人教版高中数学必修第二册课堂练习课件6.4.3《第1课时余弦定理》(含答案)

1、-1-第1课时余弦定理课前篇自主预习一二一、余弦定理1.思考在ABC中,三个角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设 ,已知两条边长a,b和它们的夹角C.(1)从向量角度考虑,边c的长度可以看作什么?课前篇自主预习一二2.填空(1)文字语言:三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.(2)符号语言:在ABC中,a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C.3.做一做(1)在ABC中,若AB=1,AC=3,A=60,则BC=;(2)已知ABC是等腰三角形,且a=c=5,B =120,则b=.课前

2、篇自主预习一二二、余弦定理的推论1.思考(1)在ABC中,三个角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知a,b和角C,如何求边c?提示c2=a2+b2-2abcos C.(2)在c2=a2+b2-2abcos C中,如果已知三条边a,b,c,能否求出cos C?2.填空(2)一般地,三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.课前篇自主预习一二3.做一做 课前篇自主预习一二(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.在ABC中,若a2+b2c2,则ABC是钝角三角形.()在ABC中,若ABC是钝角三

3、角形,则必有a2+b2c2.()答案:课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练已知两边及一角解三角形已知两边及一角解三角形分析(1)已知两边及其夹角,可直接利用余弦定理求出第三条边;(2)已知两边及一边的对角,可利用余弦定理求解.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟反思感悟 已知三角形的两边及一角解三角形的方法已知三角形的两边及一角解三角形,必须先判断该角是给出两边中一边的对角,还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角,可以由余弦定理求第三边;若是给出两边中一边的对角,可以利用余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第三边.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练

4、课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练已知三边解三角形已知三边解三角形例例2(1)在ABC中,若a2+b2+ab=c2,则角C=;分析(1)根据已知条件结合余弦定理的变形求解;(2)先由三边的比值设出三边的长度,再利用余弦定理的变形求解.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟反思感悟 已知三角形的三边解三角形的方法1.先利用余弦定理求出一个角的余弦,从而求出第一个角;再利用余弦定理或由求得的第一个角,利用正弦定理求出第二个角;最后利用三角形的内角和定理求出第三个角;2.利用余弦定理求出三个角的余弦,进而求出三个角.课堂

5、篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练利用余弦定理判断三角形形状利用余弦定理判断三角形形状例例3(1)在ABC中,(a+b+c)(a+b-c)=3ab且2cos Asin B=sin C,试判断三角形的形状;(2)在ABC中,若acos B+acos C=b+c,试判断该三角形的形状.分析(1)利用余弦定理及已知求出角C,再由三角恒等变换确定角A与角B的关系,进而判断三角形形状;(2)利用余弦定理将角转化为边,通过代数变形判断三角形的形状.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解:(1)A+B+C=180,sin C=sin(A+

6、B).2cos Asin B=sin C,2cos Asin B=sin Acos B+cos Asin B,sin Acos B-cos Asin B=0,sin(A-B)=0.0A180,0B180,-180A-B180,A-B=0,即A=B.又(a+b+c)(a+b-c)=3ab,a2+b2-c2=ab,cos C= .0Cc2,且b2+c2a2,且c2+a2b2.(3)ABC为钝角三角形a2+b2c2或b2+c2a2或c2+a2b2.(4)若sin 2A=sin 2B,则A=B或A+B= .课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练变式训练2在ABC中,内角A,B,C所对

7、的边分别为a,b,c,若c2=bccos A+cacos B+abcos C,则ABC是三角形.(填“锐角”“直角”或“钝角”)答案:直角课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练余弦定理的另外两种证法方法一(几何法)按照三角形的分类,分三种情形证明.(1)在RtABC中,如图(1),满足勾股定理:c2=a2+b2,因为cos C=0,所以c2=a2+b2-2abcos C;图(1) 课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练(2)在锐角ABC中,如图(2),作CDAB于点D,有CD=asin B,BD=acos B,AD=AB-BD=c-acos B,b2=CD2+AD2=(as

8、in B)2+(c-acos B)2=a2+c2-2acos B;同理可证:c2=a2+b2-2abcos C,a2=b2+c2-2bccos A.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练(3)在钝角ABC中,如图(3),作CDAB,交AB的延长线于点D,则CD=asinCBD=asinABC,BD=acosCBD=-acosABC,AD=AB+BD=c-acosABC,b2=CD2+AD2=(asinABC)2+(c-acosABC)2=a2+c2-2accosABC.同理可证:c2=a2+b2-2abcosACB,a2=b2+c2-2bccos A.综上所述,在任意的三角形中,余弦

9、定理总是成立.图(3) 课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练方法二(解析法)对于任意一个ABC,建立直角坐标系如图(4)所示,则A(bcosACB,bsinACB),B(a,0).根据两点间的距离公式,有:c2=|AB|2=(bcosACB-a)2+(bsinACB)2=a2+b2-2abcosACB,即c2=a2+b2-2abcosACB,同理可证:a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accosABC.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练答案:A 课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练2.在ABC中,a=1,b= ,c=2,则B等于()A.30B.45C.60D.120答案:C课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练3.已知ABC,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则以下为钝角三角形的是()A.a=3,b=3,c=4B.a=4,b=5