第二章4矩阵的秩

1、14 矩阵的秩给定矩阵111212122212.nnmmmnaaaaaaAaaa 矩阵的行11112122122212(,),(,),(,),nnmmmmnaaaaaaaaa 可以看作 个 维行向量。mn矩阵的列看作n个m维列向量11121212221212,.nnnmmmnaaaaaaaaa3定义定义 行行 (列列)向量组的秩称为矩阵向量组的秩称为矩阵A的行的行(列列)秩秩.定理定理 矩阵的初等行矩阵的初等行(列列)变换不改变其行变换不改变其行(列列)秩秩.证明证明 初等行变换把行向量组变成等价向量组.1222122212122(1),;(2),0;(3),.mmmmmmkkk 难能可贵的是

2、定理定理 矩阵的初等行矩阵的初等行(列列)变换不改变其列变换不改变其列(行行)秩秩 .证明为避免复杂记号掩盖证明的实质我们针对34矩阵书写证明，并且设A的行秩为2.不妨设前2个行向量组成极大无关组.设交换前两列的位置得矩阵B.5111213141211131421222324222123243132333432313334,aaaaaaaaAaaaaBaaaaaaaaaaaa前两个向量线性无关，齐次方程组1112121212221312321412420000a xa xa xa xa xa xa xa x 只有零解. 前两个方程交换后的方程也只有零解，故B的前两个向量线性无关 .其它初等变换

3、类似.列初等变换相当对应齐次方程的初等变换，方程组同解。6三个行向量线性相关，相当齐次方程组有非零解,于是前两个方程交换后也有非零解。故B的秩也是2.其它两个列初等变换类似考虑.由证明看出，列变换保持行向量之间的线性关系，即如果 成立，则列初等变换后所得向量 满足1112123131212223231312323331412423430000a xa xa xa xa xa xa xa xa xa xa xa x 1122mmxxxo12,m 1122.mmxxxo7定理定理 矩阵矩阵A的行秩等于矩阵的列秩的行秩等于矩阵的列秩.证明证明 零矩阵的行秩和列秩都是零，自然相等.设A=(aij)mn

4、是非零矩阵,不妨设a110.进行初等变换：12122222222110000.00nnnmmnmmnaaaaaaAaaaa81001001 行秩=r,列秩=r,故行秩=列秩.推论推论 矩阵经过初等变换可以化成标准形矩阵经过初等变换可以化成标准形.定义定义 矩阵A行秩和列秩的公共值称为矩阵的秩,记作r(A).矩阵标准形定义定义 行行( 列列)满秩矩阵：满秩矩阵：r(Amn)=m(n).推论推论 r(A) min(m,n).9引理引理 如果矩阵如果矩阵A=(aij)mn中有一个中有一个r阶子式不阶子式不等于零等于零,则则r(A) r.证明 不妨设A的左上角的子式不等于零,即111212122212

5、0.rrrrrraaaaaaaaa 于是r个r维的行向量线性无关,于是原矩阵的前r个向量线性无关,故R(A) r.1011121212221112, ().nnrrrnaaaaaaAr Araaa证明证明必要性 设r(A)=r.则A的行向量组中有r个是线性无关的,不妨设是前r行向量线性无关.设定理定理 矩阵矩阵A=(aij)mn的秩等于的秩等于r 的充要条件是的充要条件是 A有一个有一个r 阶子式不等于零，并且所有阶子式不等于零，并且所有r+1阶子阶子式等于零式等于零.11A1的列向量组的秩也是r,于是有r 个列向量线性无关,不妨设就是前r 个列向量线性无关.于是1112121222120.r

6、rrrrraaaaaaaaa 如果A有r+1子式不等于零,由前面的引理,r(A) r+1,矛盾。12充分性 由于A有一个r阶子式不等于零，由引理r(A) r.A 的所有r+1阶子式等于零,由行列式展开定理,所有大于r阶的子式都等于零.如果r(A)=sr,根据必要性,A必有一个s阶子式不等于零,矛盾.故r(A)=r.13例例 化下列矩阵A为标准形, 求r(A):13452270.33912A解对矩阵A进行初等变换1345134504110411 ,012330000( )2.Ar A 14例 求矩阵A的秩，其中88231222126 .11132A 解解 对矩阵A进行行初等变换，把它化为阶梯形：

7、11132111322221260041810882340062715A1511132111320029500295 .0029500000( )2.r A 16例例 给定下列向量组，求其一个极大无关组，并且用它线性表示其余向量：1234(1, 1,2,1,0),(2, 2,4, 2,0),(3,0,6, 1, 1),(0,3,0,0,1).解一 用 作为行向量构造矩阵1234, 123411210224203061103001A 171234121314112102242030611030011121020004030304103001A 18121314121314311121020004

8、0303041030011121020004030304100040 1912131431131214321112102000403030413000401121030304120004000000 2013121432143214321123412312341231121030304120004000000( )3.=0,=.(,)(,),(,)= (,)=3,r Arr 123,. 线性性无无关21解二把所给向量作为列向量组成矩阵，并进行初等行变换，12301230120300332460000012100440001100111230123001100110001100110000000000000000A2212