总习题十二高等数学同济大学第六版本

1、总习题十二1 填空(1)xy 2x2y 2x3y x41 是 _阶微分方程解 是 3 阶微分方程(2)若 M(x y)dx N(x y)dy 0 是全微分方程 则函数 M、N 应满足 _解MNyx(3)xf (x, y)dx 等价的微分方程初值问题是 _与积分方程 yx0解 方程两边对 x 求导得 y f(x y) 显然当 x x0 时 y 0 因此与积分方程等价的微分方程初值问题是y f(x y) y |x x00(4)已知 y 1、y x、yx2 是某二阶非齐次线性微分方程的三个解则该方程的通解为 _解 容易证明非齐次线性微分方程的任意两个解的差是对应齐次线性微分方程的的解 因此 y1 x

2、 1和 y2 x2 1 都是对应齐次线性微分方程的的解显然1 与 y2 是线性无关所以非齐次线性微分方程的通解为yy C1(x 1)C2(x21) 12 求以下列各式所表示的函数为通解的微分方程(1)(x C)2 y2 1(其中 C 为任意常数 )解 将等式变形xC1y2两边对 x 求导得1yy1 y2从而 1 y2 y2y 2即所求微分方程为y2(1 y 2) 1(2)y C1ex C2e2x(其中 C1 、C2 为任意常数 )解 两边对 x 求导得x2x2xyC1e2C2ey C2e即y y C2e2x (1)再求导得yy 2C2e2x(2)(2) (1) 2得y2y y 2y即所求微分方

3、程为 y3y 2y03 求下列微分方程的通解(1) xyy2 xy解 将方程变形为y1y1即 ( y)1y12 y2xx2xx其通解为1111 (x C)y e2x dx (e 2x dxdx C )xx即原方程的通解为y( x C )2x(2) xy ln xyax(ln x1)解 将方程变形为y1ya(11)xln xln x其通解为y e1dxa(111dx1 (axln x C )xln x)e xln xdx C ln xln x即原方程的通解为 yaxCln x(3) dyydx2(ln yx)解 将方程变形为dx2 x2ln ydyyy其通解为2 dy2ln y2 dy1212y

4、yx e(yedy C)y2( y ln y2yC)1 C即原方程的通解为 x ln y 2 y2(4) dy xy x3 y3 0 dx解 将方程变形为1 dyxy 2x3 即 d( y 2) 2xy 22x3y3 dxdx其通解为y 2e 2 xdx ( 2x3)e 2 xdxdx C ) ex2 (x2e x2 e x2 C)即原方程的通解为y 2Cex2x2 1(5) xdxydxxdy0ydyy2x2解 因为x d x y d y d( x2y2 )2y d x x d y1y d x x d yx2y21(x)2y2y1d( x) d( a r c t xa) n1(x)2yyy所

5、以原方程可写成d (x2y2x2a r c t a)n 02y从而原方程的通解为x2y2xC2ar c t any(6) yyy 210解 令 yp 则 yp dp原方程化为dyyp dpp210dy或d( p2)2 p22dyyy其通解为2 dy2 dyp2 e y (2 e y dy C) y2( y 2 C) Cy2 1y于是yCy21即dydx (C C21 )(C y)211积分得l nC( y(C y)21)x C211化简得原方程的通解 y1 ch( xC2)C1(7) y 2y5ysin2x解 齐次方程 y2y5y0 的特征方程为 r 22r 5 0其根为 r1 212i因为

6、f(x) sin2xi 2i 不是特征方程的根所以非齐次方程的特解应设为y* Acos2x Bsin2x代入原方程得(A 2B)cos2x (B 4A)sin2x sin2x比较系数得A41B1717y*417cos2x1 sin2x17因此原方程的通解为yex (C1 cos2xC2sin 2x)417cos2x117s i n2x(8) y y2yx(ex 4)解 齐次方程 y y2y0 的特征方程为 r 3r 2 2r0其根为 r1 0 r2 1 r3 2齐次方程 yy 2y0 的通解为 y C1C2exC3e 2x原方程中 f(x)121x2(x) 4xf (x)f (x)其中 f (

7、x)xef对于方程 yy 2yxex因为1 是特征方程的根故其特解可设为y1 * x(Ax B)ex代入 y y 2yxex 得(6Ax 8A 3b)ex xex比较系数得 A1B4故 y1*x(1 x4)ex6969对于方程 yy 2y4x因为0 是特征方程的根故其特解可设为y2 * x(Cx D)代入 y y 2y4x 得4Cx 2C 2D 4x比较系数得 C1D 1故 y2* x(x 1)因此原方程的通解为y C Cex C e 2x ( 1 x2 4 x)ex x2 x12369(9) (y4 3x2)dyxydx 0解 将原方程变形为x dx3 x2y3或 d( x2)6 x22y3

8、dyydyy其通解为x26 dy6 dy2 C )e y ( 2 y3)eydy C y6 (y即原方程的通解为x2 y4 Cy6(10) yxx2y解 令 ux2 y则 y u2 x2dy2u du2x 故原方程化为dxdx2u du x u即 du 1 ( x) 1dxdx2 u2这是齐次方程因此令 uz则 u xzdu z x dz 则上述齐次方程化为xdxdxz x dz11即 x dz1 (2z 1 1)dx2z2dx2z分离变量得zdz1 dx2z2 z12 x积分得 1 ln(2z3 3z21)1 ln xC162即2z3 3z21 Cx 3 (Ce6C1)将 z u 代入上式得

9、 x2u3 3xu2 x3 C再代入 ux2y得原方程的通解 2 ( x2y)32x3 3xyC4 求下列微分方程满足所给初始条件的特解(1) y3dx 2(x2 xy2 )dy 0 x 1 时 y 1解 原方程变形为dx2 x23 x2dyyy即x 2 dx2 x 12dyyy3或d( x 1)212dyy xy3其通解为2 dy212 (2ln y C)x 1ey(23 e y dy C)yy即原方程的通解为y2 x(2ln y C)由 y|x 1 1得 C 1故满足所给初始条件的特解为y2 x(2ln y 1)(2) yay 2 0 x 0 时 y 0 y1解 令 yp则原方程化为dpa

10、p2 0dx分离变量得dpa d xp2两边积分得1axC1即 y1pax C1代入初始条件 y (0)1得C1 1故y1ax1方程两边积分得y1 l nax( 1) C2a代入初始条件 y(0) 0 得 C20因此满足所给初始条件的特解为 y1 ln( ax 1)a(3) 2ysin2y 0 x 0 时 yy12解 令 yp则原方程化为2 pdps i n2y0dy分离变量得2pdp sin2ydy两边积分得p21 c o 2sy C21代入初始条件 y (0)1 得C112因而y21y12ys i n2c o 2s2即y sin y分离变量得dydxsin y两边积分得1 ln 1c o

11、syx C221c o sy代入初始条件 y(0)得C2 02因此满足所给初始条件的特解为x1 ln 1cos y21cos y(4) y2y y cos x x0 时 y 0y32解 齐次方程 y2yy 0 的特征方程为r 22r10其根为 r1 21齐次方程 y2yy0 的通解为 y (C12xC x)e因为 f(x)cos xii 不是特征方程的根所以非齐次方程的特解应设为y*Acos x Bsin x代入原方程得2Asin x 2Bcos x cos x比较系数得 A 0B1故 y*1 sin x从而原方程的通解为22y(CCx)e x1 si nx122将初始条件代入通解得C101

12、3 C1C22 2解之得C10C21因此满足所给初始条件的特解为y xe x 1 sin x 25 已知某曲线经过点 (1 1) 它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标求它的方程解 设点 (x y)为曲线上任一点则曲线在该点的切线方程为Y y y (X x)其在纵轴上的截距为 yxy因此由已知有y xy x 即 y1 y1x这是一个一阶线性方程其通解为1 dx1 dxdx Cx( ln x C)y e x ( 1)ex即方程的通解为 y x(Cln x)由于曲线过点 (1 1)所以C1因此所求曲线的方程为 y x(1ln x)6 已知某车间的容积为 30 30 6m3 其中的空气含 0 12%

13、的 CO2(以容积计算)现以含 CO2的新鲜空气输入问每分钟应输入多少才能在30min后0 04%使车间空气中 CO2 的含量不超过 0 06%?(假定输入的新鲜空气与原有空气很快混合均匀后 以相同的流量排出 )解 设每分钟应输入的空气为 a m3 t 时刻车间中 CO2 的浓度为 x(t) 则车间中 CO2 的含量 (以体积计算 )在 t 时刻经过 dt min 的改变量为30 30 6 dx 0 0004adt axdt分离变量得1dxa dtx 0.00045400由于 x 0 0004 故两边积分得ln( x 0.0004)a t ln C5400a t即x 0.0004 Ce 540

14、0由于开始时车间中的空气含0 12%的 CO2 即当 t 0 时 x 0 0012 代入上式at得 C 0 0008 因此 x0.00040.0008e 5400由上式得 a5400ln x 0.004t0.0008由于要求 30min 后车间中 CO2 的含量不超过 0 06%即当 t 30 时 x 0 0006将 t 30 x 0 0006 代入上式得 a 180ln 4 250因为 x0.0008 e5400x 0 0006a t54000所以 x 是 a 的减函数考试当 a 250 时可保证因此每分钟输入新鲜空气的量不得小于250m37 设可导函数 (x)满足x(x)c o xs 2(

15、t) s i nt d t x 10求 (x)解 在等式两边对 x 求导得(x)cos x(x)sin x2(x)sin x 1即(x) tan x(x)sec x这是一个一阶线性方程其通解为(x)e ta xdxn (s e cxe t a xdxndx C )cos x(tan xC) sin x Ccos x在已知等式中令 x0 得(0)1 代入通解得 C 1故 (x) sin x cos x8设函数 u f(r)rx2y2z2 在 r0 内满足拉普拉斯 (Laplace)方程2u2u2u0x2y2z2其中 f(r)二阶可导且 f(1)f(1) 1试将拉普拉斯方程化为以r 为自变量的常微

16、分方程并求 f(r)解 因为 r22xz2xxx2y2r所以uf (r )rx f(r)xxr2urx rr2x2f (r )x2f (r )x f (r ) x f (r ) rx2r 2rxr 3r 2同理可得2ur 2y2y22u r 2 z2z2y2r 3f (r)r 2 f (r )z2r 3f (r )r 2 f (r )2u2u2u 3r 2 x2 y2 z2f(r )x2y2 z2于是y2z2r 3r 2f (r)x22r 2f(r )f (r )2 dud 2ur 3r drdr 2因此拉普拉斯方程化为2 du d 2u0 即 d2u2 du0r drdr 2dr 2r dr

17、令 du p(r ) 则以上方程进一步变成 dr2 pdp 0即 dp2 p0rdrdrr其通解为pC e2 drC1即 duC1r1r 2drr 2由于 f(1)1即 r1 时 du1所以C11du1drdrr 2在方程 du1的两边积分得drr 2u1Cr2又由于 f(1)1即 r1 时 u1所以 C22从而 u12即 f (r )12rr9 设 y1 (x)、y2(x)是二阶齐次线性方程 y p(x)yq(x)y 0 的两个解令W (x)y1(x) y2( x)(x) y1( x) y2(x)y1( x) y2y1(x) y2( x)证明(1) W(x)满足方程 Wp(x)W 0证明 因为 y1(x)、y2(x)都是方程 yp(x)yq(x)y 0