中的问题 人教版全日制普通高中课程标准实验教科书必修4对函数周期性这个内容的安排很少，仅为 1 课时。指出周期函数的周期不止一个，本书中没有特别说明指的是最小正周期。例举了一个利用定义求正（余）弦函数例子。在课后的探究与发现中介绍了求 y=Asin( x+)+b 的周期。告诉学生以后可以由这类函数的解析式直接写出函数的周期。张方盛 教授认为教材中“周期函数的周期可