单因素方差分析最新版本

1、第四章第四章 方差分析方差分析4.1 4.1 单因素方差分析单因素方差分析4.2 4.2 双因素方差分析双因素方差分析4.1 4.1 单因素方差分析单因素方差分析方差分析的基本概念方差分析的基本概念 单因素方差分析单因素方差分析 方差分析主要用于检验因素的不同水平对试验结果方差分析主要用于检验因素的不同水平对试验结果的影响。的影响。相同的铝合金薄板，检验不同的机器所生产的薄板的相同的铝合金薄板，检验不同的机器所生产的薄板的一、方差分析的基本概念一、方差分析的基本概念 机器为机器为因素，因素，不同的三台机器分别为因素的三个不同不同的三台机器分别为因素的三个不同例例1 1 设有三台机器设有三台机器

2、(分别记作分别记作A,B,C)，用来生产规格，用来生产规格厚度有无显著差异。这里厚度有无显著差异。这里试验的指标试验的指标就是薄板的厚度就是薄板的厚度的的水平水平。 在试验中，我们将考察的对象称为在试验中，我们将考察的对象称为试验指标，试验指标，影响影响 试验指标的条件称为试验指标的条件称为因素因素，因素所处的不同的状态，因素所处的不同的状态称为因素的不同的称为因素的不同的水平水平。 因素一般分为两类，因素一般分为两类，可控因素可控因素和和不可控因素。不可控因素。例如反应温度、原料剂量等是可以控制的，而测量误例如反应温度、原料剂量等是可以控制的，而测量误差、气象条件是不可控制的因素。差、气象条

3、件是不可控制的因素。 若在一个试验中，只有一个因素在改变，称为若在一个试验中，只有一个因素在改变，称为单因素单因素试验试验，否则称为，否则称为多因素试验多因素试验二、一元方差分析二、一元方差分析ssAAA,21 设试验因素设试验因素A 有有 个水个水 平：平： ), 2 , 1;, 2 , 1(injsi 在水在水 平平 iAin下做了下做了 次重复试次重复试 验，验， iAj水平下第水平下第 次试验次试验 ijy结果的观测值记为结果的观测值记为 ， nnii ,), 0(2 Nyijijiijij 为相应的试验误差。为相应的试验误差。 i 为第为第 个总体的均值个总体的均值 ， i siii

4、nn11 记记 ，称为总平均，称为总平均， ii 称为水平称为水平 的效应。的效应。iA从而模型可以写为：从而模型可以写为： iiiijijiijnNy0), 0(2 ), 2 , 1;, 2 , 1(injsi 表表1 试验数据的形式试验数据的形式 总体总体 观测值观测值 样本容量样本容量 s21ssnssnnyyyyyyyyy,21222211121121snnn211 1、方差分析的任务是：、方差分析的任务是： （1） 检验检验s 个总体均值是否相等，即个总体均值是否相等，即 不不全全相相等等ssHH ,:211210 （2）给出未知参数）给出未知参数 的估计的估计221, s 如果因素

5、如果因素A A的各个水平对试验结果影响相同，的各个水平对试验结果影响相同， injijiiyny11则则 应差异不大，应差异不大， iy 则则 差异应比较明显，此差异应有差异应比较明显，此差异应有系统误差系统误差所引起所引起不能再认为只有不能再认为只有随机误差随机误差造成的。造成的。其差异主要有其差异主要有随机误差随机误差造成的。造成的。若因素若因素A A的各个水平对试验结果影响不同，的各个水平对试验结果影响不同，2 2、方差分析的基本思想：、方差分析的基本思想：即若两个变差即若两个变差差别不大差别不大，通过比较二者的大小关系，通过比较二者的大小关系，说明试验因素的不同水平对试验结果影响的大小

6、。说明试验因素的不同水平对试验结果影响的大小。各个水平差异不大；各个水平差异不大；若两个变差若两个变差差别较大，则不同水平存在显著差异。差别较大，则不同水平存在显著差异。从所有观测值的总变差中分析出从所有观测值的总变差中分析出系统变差系统变差和和随机误差随机误差，记记 sinjijiyny111 sinjijTiyyS112)( sinjiiijiyyyy112)( sinjiiiijiijiyyyyyyyy1122)()(2)( sinjiiijiyyyy1122)()(AESS 3 3、平方和的分解、平方和的分解 称为称为总的离差平方和总的离差平方和，反映了全部数据间的差异。，反映了全部数

7、据间的差异。 TS 通常称为通常称为误差平方和误差平方和或或组内平方和组内平方和，反映了随，反映了随机误差的影响。机误差的影响。 ES 通常称为通常称为组间平方和组间平方和或或因素因素A A的平方和的平方和，反映了，反映了由因素由因素A的各个不同的水平引起的差异。的各个不同的水平引起的差异。 ASAETSSS 2111 injiijiyyn是来自正态总体是来自正态总体 的样本的样本),(2 iNiiniiyyy,21的样本方差，所以：的样本方差，所以：)1()(12122 injiijnyyi 4 4、 和和 的统计特性的统计特性 ASES 2121222111 iiinjssjnjjnjjE

8、yyyyyyS上述各个和式相互独立，由卡方分布可加性可得：上述各个和式相互独立，由卡方分布可加性可得： siiEnS122)1( )(22snSE 即即 siiiAnsSE122)1()( 经过一系列运算，可以证明经过一系列运算，可以证明 ： EASS 与与相互独立，相互独立，)1(22 sSA 当当 为真时，为真时，0H21 sSEA当当 不真时，不真时，0H21 sSEA当当 为真时为真时:0H)()1(snSsSFEA 不能过大不能过大 而不管而不管 是否为真，是否为真，2 snSEE0H当当 为真时为真时:0H),1()()1(snsFsnSsSFEA ),1(snsFF 因此，给定检

9、验水平因此，给定检验水平 时，拒绝域为：时，拒绝域为： 表表2 方差分析表方差分析表 来源来源 平方和平方和 均方均方自由度自由度F 因子因子 误差误差 总和总和212ynynSsiiiA 2112ynySsinjijTi ATESSS 1 ssn 1 n1 sSAsnSE )()1(snSsSEA 若记若记 , siyTinjiji, 1,1 siisinjijTyTi1.11. 表表3 方差分析表方差分析表 来源来源 平方和平方和 均方均方自由度自由度F 因子因子 误差误差 总和总和nTnTSsiiiA2.12 nTySsinjijTi2.112 ATESSS 1 ssn 1 n1 sSA

10、snSE )()1(snSsSEA 例例2 2：四种类型电路的响应时间的总体均为正态，且四种类型电路的响应时间的总体均为正态，且各总体的方差相同，但参数未知，又设各样本相互独各总体的方差相同，但参数未知，又设各样本相互独立，试取显著性水平立，试取显著性水平 检验各类电路的响应时间是否有显著性差异。检验各类电路的响应时间是否有显著性差异。 05. 0 34. 3)14, 3(76. 305. 0 F0H拒绝拒绝 来源来源 平方和平方和 均方均方自由度自由度F 因子因子 误差误差 总和总和98.31844.71446.3953141725.2876. 333.106例3 例4 5 5、未知参数的估计、未知参数的估计 不管不管 是否为真，是否为真，2 snSEE0H因此因此 为为 的无偏估计。的无偏估计。2 snSE 2 由于由于 )( yEinjijiiiynEyE 1.1)(因此因此 和和 分别为分别为 和和 的无偏估计。的无偏估计。y .iiy i 由于由于kikiyyE )(.因此因此 kikinnyyD11)(2. 而而 和和 相互独立相互独立