直线的倾斜角与斜率清实

1、2021/2/1111、让学生让学生理解直线的倾斜角和斜率的概念理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两掌握过两点的直线的斜率公式。点的直线的斜率公式。2、培养学生的数形结合思想、分类讨论的思想及公、培养学生的数形结合思想、分类讨论的思想及公式应用能力。式应用能力。3、通过创设问题情景和多媒体教学、通过创设问题情景和多媒体教学,让学生在参与中让学生在参与中感受和体验数学美，激发学生的学习兴趣和求知欲望感受和体验数学美，激发学生的学习兴趣和求知欲望。 二、教学重点教学重点:直线倾斜角和斜率的概念直线倾斜角和斜率的概念,过两点的直过两点的直线的斜率公式。线的斜率公式。三、教学难点教学难点:斜率概念的

2、学习和过两点的直线的斜斜率概念的学习和过两点的直线的斜率公式的建立。率公式的建立。一、教学目标教学目标:2021/2/112问题问题1:如何确定一条直线在直角坐标如何确定一条直线在直角坐标 系的位置呢系的位置呢? 两点或一点和方向两点或一点和方向问题问题2:如果已知一点还需附加什么条如果已知一点还需附加什么条件件,才能确定直线才能确定直线? 方向方向问题问题3：如何表示方向？：如何表示方向？ 用角用角2021/2/113一、直线的倾斜角1、直线倾斜角的定义: 当直线 L 与X轴相交时,我们取X轴作为基准,X轴正向与直线L 向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角倾斜角注意: (1)直线向上方向;

3、(2)X轴的正方向。x0y2021/2/114例例1.1.下列四图中下列四图中, ,表示直线的倾斜角的是表示直线的倾斜角的是( )练习巩固倾斜角的概念练习巩固倾斜角的概念: ayxoAyxoaBayxoCyxaoDA 2021/2/115xyol l1 1l l2 2l l3 3想一想想一想1l2l3l例例2.看看这三条直线看看这三条直线,它们倾斜角的大它们倾斜角的大小关系是什么小关系是什么?设设 、 、分别为分别为 、 、2311232021/2/116poyxlypoxlpoyxlpoyxl规定规定:当直线和当直线和x轴平行或重合时轴平行或重合时, 它的倾斜角为它的倾斜角为02 2、直线的

4、倾斜角范围的探索直线的倾斜角范围的探索由此我们得到直线倾斜角由此我们得到直线倾斜角的范围为的范围为:)180,0oo 2021/2/117想一想想一想你认为下列说法对吗你认为下列说法对吗?1、所有的直线都有唯一确定的倾斜、所有的直线都有唯一确定的倾斜 角与它对应。角与它对应。2、每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线。、每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线。对错2021/2/1183、直线倾斜角的意义直线倾斜角的意义 体现了直线对轴正方向的倾斜程度 在平面直角坐标系中,每一条直线都有一个确定的倾斜角。 倾斜角倾斜程度 2l3lx1lyo倾斜角相同能确定一条直线吗?相同倾斜角可作无数互相平行的直线20

5、21/2/1194 4、如何才能确定直线位置、如何才能确定直线位置? ?一点+倾斜角 确定一条直线 过一点且倾斜角为 能不能确定一条直线？ a（两者缺一不可） 能 x0y2021/2/1110日常生活中日常生活中,还有没有表示倾斜程度的量还有没有表示倾斜程度的量?前进量前进量升升高高量量前前进进量量升升高高量量坡坡度度（比比）2021/2/1111二、直线的的斜率如上面例子图中如上面例子图中,我们经常用我们经常用“升高量与前进量的比升高量与前进量的比”表示倾斜面的表示倾斜面的“坡度坡度”（倾斜程度）（倾斜程度）,即即前进量升高量坡度 升高量前进量A B C D 设直线的倾斜程度为K ABBCA

6、CkABBDADktantan2021/2/11121、直线斜率的定义:例如: 30a3330tank45a145tank60a360tank定义定义：倾斜角不是倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切的直线，它的倾斜角的正切 叫做这条直线的斜率。斜率通常用叫做这条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：表示，即：00tan ,0180k2021/2/1113120a当是锐角时，tan)180tan(360tan)120180tan(120tank135a145tan)135180tan(135tank150a3330tan)150180tan(150tank0a00tank2021/2/1114?9

7、0ka时当不存在即不存在kaa)(tan90 思考：当直线与 轴垂直时，直线的倾斜角是多少？xxyo2021/2/1115应用斜率定义解题应用斜率定义解题:Oxy121l2l例例1：如图，直线如图，直线 的倾斜角的倾斜角 =300，直线，直线l2l1，求，求l1，l2 的斜率。的斜率。11l. 3120tan,3330tan21kk2021/2/1116例2 直线 l1、 l、 l的斜率分别是k1、 k、 k,试比较斜率的大小l1ll231kkk2021/2/1117例例3 3、 填空题填空题（1 1） 若若 则则k=_ k=_ 若若3,_k 则060（2 2） 若若 ，则，则 ； 若若)60

8、,30(00_k _),33, 3(则k（3 3）若）若 则则 的取值范围的取值范围 _ 若若 则则K K的取值范围的取值范围_ _ 00(60 ,150 ),) 1 , 1(k301203(,3 )300(120 ,150 )0000,45 )(135 ,180 )3(,)( 3,)3 2021/2/1118暂时小结一下暂时小结一下1 1、倾斜角的定义及其范围、倾斜角的定义及其范围2 2、斜率的定义及斜率与倾斜角的相互转化、斜率的定义及斜率与倾斜角的相互转化0001800090tan90k 不存在判断：判断：1 1、平行于、平行于X X轴的直线的倾斜角度为轴的直线的倾斜角度为0 0或或180

9、 180 2 2、直线的斜率为、直线的斜率为tan tan , ,则它的倾斜角为则它的倾斜角为 3 3、直线的倾斜角越大，则它的斜率也越大、直线的倾斜角越大，则它的斜率也越大2021/2/1119poyxlypoxlpoyxlpoyxl0 90= 90 90 180= 0k=0k 0k不存在不存在k0递增递增2021/2/1120我们知道我们知道,两点也可以唯一确定一条直线。两点也可以唯一确定一条直线。 如果知道直线上的两点如果知道直线上的两点,怎么样来怎么样来求直线的斜率求直线的斜率(倾斜角倾斜角)呢呢?所以我们的问题是所以我们的问题是:我们继续探讨本节的另一问题我们继续探讨本节的另一问题2

10、021/2/11212、探究:由两点确定的直线的斜率),(111yxP),(222yxP212112,yyxxQPP且如图,当为锐角时, 能不能构造能不能构造一个直角三一个直角三角形去求？角形去求？tankxyo1x2x1y2y),(12yxQ中在QPPRt12QPQPQPPk1212tantan1212xxyy0锐角 2021/2/1122xyo),(111yxP),(222yxP),(12yxQ如图,当为钝角是, 2121,180yyxx且tan)180tan(tan中在12QPPRtQPQP12tan2112xxyy12122112tanxxyyxxyyk01x2x1y2y钝角 2021

11、/2/1123xyo(3),(12yxQ),(111yxP),(222yxPyox(4),(12yxQ),(111yxP),(222yxP21pp1、当 的位置对调时， 值又如何呢？ k请同学们课后推导!想一想想一想?2021/2/11242、当直线平行于x轴,或与x轴重合时,上述公式还适用吗?为什么?xyo),(111yxP),(222yxP1x2x1212xxyyk00tan0k答:成立,因为分子为0,分母不为0，K=0 想一想想一想?2021/2/11254、直线的斜率公式:综上所述，我们得到经过两点),(111yxP)(21xx ),(222yxP的直线的斜率公式：)(21211212

12、xxyykxxyyk或2P2P1P1P2021/2/11261、当直线平行于y轴,或与y轴重合时,上述公式还适用吗?为什么?xyo),(111yxP),(222yxP1y2y1212xxyyk不存在不存在k)(90tan,90答:不成立,因为分母为0。想一想想一想?2021/2/11272、已知直线上两点 、 运用上述公式计算直线AB的斜率时，与A、B的顺序有关吗？),(21aaA),(21bbB1122ababkAB1122babakBA答:与A、B两点的顺序无关。2021/2/1128例例1 判断正误判断正误: 直线的斜率为直线的斜率为 ,则它的倾斜角为则它的倾斜角为 （ ） tan 因为

13、所有直线都有倾斜角因为所有直线都有倾斜角,所以所有直线都有所以所有直线都有 斜率。斜率。 （ ） 直线的倾斜角为直线的倾斜角为，则直线的斜率为，则直线的斜率为 （ ） tan 因为平行于因为平行于y轴的直线的斜率不存在轴的直线的斜率不存在,所以平所以平 行于行于y轴的直线的倾斜角不存在轴的直线的倾斜角不存在 （ ）直线的倾斜角越大直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大则直线的斜率越大 ( )( ) 典型例题剖析典型例题剖析2021/2/1129 、如图，已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2)，求直线AB、BC、CA的斜率，并判断这 些直线的倾斜角是什么角？yxo. .ABC 直线AB的斜

14、率04822ABk2184)8(022BCk14404)2(2CAk直线BC的斜率直线CA的斜率0ABk 直线CA的倾斜角为锐角直线BC的倾斜角为钝角。解: 0CAk直线AB的倾斜角为零度角。 0BCk例22021/2/1130例例3.求经过求经过A（-2,0）,B（-5，3）两点的直线的斜率和倾斜角。两点的直线的斜率和倾斜角。1 3-0解：k=-5-(-2)tan1 就是0180oo135o因此因此,这条直线的斜率是这条直线的斜率是-1,倾斜角是倾斜角是135o.2021/2/1131例例3. 已知直线已知直线 和和 的斜率分别是的斜率分别是 和和 ,求它求它们的倾斜角及确定两条直线的位置关

15、系。们的倾斜角及确定两条直线的位置关系。333解解:11tan3k 223tan3k30,12021由图可知由图可知120301l2l21ll 2021/2/1132综合拓展发展能力 例例4证明证明:A（1,3）,B（5，7），），C（10，12）三点共线。三点共线。1441537ABK1110312ACKACABKK A,B,C三点共线三点共线2021/2/1133的坐标求反射点后过点轴反射经过射出一条光线从例PNxM, )3,8(,2,25N(-8,3)M(2,2)P)0 , x(P解：设解：设 因为入射角等于反射角因为入射角等于反射角PNMPKK x83x22 2x 解得解得)0 , 2

16、(P 反射点反射点知识探究（一）知识探究（一）:两条直线平行的判定两条直线平行的判定 思考思考1:1:在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,已知已知一条直线的倾斜角为一条直线的倾斜角为40400 0,那么这条直那么这条直线的位置是否确定线的位置是否确定?O Oy yx xl1 1l2 21 12 2思考思考2:2:若两条不同直线的倾斜角相若两条不同直线的倾斜角相等等,这两条直线的位置关系如何这两条直线的位置关系如何?反之成立吗反之成立吗?思考思考4:4:若两条不同直线的斜率相等若两条不同直线的斜率相等, ,这两条直线的位置关系如何这两条直线的位置关系如何? ?反之成反之成立吗立吗? ? 思考思

17、考3:3:如果如果1 12 2, ,那么那么tantan1 1tantan2 2成立吗成立吗? ?反之成立吗反之成立吗? ? 思考思考6:6:对任意两条直线对任意两条直线, ,如果它们的如果它们的斜率相等斜率相等, ,这两条直线一定平行吗这两条直线一定平行吗? ? 思考思考5:5:对于两条对于两条不重合不重合的直线的直线l1 1和和l2 2, ,其斜率分别为其斜率分别为k k1 1, ,k k2 2，根据上述分析，根据上述分析可得什么结论可得什么结论? ? 1212/llkk 知识探究（二）知识探究（二）:两条直线垂直的判定两条直线垂直的判定 思考思考1:1:如果两直线垂直如果两直线垂直,这两

18、条直线的这两条直线的倾斜角可能相等吗倾斜角可能相等吗? 思考思考2:2:如图，设直线如图，设直线l1 1与与l2 2的倾斜角分别为的倾斜角分别为1 1与与2 2，且，且1 12 2，若若l1l2 2，则，则1 1与与2 2之间有什么关系？之间有什么关系？y yl1 1O Ox xl2 21 12 2思考思考3:3:已知已知 tan（900+）= - - ， 据此，你能得出直线据此，你能得出直线l1 1与与l2 2的斜率的斜率k k1 1、k k2 2之间的关系吗？之间的关系吗？ 1tan思考思考4:4:反过来反过来, ,当当k k1 1kk2 2 =-1 =-1时时, ,直线直线l1 1与与l

19、2 2一定垂直吗一定垂直吗? ? ABACkkABACkk思考思考6:6:对任意两条直线对任意两条直线, ,如果如果l1 1l2 2, ,一定有一定有k k1 1kk2 2 =-1 =-1吗吗? ? 思考思考5:5:对于直线对于直线l1 1和和l2 2, ,其斜率分别其斜率分别为为k k1 1, ,k k2 2，根据上述分析可得什么结，根据上述分析可得什么结论论? ? 12121llkk 理论迁移理论迁移 例例1 1 已知已知A A、B B、C C、D D四点的坐标四点的坐标, ,试判断直线试判断直线ABAB与与CDCD的位置关系的位置关系. .（1 1）A A（2 2, ,3 3），）， B B（4 4，0 0），）， C C（3 3，l l）, D, D（l l，2 2）; ;（2 2）A A（6 6，0 0），），B B（3 3，6 6），）， C C（0 0，3 3），）， D D（6 6，6 6） 例例2 2 已知四边形已知四边形ABCDABCD的四个顶点的四个顶点分别为分别为A A（0,00,0）,B,B（2 2，1 1），），C C（4 4，2 2），），D D（2 2，3 3），试判断四），试判断四边形边形ABCDABCD的形状，并给出证明的形状，并给出证明. .x xo oy yA AB BD DC C 例例3 3