复合函数求导

1、为常数）(x)x)(2(11)a0,lna(aa)a)(3 (xx且1)a, 0a (xlna1)xlog)(4(a且sinx(8)(cosx) e)e)(5 (xxx1(6)(lnx) cosx )sinx)(7 (基本求导公式基本求导公式: :知识回顾知识回顾：)( 0,)(1 (为常数特殊的：CCkbkx根据导数的概念，求函数导数的过程可以根据导数的概念，求函数导数的过程可以用下面的流程图来表示用下面的流程图来表示 ）（给定函数xfy xxfxxfxy）（）（计算 0 x )(xAxy )()(xAxf 法则法则1 1: : 两个函数的两个函数的和（或差）的和（或差）的导数导数，等于这两

2、个函数的导数的和，等于这两个函数的导数的和（或差），即：（或差），即：).()( )()(xgxfxgxf法则法则2:2:).( )(为常数CxfCxCf法则法则3:3:两个函数的两个函数的积的导数积的导数，等于，等于第一个函数的导数第一个函数的导数乘乘以第二个函数以第二个函数加加上第一个函数上第一个函数乘乘以第二个函数以第二个函数的导数的导数).()()()( )()(xgxfxgxfxgxf法则法则4 4 : :两个函数的两个函数的商的导数商的导数，等于分，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方与分子的积，再除以分母的平方,

3、,即：即： )()()()()()()(2xgxgxfxgxfxgxf0)(xg其中求下列函数的导数求下列函数的导数:222212(1);(2);1(3)tan;(4)(23) 1;yxxxyxyxyxx答案答案:;41) 1 (32xxy ;)1 (1)2(222xxy ;cos1)3(2xy ;16)4(23xxxy 简单复合函数简单复合函数 的导数的导数复合函数复合函数:)(ufy )(xu 由几个函数复合而成的函数，叫复合函数由几个函数复合而成的函数，叫复合函数由函数由函数 与与 复合而成复合而成的函数一般形式是的函数一般形式是，其中其中u称为中间变量称为中间变量)(xfy目前我们所研

4、究的简单复合函数的导数目前我们所研究的简单复合函数的导数仅限于形如仅限于形如f（ax+b）的复合函数）的复合函数求函数求函数 的导数的导数 。2(32)yx方法一：方法一：22(32) (9124) 1812xyxxxx问题探究问题探究： 2(32)yx2()2uyuu(32)3xuxxuxuyy方法二：方法二：2yu32ux看作是函数看作是函数 和函数和函数复合函数，并分别求对应变量的导数如下：复合函数，并分别求对应变量的导数如下：两个导数相乘，得两个导数相乘，得 从而有从而有 12183) 23 ( 232 xxuuyxu将函数将函数； 问题探究问题探究： 考察函数考察函数 的导数的导数

5、。xy2sinxxxycossin22sin:一方面xxxxxxxxxx2cos2sin2cos2)(cossin2cos)(sin2)cossin2()2(sin22 xyxuxuyy另一方面：另一方面：复合函数，并分别求对应变量的导数如下：复合函数，并分别求对应变量的导数如下：两个导数相乘，得两个导数相乘，得 从而有从而有 x2cos2xy2sinuysin看作是函数看作是函数 和函数和函数xu2uuyucos)(sin2)2(xux将函数将函数2)(cos uuyxu分分解解求求导导相相乘乘回回代代建构数学建构数学 对于一般的复合函数，结论也成立对于一般的复合函数，结论也成立 。 复合函

6、数的求导法则复合函数的求导法则 复合函数对自变量的导数，等于已复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数量对自变量的导数 ，即，即一般地，我们有一般地，我们有u=ax+b时，有时，有ayyux即：若若 y=f(u),u=ax+b，则，则xuxuyyxuxuyy复合函数求导的基本步骤是：复合函数求导的基本步骤是：(1)分解分解(2)求导求导(3)相乘相乘(4)回代回代 数学运用数学运用试说明下列函数是怎样复合而成的试说明下列函数是怎样复合而成的)21cos()4(;131)3()15ln()2(;)32()1(3xyxyxy

7、xy数学运用数学运用求下列函数的导数：求下列函数的导数：)21cos()4(;131)3()15ln()2(;)32()1(3xyxyxyxyuycos21xuuylnxuln)1cos(2xy)ln(ln xy 例例写出由下列函数复合而成的函数写出由下列函数复合而成的函数, ,并并求它们的导数。求它们的导数。 ，；，解：解： )1sin(22xxy1)ln(xxy 1、求下列函数的导数：、求下列函数的导数：xyeyxyxyx1ln)4( ;) 3(;)31 ()2( ;) 32() 1 (2322、求曲线、求曲线y=sin2x在点在点P(，0）处的）处的切线方程。切线方程。小结小结 ： 复合

8、函数的求导，要注意分析复复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导；再用复合函数的求导法则求导； 复合函数求导的基本步骤是：复合函数求导的基本步骤是： 分解分解求导求导相乘相乘回代回代 练习：练习：课本课本 P P2424 练习练习No.3No.3；课本课本 P P2222No.6. No.6. 求下列函数的导数求下列函数的导数:解解:)()(xxxxxxy12124333(2)51 xxy解解:)()(xxxxy115154)()(1161242233x

9、xxxx43121)( )(xxxy5654151)(xx25411151)()(xxx “可导的偶函数的导函数为奇函数可导的偶函数的导函数为奇函数;可导的奇函数可导的奇函数的导函数为偶函数的导函数为偶函数”.现在利用复合函数的现在利用复合函数的导数加以证导数加以证明明:证证:当当f(x)为为可导的偶函数可导的偶函数时时,则则f(-x)=f(x).两边同时对两边同时对x 求导得求导得: ,故故 为为 奇函数奇函数.)()()()(xfxfxfxxf )(xf 同理可证另一个命题同理可证另一个命题. 我们还可以证明类似的一个结论我们还可以证明类似的一个结论:可导的周期函数可导的周期函数的导函数也

10、是周期函数的导函数也是周期函数.证证:设设f(x)为为可导的周期函数可导的周期函数,T为其一个为其一个周期周期,则对定义则对定义 域内的每一个域内的每一个x,都有都有f(x+T)=f(x). 两边同时对两边同时对x求导得求导得: 即即 也是以也是以T为为周期的周期函数周期的周期函数.),()(xfTxTxf ).x (f)Tx (f) x (f例例5:设设f(x)可导可导,求下列函数的导数求下列函数的导数: (1)f(x2);(2)f( );(3)f(sin2x)+f(cos2x)21 x 解解: );(2)()() 1 (222xf xxxfy );1(1122)1() 2(2222xfxx

11、xxxfy ).(cos)(sin2sin)sin(cos2)(coscossin2)(sin)(cos(cos)(sin(sin )(cos)(sin) 3(2222222222xfxfxxxxfxxxfxxfxxfxfxfy 说明说明:对于抽象函数的求导对于抽象函数的求导,一方面要从其形式是把握其一方面要从其形式是把握其结构特征结构特征,另一方面要充分运用复合关系的求导法则另一方面要充分运用复合关系的求导法则.求证双曲线求证双曲线C1:x2-y2=5与椭圆与椭圆C2:4x2+9y2=72在交在交 点处的切线互相垂直点处的切线互相垂直.证证:由于曲线的图形关于坐标轴对称由于曲线的图形关于坐标轴对称,故只需证明其中一故只需证明其中一 个交点处的切线互相垂直即可个交点处的切线互相垂直即可.联立两曲线方程解得第一象限的交点为联立两曲线方程解得第一象限的交点为P(3,2),