双曲线方程及性质的应用

1、课时提升作业(十六)双曲线方程及性质的应用(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014·重庆高二检测)已知双曲线x2-y2=2,过定点P(2,0)作直线l与双曲线有且只有一个交点,则这样的直线l的条数为()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.因为点P(2,0)在双曲线含焦点的区域内,故只有当直线l与渐近线平行时才会与双曲线只有一个交点,故这样的直线只有两条.【变式训练】过双曲线x2-y28=1的右焦点作直线与双曲线交于A,B两点,若|AB|=16,这样的直线有()A.一条B.两条C.三条D.四条X kB1.cOM【解析】选C.过右焦点且垂直于x轴的弦长为16,

2、因为|AB|=16,所以当l与双曲线的两交点都在右支上时只有一条.又因为实轴长为2,16>2,所以当l与双曲线的两交点在左、右两支上时应该有两条,共三条. X k B 1 . c o m2.(2014·长春高二检测)已知双曲线E的中心在原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB中点为N(-12,-15),则E的方程为()A.x23-y26=1B.x24-y25=1C.x26-y23=1D.x25-y24=1【解析】选B.由已知条件易得直线l的斜率k=-15-0-12-3=1,设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),A(x1

3、,y1),B(x2,y2),则x12a2-y12b2=1,x22a2-y22b2=1,两式相减并结合x1+x2=-24,y1+y2=-30得y1-y2x1-x2=4b25a2,从而4b25a2=1,又因为a2+b2=c2=9,故a2=4,b2=5,所以E的方程为x24-y25=1.【拓展延伸】解决与双曲线弦的中点有关问题的两种方法(1)根与系数的关系法:联立直线方程和双曲线方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.(2)点差法:利用端点在曲线上,坐标满足方程,将端点坐标分别代入双曲线方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系,可求斜率k=y1-y2x1

4、-x2.这是解决与中点有关问题的简便而有效的方法.求弦中点轨迹问题,此方法依然有效.3.(2014·郑州高二检测)双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点,若MF2x轴,则双曲线的离心率为()A.6B.3C.4D.33【解题指南】将x=c代入双曲线方程求出点M的坐标,通过解直角三角形列出三参数a,b,c的关系,求出离心率的值.【解析】选B.将x=c代入双曲线的方程得y=b2a,即Mc,b2a,在MF1F2中,x kb 1tan30°=b2a2c,即c2-a22ac=33,

5、解得e=ca=3.4.F1,F2是双曲线x23-y2=1的两个焦点,过右焦点F2作倾斜角为4的弦AB,则F1AB的面积为()A.6B.2C.233D.433【解析】选B.由双曲线x23-y2=1,得a2=3,b2=1,c2=a2+b2=4,所以c=2,F1(-2,0),F2(2,0),直线AB:y=x-2.由y=x-2,x23-y2=1得2x2-12x+15=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6,x1·x2=152,所以|AB|=2|x1-x2|=2·(x1+x2)2-4x1x2=23.又F1到直线AB:x-y-2=0的距离为:d=|-2-2|2=22

6、,所以SF1AB=12×d×|AB|=12×22×23=26.5.(2014·攀枝花高二检测)P是双曲线x29-y216=1右支上的一点,M,N分别是圆(x+5)2+y2=4和(x-5)2+y2=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为()A.9B.8C.7D.6【解析】选A.由双曲线x29-y216=1,知a2=9,b2=16,所以c2=25,所以c=5.因此双曲线左、右焦点分别是F1(-5,0),F2(5,0),由圆的方程知,两圆的圆心分别为左、右焦点,由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2a=6,结合图形当M为PF1延长线与圆交点时P

7、M最长,当N为PF2与圆交点时PN最短,此时|PM|-|PN|最大,故最大值为6+2+1=9.6.(2014·天津高二检测)已知双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),过左焦点F1作斜率为33的直线交双曲线的右支于点P,且y轴平分线段F1P,则双曲线的离心率为()A.3B.5+1C.2D.2+3【解析】选A.由双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),得左焦点F1(-c,0),则直线方程为y=33(x+c).又PF1的中点在y轴上,故P点横坐标为xP=c,代入直线y=33(x+c),得yP=233c,又点P在双曲线上,故c2a2-43c2

8、b2=1,即c4-103a2c2+a4=0,所以e4-103e2+1=0,解得e=3或e=33(舍).二、填空题(每小题4分,共12分)7.过点A(6,1)作直线与双曲线x2-4y2=16相交于两点B,C,且A为线段BC的中点,则直线的方程为.【解题指南】根据直线经过点A(6,1),设出直线方程y-1=k(x-6);根据点A(6,1)为线段BC的中点,应用中点坐标公式,确定B,C的坐标关系;应用“点差法”确定直线的斜率.【解析】依题意可得直线的斜率存在,设为k(k0),则直线的方程为y-1=k(x-6).设B(x1,y1),C(x2,y2),因为点A(6,1)为线段BC的中点,所以x1+x2=

9、12,y1+y2=2.因为点B,C在双曲线x2-4y2=16上,所以x12-4y12=16,x22-4y22=16,由-得:(x2-x1)(x2+x1)-4(y2-y1)(y2+y1)=0,所以k=y2-y1x2-x1=x2+x14(y2+y1)=124×2=32,所以经检验,直线的方程为y-1=32(x-6),即3x-2y-16=0.答案:3x-2y-16=08.(2014·福州高二检测)设双曲线x29-y216=1的右顶点为A,右焦点为F.过点F且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点B,则AFB的面积为.【解题指南】由双曲线的方程可得a,b的值,进而可得c

10、的值,得到A,F两点的坐标.因此可设BF的方程为y=±43(x-5),与双曲线的渐近线方程联立,得到点B的坐标,即可算出AFB的面积.【解析】根据题意,得a2=9,b2=16,所以c=a2+b2=5,且A(3,0),F(5,0).因为双曲线x29-y216=1的渐近线方程为y=±43x.所以直线BF的方程为y=±43(x-5).若直线BF的方程为y=43(x-5),与渐近线y=-43x交于点B52,-103,此时SAFB=12|AF|·|yB|=12×2×103=103;若直线BF的方程为y=-43(x-5),与渐近线y=43x交于点

11、B52,103.此时SAFB=12|AF|·|yB|=12×2×103=103.因此,AFB的面积为103.答案:1039.(2014·景德镇高二检测)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),若存在过右焦点F的直线与双曲线C相交于A,B两点,且AF=3BF,则双曲线离心率的最小值为.【解析】因为过右焦点的直线与双曲线C相交于A,B两点且AF=3BF,故直线与双曲线相交只能是如图所示的情况,即A点在双曲线的左支,B点在右支,设A(x1,y1),B(x2,y2),右焦点F(c,0),因为AF=3BF,所以c-x1=3(c-x2),

12、3x2-x1=2c,由图可知,x1-a,x2a,所以-x1a,3x23a,故3x2-x14a,即2c4a,ca2,即e2,所以离心率的最小值为2.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014·遵义高二检测)设双曲线C:x2a2-y2=1(a>0)与直线l:x+y=1交于两个不同的点A,B,求双曲线C的离心率e的取值范围. X k B 1 . c o m【解析】由C与l相交于两个不同的点,可知方程组x2a2-y2=1,x+y=1有两组不同的解,消去y,并整理得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0,w w w .x k b 1.c o m所以1-a20,4a4+8

13、a2(1-a2)>0,解得0<a<2,且a1,而双曲线C的离心率e=1+a2a=1a2+1,从而e>62,且e2,即双曲线C的离心率e的取值范围为62,2(2,+).【举一反三】本题若加上条件“设直线l与y轴交于点P,且PA=512PB”.求a的值.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),且P(0,1),因为PA=512PB,所以(x1,y1-1)=512(x2,y2-1),得x1=512x2.由于x1,x2是方程的两个根,所以x1+x2=-2a21-a2,x1x2=-2a21-a2,即1712x2=-2a21-a2,512x22=-2a21-a2,消去x2,得-

14、2a21-a2=28960,解得a=1713.11.(2014·荆州高二检测)双曲线C的中点在原点,右焦点为F233,0,渐近线方程为y=±3x.(1)求双曲线C的方程. 新 课 标 第 一 网(2)设直线L:y=kx+1与双曲线交于A,B两点,问:当k为何值时,以AB为直径的圆过原点?【解题指南】(1)设出双曲线方程x2a2-y2b2=1,由条件建立关于a,b的方程组求解.(2)只需根据OAOB,即x1x2+y1y2=0求出k的值.【解析】(1)设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1,由焦点坐标得c=233,渐近线方程为y=±bax=±3x,结合c2=

15、a2+b2得a2=13,b2=1x213-y2=1.(2)由y=kx+1,3x2-y2=1,得(3-k2)x2-2kx-2=0,由>0,且3-k20,得-6<k<6,且k±3.设A(x1,y1),B(x2,y2),因为以AB为直径的圆过原点,所以OAOB,所以x1x2+y1y2=0.又x1+x2=-2kk2-3,x1x2=2k2-3,所以y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1=1,所以2k2-3+1=0,解得k=±1.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.若点O和点F1(-2,0)分别是双曲线x2a2-

16、y2=1(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的一点,并且P点与右焦点F2的连线垂直x轴,则线段OP的长为()A.133B.393C.73D.213【解析】选B.由条件知a2+1=4,因为a>0,所以a=3,又PF2x轴,把x=2代入x23-y2=1得y2=13.所以|OP|=22+13=393.【举一反三】若本题条件不变时,点P是右支上任意一点,求OP·F1P的取值范围.【解析】设P(x0,y0),由题目可知x023-y02=1,且x03,又F1(-2,0),所以OP·F1P=(x0,y0)·(x0+2,y0)=x02+2x0+y02=x02+

17、2x0+x023-1=43x02+2x0-1=43x0+342-74.因为x03,所以x0=3时,OP·F1P最小,其值为3+23.即OP·F1P3+23,+).2.(2014·兰州高二检测)直线y=kx+2与双曲线x2-y2=2有且只有一个交点,那么k的值是()A.k=±1B.k=±3C.k=±1或k=±3D.k=±2【解析】选C.联立直线y=kx+2与双曲线x2-y2=2,消元,得:(1-k2)x2-4kx-6=0,当1-k2=0时,k=±1,此时方程只有一解;当1-k20时,要满足题意,=16k2+

18、24(1-k2)=0,即k=±3.综上知:k的值是k=±1或k=±3.3.(2014·温州高二检测)F是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点,过F作直线l与一条渐近线平行,直线l与双曲线交于点M,与y轴交于点N,若FM=12MN,则双曲线的离心率为()A.2B.3C.5D.10【解析】选B.不妨设F为右焦点,则F(c,0),直线l与直线y=bax平行,则l方程为:y=ba(x-c),设l与双曲线的交点M坐标为(x1,y1),与y轴交点坐标为N(0,y0),则FM=(x1-c,y1),MN=(-x1,y0-y1).由FM=1

19、2MN,得x1=23c,代入直线l方程得y1=-bc3a.又M在双曲线上,故23c2a2-bc3a2b2=1,解得c2=3a2,所以e=3.【变式训练】已知点F1,F2是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F2且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若ABF1是锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是()A.(2+1,+)B.(1,3)C.(1,1+2)D.(3,+)【解析】选C.设F2(c,0),将x=c代入双曲线方程,得y=±b2a,令Ac,b2a,Bc,-b2a,由ABF1是锐角三角形,可得tanAF1F2=b2a2c<1,故b

20、2<2ac,所以c2-2ac-a2<0,两边同除以a2可得e2-2e-1<0,可解得1-2<e<1+2,又e>1,故1<e<1+2,选C.4.(2014·黄石高二检测)已知平面上两点M(-5,0)和N(5,0),若直线上存在点P使|PM|-|PN|=6,则称该直线为“单曲型直线”,下列直线中是“单曲型直线”的是()y=x+1;y=2;y=43x;y=2x+1.A.B.C.D.【解析】选D.因为|PM|-|PN|=6,所以点P在以M,N为焦点的双曲线的右支上,即x29-y216=1(x>0).对于,联立x29-y216=1,y=x+

21、1,消y得7x2-18x-153=0,因为=(-18)2-4×7×(-153)>0,所以y=x+1是“单曲型直线”.对于,联立x29-y216=1,y=2,消y得x2=454,所以y=2是“单曲型直线”.对于,联立x29-y216=1,y=43x,整理得0=1,不成立,所以y=43x不是“单曲型直线”.对于,联立x29-y216=1,y=2x+1,消y得20x2+36x+153=0,因为=362-4×20×153<0,所以y=2x+1不是“单曲型直线”.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014·哈尔滨高二检测)双曲线C的中心

22、为原点O,焦点在x轴上,一条渐近线记为l1,经过右焦点F且垂直于l1的直线交l1于A.已知|OA|=2|FA|,则双曲线C的离心率为.【解析】不妨设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),则两条渐近线方程分别为l1:y=bax,l2:y=-bax.w w w .x k b 1.c o m因为|OA|=2|FA|,所以ba=|FA|OA|=12,即c2-a2a=12,所以e=52.答案:526.(2014·莆田高二检测)已知直线x=3与双曲线C:x29-y24=1的渐近线交于E1,E2两点,记OE1=e1,OE2=e2,任取双曲线上的点P,若OP=ae1+b

23、e2(a,bR),则下列关于a,b的表述:4ab=1;0<a2+b2<12;a2+b21;a2+b212;ab=1,其中正确的是.【解题指南】由已知条件,求出E1,E2点的坐标,表示出向量OE1,OE2及向量OP,从而得出点P的坐标代入双曲线方程,得出a,b的关系求解.【解析】由双曲线x29-y24=1,得渐近线方程y=±23x,所以E1(3,2),E2(3,-2),所以OE1=e1=(3,2),OE2=e2=(3,-2),OP=ae1+be2=a(3,2)+b(3,-2)=(3(a+b),2(a-b).又点P在双曲线C上,故(a+b)2-(a-b)2=1,所以得4ab=

24、1,故正确.又a2+b22ab=12,所以正确.答案:三、解答题(每小题12分,共24分) 新 课 标 第 一 网7.(2014·南昌高二检测)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),如图,B是右顶点,F是右焦点,点A在x轴正半轴上,且满足:|OA|,|OB|,|OF|成等比数列,过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l,垂足为P.(1)求证:PA·OP=PA·FP.(2)若l与双曲线C的左右两支分别相交于点E,D,求双曲线离心率e的取值范围.【解析】(1)双曲线的渐近线为y=±bax,F(c,0),所以直线l的斜率为:-

25、ab,所以直线l:y=-ab(x-c).由y=-ab(x-c),y=bax,得Pa2c,abc,因为|OA|,|OB|,|OF|成等比数列,所以xA·c=a2,所以xA=a2c,Aa2c,0,PA=0,-abc,OP=a2c,abc,FP=-b2c,abc所以PA·OP=-a2b2c2,PA·FP=-a2b2c2,则PA·OP=PA·FP.(2)由y=-ab(x-c),b2x2-a2y2=a2b2得,b2-a4b2x2+2a4b2cx-a4c2b2+a2b2=0,因为点E,D分别在左右两支上,所以-a4c2b2+a2b2b2-a4b2<0,所以b2>a2,所以e2>2,所以e>2.8.(2014·长春高二检测)已知双曲线x2a2