循环平稳过程

1、 循环平稳过程研究循环平稳过程研究报告报告XXXX-XXXX-XXXX-XXXXXXXX-XXXX-XXXX-XXXX V1.0V1.0天津市智能信号与图像处理重点实验室天津市智能信号与图像处理重点实验室2013 年年 4 月月 21 日日内部内部 循环平稳过程研究报告天津市智能信号与图像处理重点实验室天津市智能信号与图像处理重点实验室第第 1 1 页页修订历史记录修订历史记录日期版本文档负责人修改内容 循环平稳过程研究报告天津市智能信号与图像处理重点实验室天津市智能信号与图像处理重点实验室第第 2 2 页页编制姓名签字日期电话张慧敏审查姓名签字日期电话审核姓名签字日期电话批准批准姓名签字日期

2、电话刘海涛文档评审负责人： 参加评审人员： 循环平稳过程研究报告天津市智能信号与图像处理重点实验室天津市智能信号与图像处理重点实验室第第 3 3 页页目目 录录1引言引言.41.1编写目的.41.2术语定义.41.3参考资料.41.4文档组织.42循环平稳过程理论循环平稳过程理论.52.1循环平稳过程定义.52.2循环自相关函数.72.3循环谱.82.4例子.113总结总结.13 循环平稳过程研究报告天津市智能信号与图像处理重点实验室天津市智能信号与图像处理重点实验室第第 4 4 页页1 引言引言1.1 编写目的编写目的本报告详细给出了循环平稳过程的一些基本概念，循环自相关、循环谱的定义以及它

3、们之间的关系。撰写本报告的目的是：了解和掌握循环平稳过程的基本理论和模型，为以后循环平稳信号处理方法的使用奠定基础。1.2 术语定义术语定义本文档使用以下关键术语和缩略语。英文缩写英文缩写英文全称英文全称中文名称中文名称1.3 参考资料参考资料1 DR, WILLIAM, A, GARDNER. INTRODUCTION TO RANDOM PROCESS with applications to signals and systemsM. CALIFORNIA:R.R.Donnelley&sons Company, 1989. 323-4151.4 文档组织文档组织报告第二章给出了循

4、环平稳过程的基本定义；第三章分析了循环自相关函数和循环谱基本理论，第四章介绍了谱相关的基本理论，形象直观的了解循环平稳特性。 循环平稳过程研究报告天津市智能信号与图像处理重点实验室天津市智能信号与图像处理重点实验室第第 5 5 页页2 循环平稳过程理论循环平稳过程理论在通信、遥测、雷达和声呐系统中，一些人工信号是一类特殊的非平稳信号，它们的非平稳特性表现为周期平稳。以雷达回波为例，若天线指向不变，则地杂波的回波等于照射区域所有散射体的子回波之和，虽然有随机起伏，但整体是平稳的。若天线随时间匀速转动，在一个扫描周期内，地杂波的回波则是非平稳的，但是每经过一个扫描周期后，天线指向原处，回波的非平稳

5、表现为周期平稳。此时平稳过程模型将不再使用于这种信号，因此，这里引入了循环平稳过程模型。2.1 循环平稳过程定义循环平稳过程定义一个随机过程，如果它的均值和自相关具有周期性（周期为） ，即满足： X tT （1） XXmtTmt （2）,XXRtT uTRt u那么这个随机过程叫做广义的循环平稳过程。的自相关函数，即式子（2）可以 X t写成另一种形式： （3）,2222XXRtT tTRtt其中，是一个关于两个独立变量 和的函数，且对于任何一个值，,22XRttt是关于 周期为的函数。因此，对其傅里叶级数展开得到：,22XRtttT （4） 2,22jtXXRttRe其中，傅里叶系数可以表示

6、为：XR （5） /22/21,22TjtXXTRRttedtT其中，可以取的任意整数倍。1/T这种模型对于只有一种周期的情况是适用的。对于有多个周期的情况，上述模型必须一般化，即可以取所有频率的任意整数倍。所以（5）式可以修改为： （6） /22/21lim,22ZjtXXZZRRttedtZ上述过程就叫做叫做广义渐近循环平稳过程，同样叫做渐近周期自相关,22XRtt 循环平稳过程研究报告天津市智能信号与图像处理重点实验室天津市智能信号与图像处理重点实验室第第 6 6 页页函数。把上述模型扩展到更一般化，如果一个非平稳过程存在一个周期性的频率， X t使得（6）式中定义的傅里叶系数不等于 0

7、，那么该非平稳过程叫做呈循环平稳过程。 循环平稳过程研究报告天津市智能信号与图像处理重点实验室天津市智能信号与图像处理重点实验室第第 7 7 页页2.2 循环自相关函数循环自相关函数对于（6）中定义的傅里叶系数，如果取为 0，那么它就变成了时间平均自相关，即： （7） 0XXRRfor带入时间平均的定义，可以得到： （8）/2/2/2/211lim,lim,22ZZXXZZZZRtt dtRttdtZZ上式表明，随着时间的平移是不变的。那就是说，如果 ,0XRfor，那么 0Y tX tt （9） 0YXRRfor然而，对于（6）中定义的傅里叶系数，如果取，则它是时变的它是时变的，并且是循环变

8、0化的： （10） 020jtYXRRefor其中，叫做循环自相关函数，叫做循环频率参数。所有使得的 XR 0XR的值组成的集合叫做循环频率集。 循环平稳过程研究报告天津市智能信号与图像处理重点实验室天津市智能信号与图像处理重点实验室第第 8 8 页页2.3 循环谱循环谱假设和表示的频移量，即： U t V t X t （11） jtU tX t e （12） jtV tX t e的时间平均自相关可以表示为： U t */2/2*/222/2*221lim221lim221lim22ZUZZjtjtZZZjtjtZRE U tU tdtZE X teX tedtZE X teX teZ /2/

9、2*/2/21lim22ZZZjZZjXdtE X tX tedtZRe（13）同理，的时间平均自相关可以表示为： V t （14） jVXRRe和和的时间平均互相关可以表示为的时间平均互相关可以表示为： U t V t */2/2*/222/2*/22/21lim221lim221lim22ZUVZZjtjtZZZZjtZZRE U tV tdtZE X teX tedtZE X tX tedtZ XR 循环平稳过程研究报告天津市智能信号与图像处理重点实验室天津市智能信号与图像处理重点实验室第第 9 9 页页（15）（15）式表明，一个随机过程一个随机过程的循环自相关函数就是其频移量互相关函

10、数的时的循环自相关函数就是其频移量互相关函数的时 X t间平均间平均。也就是说，如果一个随机过程的频移量之间存在相关性，那么该随机过程就是广义循环平稳过程。换句话说，如果一个随机过程是平稳的，那么它的频移量之间不存在任换句话说，如果一个随机过程是平稳的，那么它的频移量之间不存在任何相关性。何相关性。式子（11）和（12）中和的时间平均频谱可以表示为时间平均频谱可以表示为： U t V t （16） 2UXSfSf （17） 2VXSfSf和互相关谱的时间平均依据（15）可以表示为： U t V t （18） 22jfjfUVUVXXSfRedRedSf 其中就叫做循环谱或者循环谱密度。和的时间

11、平均相干函数定义 XSf U t V t为： （19） 1/21/2/ 2/ 2UVUVUVfXXXXSffSfSfSffSfSf可以看到，描述的是描述的是在频率在频率和和处频谱相干性的强弱处频谱相干性的强弱， Xf X t/ 2f/ 2f因此，也叫做的谱自相干函数。如果随机信号的谱相干函数幅度满足 Xf X t X t，则该过程在谱频率、循环频率处是完全相干的；反之，如果 1Xff 0Xf则该过程在谱频率、循环频率处是完全不相干的。f瞬时概率谱密度瞬时概率谱密度是瞬时概率自相关函数的傅里叶变换，即：是瞬时概率自相关函数的傅里叶变换，即：,XSt f （20）2,22jfXXSt fRtted

12、 循环平稳过程研究报告天津市智能信号与图像处理重点实验室天津市智能信号与图像处理重点实验室第第 1010 页页带入公式（4）和公式（18）可以的到： （21） 22222,jtjfXXjfjtXjtXSt fReedRed eSf e 将式子（4）和式子（21）写在一起即： （22） 2,22jtXXRtuRe （23） 2,jtXXSt fSf e通过上述的两个式子可以得出，平稳过程与循环平稳过程的本质区别就是循环平稳过，平稳过程与循环平稳过程的本质区别就是循环平稳过程表示出谱相关的特性程表示出谱相关的特性，并且这种谱相关特性是通过循环谱或者是循环自相关函数 XS来描述的。 XR 循环平稳过

13、程研究报告天津市智能信号与图像处理重点实验室天津市智能信号与图像处理重点实验室第第 1111 页页2.4 例子例子考虑一个调幅的正弦信号 （24） 0022011cos 222jf tjf tX tY tf tY t eY t e其中是零均值的平稳过程，乘以正弦波信号后，可以看到的频谱频移到 Y t Y t和处，所以在循环频率处有明显的谱相关。首先计算其自相关函数：0ff0ff02 f*00*00,2222cos 2cos 22222cos 2cos 2222XRttE X tX tE Y tftY tftE Y tY tftft 00002cos 2cos 2221cos 2cos 42YY

14、RftftRff t（25）将上式带入（6）中，并且代入可得：02 f 00/2200/2/2480/211limcos 2cos 421111limcos 222214ZjtXYZZZjf tjf tYZZYRRff tedtZRfeedtZR（26）上式中使用了这样一个极限：/2/2/2/2/2/2sin/ 211limlimlimlim0/ 2Zj tj Zj ZZj tZZZZZZZeeeedtZZjZjZ （27）对（26）式子两边做傅里叶变换，则可以得到 循环平稳过程研究报告天津市智能信号与图像处理重点实验室天津市智能信号与图像处理重点实验室第第 1212 页页 （28） 0124XYSfSff分别求和的均值： X t 2Xt （29） 00cos 2cos 20E X tE Y