2016高考数学复习名师知识点总结：数列求和及数列的综合应用..

1、1 (1)等差模型：如果增加(或减少)的量是 个固定量时，该模型是等差模型，增加 (或减 数列求和及数列的综合应用 【高考考情解读】 高考对本节知识主要以解答题的形式考查以下两个问题： 1以递推公式 或图、表形式给出条件，求通项公式，考查学生用等差、 等比数列知识分析问题和探究创新 的能力，属中档题 2 通过分组、错位相减等转化为等差或等比数列的求和问题，考查等差、 等比数列求和公式及转化与化归思想的应用，属中档题. 1. 数列求和的方法技巧 (1) 分组转化法 有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形， 可转化为几 个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合

2、并. (2) 错位相减法 这是在推导等比数列的前 n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列 an bn 的前 n项和，其中an, bn分别是等差数列和等比数列. 倒序相加法 这是在推导等差数列前 n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列 (反序), 当它与原数列相加时若有公式可提， 并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序 相加法求和. (4)裂项相消法 利用通项变形，将通项分裂成两项或 n项的差，通过相加过程中的相互抵消， 最后只剩 常见的拆项公式: 11 _ 1 k(n n + k)； (2n 1)2n + 1 f 2( 詬)； 2. 数列应用题的模型 F 有限项的和这

3、种方法，适用于求通项为 1 的数列的前 n项和，其中an若为等 anan+1 差数列，则=d 丄 d anan+1 n an+1 n+ . n+ k kn + k -品. 少）的量就是公差. （2）等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型， 这个固定的数就是公比. 混合模型：在一个问题中同时涉及等差数列和等比数列的模型. 生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加 （或减少），同时又以一个 固定的具体量增加（或减少）时，我们称该模型为生长模型如分期付款问题，树木的生 长与砍伐问题等. 递推模型：如果容易找到该数列任意一项 an与它的前一项 an1（或前

4、n项）间的递推关 系式，我们可以用递推数列的知识来解决问题 考点一分组转化求和法 例 1 等比数列an中，ai, a2, a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且 ai, a2, a3中的任何两个数不在下表的同一列 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 (1)求数列an的通项公式； 若数列bn满足：bn= an+ (- 1)洛 an,求数列5的前 n项和 Sn. 解(1)当 a1 = 3 时，不合题意； 当 a1= 2 时，当且仅当 a2= 6, a3= 18 时，符合题意； 当 a1= 10 时，不合题意. 因此 a1 = 2, a2=

5、 6, a3= 18.所以公比 q = 3. 故 an= 2 3 - (n N ). 因为 bn= an+ (- 1)nln an =2 3n-1 + (- 1)nln(2 3n-1) =2 3n-1+ (- 1)nln 2 + (n- 1)ln 3 =2 3n-1 + (- 1)n(ln 2 In 3) + ( 1)nnln 3 , 所以 Sn= 2(1 + 3+ + 3n-1)+ 1 + 1- 1 + + ( 1)n (ln 2 In 3) + 1 + 2 3+ + (-1)n nln 3. n 1 一 3 n 当 n为偶数时，Sn = 2X +-ln 3 1 3 2 =3n + 2in

6、3 1; n 1 =3n In 3 In 2 1. 在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想把一般的数列求和转化 为等差数列或等比数列进行求和， 在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列， 哪些项构 成等比数列，清晰正确地求解.在利用分组求和法求和时， 由于数列的各项是正负交替 的，所以一般需要对项数 n进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式. 因吐”呻(2013 安徽)设数列an满足 a1 = 2, a2+ a4= 8,且对任意 n N*，函数 f(x) =(an an+ 1 + an + 2)X+ an+ 1COS X an + 2Sin X 满足 f = 0 (1)求数列an的通项公

7、式； 若 bn= 2 an+ 20；，求数列bn的前 n项和 Sn. 解 (1)由题设可得 f (x)= (an an+ 1 + an + 2) an+ 1Sin x an + 2COS X, ,in r, 又 f 2 = 0，则 an+ an+ 2 2an+ 1= 0, 即 2an + 1 = an + an+ 2, 因此数列an为等差数列，设等差数列an的公差为 d, a1= 2 由已知条件丨 , I_2a1 + 4d= 8 当 n为奇数时, n 1 3 Sn = 2X (In 2 In 3) + 1 3 n 1 I 2 n In 3 综上所述, 3n+ 2In 3 1, Sn = n为偶

8、数, n 1 3nln 3 In 2 1, a1 = 2, 解得 1 an = ai + (n 1)d = n+ 1. Sn= b1 + b2 + + bn= (n+3)n + 1 -寺 2 1 =n + 3n + 1 尹 考点二错位相减求和法 例 2 (2013 山东)设等差数列a*的前 n项和为 Sn,且 0= 4 S2, a2n= 2an+ 1. (1) 求数列an的通项公式； 若数列bn满足b1+也+ 3= 1 扎n N*，求bn的前 n项和 Tn. a1 a2 an 2 解(1)设等差数列an的首项为 a1,公差为 d, S4= 4S2, 由 得 a1 = 1, d = 2, Ia2

9、n= 2an+ 1 所以 an= 2n 1(n N*). 丄* b1 b2 bn “ 1 *金 (2) 由已知一+ + = 1 了 , n N , a1 a2 an 2 一得:“=吕， an 2 b1 1 又当 n= 1 时，? = 1 也符合上式, a1 2 bn1 * 2n 1 * 所以学=歹(n N )，所以 bn= 厂(n N ). 所以 Tn = b1 + b2+ b3 + + bn 1 _5 2n 1 =2+歹 + 2+ 2 1 1 3 2n 3 2n 1 2Tn= 22+ 23+ + 2n + 2*+1 . 两式相减得:(2)bn = 2 n + 1 + 丄 2n +1 = 2(

10、n + 1) + 2n, b1 + a b2 + + a2 bn 1 =1 an 1 3 2n 1 2 2n 1 2n+1 . 2n+ 3 所以 Tn= 3 n- 辰討 T 错位相减法求数列的前 n项和是一类重要方法在应用这种方法时，一定要 抓住数列的特征，即数列的项可以看作是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所 得数列的求和问题. 因融设数列an满足 a1 = 2, an + 1 an= 3 2 亦1 (1) 求数列an的通项公式； 令 bn= nan,求数列bn的前 n项和 Sn. 解(1)由已知，得当 n1 时， an+ 1 = (an+ 1 an) + (an an 1)+ + (

11、a2 a1) + a1 1+ 22n 3+ + 2) + 2 = 22(n + 1) 1 而 a1= 2，符合上式， 所以数列an的通项公式为 an= 22n-1. (2)由 bn= nan= n 22n 1 知 Sn= 1 2+ 2 23+ 3 25+ + n 22n 1. 从而 22 Sn= 1 23 + 2 25 + 3 27 + + n 22n+1. 一得(1 22)Sn = 2+ 23+ 25+ 22n-1 n 22n +1, 1 即 Sn= 6【(3n 1)22n+ 1+ 2 考点三裂项相消求和法 例 3 (2013 广东)设各项均为正数的数列 an的前 n项和为 Sn,满足 4S

12、n= a2 +1 4n1,n N 且a2, a5, a14构成等比数列. (1)证明：a2= 4a1+ 5; 求数列an的通项公式;1 1 2n= 2 + =3(22n- 数列求和的方法：(1) 一般地，数列求和应从通项入手，若无通项，就先求通 Si n = 1 an= 已知数列递推式求通项，主要掌握 Sn 一 Sn 1 n2 I(3)证明：对一切正整数 n,有丄 + 丄 + 1 0, a2= 4ai + 5. 2 解 当 n2 时，4Sn-1= an 4(n 1) 1, . 2 2 -4an= 4Sn 4Sn 1 = an+ 1 an 2 2 2 即 an+1 = an+ 4an+ 4 =

13、(an+ 2), 又 an0 , an+ 1 = an+ 2, 当 n2 时，an是公差为 2 的等差数列. 又 a2, a5, a14成等比数列. 2 2 a5= a2 a14,即(a2+ 6) = a2 (a2+ 24)，解得 a2= 3. 由(1)知 a1= 1. 又 a2 a1 = 3 一 1 = 2, 二数列an是首项 a1= 1，公差 d = 2 的等差数列. - an = 2n 1. 1 1 1 (3)证明 + + a1a2 a2a3 anan+1 1 1 1 1X 3+ 3X 5 + 5X 7 十十 .+ 1 2n 1 2n + 1 广 1 1 一 1 2n + 1 项，然后通

14、过对通项变形, 转化为与特殊数列有关或具备适用某种特殊方法的形式, 而选择合适的方法求和得解. (2)已知数列前 n项和 Sn或者前 n项和 Sn与通项公式 从 an 的关系式，求通项通常利用 1 0) 中，a1 = 3,此数列的前 n项和为 Sn,对于所有大于 1 的正整数 n都有 Sn= f(Sn-1). (1)求数列an的第 n +1 项； 1 1 若 bn是丄,I的等比中项，且 Tn为bn的前 n项和，求 Tn. an+1 an 解(1)因为 x，亠汁,.3(x 0)成等差数列， 所以 2X 乎= x+ 3,整理，得 f(x)= ( x+ 3)2. 因为 Sn= f(Sn 1)( nA

15、 2)，所以 Sn= 1+3)2, 所以.Sn=- Sn1+j3，即,Sn_” Sn_1= 3, 所以 .Sn是以.3 为公差的等差数列. 因为 a1 = 3，所以 Si = a1 = 3, 所以 Sn= , 0 + (n一 1) ,3=、：.-：3 + 3n一 .3= .3n. 所以 Sn= 3n (n N ). 所以 an+1 = Sn+1 Sn= 3(n+ 1)2 3n2= 6n + 3. 1 1 因为，bn是 与丁的等比中项， an 所以 C.bn)2 =丄 an+ 1 所以 1 bn = 1 an 1 3 2n + 1 x 3 2n 1 an+ 1 亠 2n + 1， Tn= b1

16、+ b2 + + bn 考点四数列的实际应用1 2n+ 1 亠 2n 1 用数列知识解相关的实际问题，关键是合理建立数学模型 数列模型，弄 例 4 (2012 湖南)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产. 该企业第一年年初有资金 2 000 万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了 50%，预计以后每年资金年增长率 与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始， 每年年底上缴资金 d 万元，并将剩余资 金全部投入下一年生产.设第 n年年底企业上缴资金后的剩余资金为 an万元. (1) 用 d 表示 ai , a2，并与出an +1与an的关系式； 若公司希望经过 m(m3)年使企业的剩余资金为

17、 4 000 万元，试确定企业每年上缴资 金 d 的值(用 m 表示). 畤詁(1)由第 n年和第(n + 1)年的资金变化情况得出 an与 a.+1的递推关系； (2) 由 an+1与 an之间的关系，可求通项公式，问题便可求解. 解 (1)由题意得 a1= 2 000(1 + 50%) d= 3 000- d, 3 5 a2= a1(1 + 50%) d = qa1 d= 4 500 qd. 3 an+1 = an(1 + 50%) d = Qan d. 3 3 ,-3 、 由(1)得 an = an 1 d= 2 辽an 2 d J d 3 2 3 =2 an2 2d d= 3 3 n

18、2 a1-d+ 2+ R+T - an= g ?1(3 000 d) 2d | 1 (3 000 3d) + 2d. 由题意，知 am= 4 000, 即 2 m1(3 000 3d) + 2d = 4 000, m m+ 1 1 000( 3 2 故该企业每年上缴资金 d的值为 整理得 解得d= 2 m 1 3m m I寸，经过 m(m3)年企业的剩余资金为 3m m 2 X 1 000 1 000 3m 2m+ 1 4 000 万元. 清所构造的数列的首项是什么， 项数是多少，然后转化为解数列问题. 求解时，要明确 目标，即搞清是求和，还是求通项，还是解递推关系问题，所求结论对应的 是解方

19、程 问题，还是解不等式问题，还是最值问题，然后进行合理推算，得出实际问题的结果. 凶 gf 某产品在不做广告宣传且每千克获利 a 元的前提下，可卖出 b 千克.若做 * 1 广告宣传，广告费为 n(n N)千元时比广告费为(n 1)千元时多卖出夕千克. (1) 当广告费分别为 1 千元和 2 千元时，用 b 表示销售量 S; (2) 试写出销售量 S 与 n的函数关系式； 当 a = 50, b = 200 时，要使厂家获利最大，销售量 S 和广告费 n分别应为多少？ 解(1)当广告费为 1 千元时，销售量 S= b + 2= 32b. 当广告费为 2 千元时，销售量 S= b+ b +萝=孚

20、 (2)设 Sn(n N)表示广告费为 n千元时的销售量， 由题意得 S1 So= 2, S2 S1 = 2b2, Sn Sn 1 =尹 以上 n个等式相加得，Sn So= 2 + + /+, 当 a = 50, b = 200 时，设获利为 Tn,则有 Tn= Sa 1 000n= 10 000 x (2 寺)1 000n =1 000 x (20 即 S= & = b+齐和和弄b1 1 1-2 =b(2 2n). 来 源:www .shulihua.n设 bn= 20 10 2n n, nrt 10 10 5 则 bn+1 bn = 20 n1 n 1 20+ 孑 + n =卫一

21、1, 2n+| 2 2 当 n w 2 时，bn+1 bn0 ;当 n3 时，bn+1 bn0. 所以当 n = 3 时，bn取得最大值，即 Tn取得最大值，此时 S= 375, 即该厂家获利最大时，销售量和广告费分别为 375 千克和 3 千元. 1. 数列综合问题一般先求数列的通项公式， 这是做好该类题的关键.若是等差数列或等比 数列，则直接运用公式求解，否则常用下列方法求解： n= 1 (1)an = | Sn Sn 1 n2 (2)递推关系形如 an+1 an= f(n),常用累加法求通项. an+ 1 (3) 递推关系形如 =f(n),常用累乘法求通项. an (4) 递推关系形如

22、an+1 = pan+ q(p、q 是常数，且 p丰1, q丰0)”的数列求通项，此类通 项问题，常用待定系数法可设 an+1 +入=p(an+为，经过比较，求得 入则数列an+莎 是一个等比数列. (5) 递推关系形如 an+1 = pan+ qn(q, p 为常数，且 p丰1, qz 0)”的数列求通项，此类 型可以将关系式两边同除以 qn转化为类型(4),或同除以 pn+1转为用迭加法求解. (1) 错位相减法求和时将问题转化为等比数 列的求和问题求解. (2) 并项求和时，将问题转化为等差数列求和. (3) 分组求和时，将问题转化为能用公式法或错位相减法或裂项相消法或并项法求和的 几个

23、数列的和求解. 提醒：运用错位相减法求和时，相减后，要注意右边的 n+ 1 项中的前 n项，哪些项构 2.数列求和中应用转化与化归思想的常见类型: 来 源:www.shulihua.n 成等比数列，以及两边需除以代数式时注意要讨论代数式是否为零. 3.数列应用题主要考查应用所学知识分析和解析问题的能力. 这类问题的核心，在试题中主要有： 一是，构造等差数列或等比数列模型， 的通项公式与求和公式求解；二是，通过归纳得到结论，再用数列知识求解其中，建立数列模型是解决 然后用相应 1.在一个数列中，如果？ n N*，都有 anan +仙+ 2= k(k 为常数)，那么称这个数列为等积数 列，称 k

24、为这个数列的公积.已知数列 an是等积数列，且 ai= 1，a2= 2，公积为 8, 贝V ai + a2+ a3+ ai2= _ . 答案 28 解析 依题意得数列an是周期为 3 的数列，且 ai = 1, a2= 2, a3= 4, 因此 ai + a2 + a3+ + ai2= 4(ai+ a2+ a3)= 4X (1 + 2+ 4) = 28. 2. 秋末冬初，流感盛行，特别是甲型 H1N1 流感某医院近 30 天每天入院治疗甲流的人 数依次构成数列an，已知 ai= 1 , a2= 2，且an+ 2 an= 1 + ( 1) (n N )，则该医院 30 天入院治疗甲流的人数共有

25、_. 答案 255 解析 由于 a*+2 an = 1 + ( 1), 所以 ai = a3= a29= 1, a2, a4,，a30构成公差为 2 的等差数列， 所以 ai + a2+ a29 + a30 3. 已知公差大于零的等差数列 an的前 n项和 Sn,且满足：a2 at= 65, ai + a5= 18. (1)若 1i21 , ai, ai, a2i是某等比数列的连续三项，求 i 的值; 设bn=硏花是否存在一个最小的常数m使得bi + 4+ bn0,二 a2a4, a2= 5, a4= 13. ai+ d = 5, ai+ 3d = 13, ai = 1, d= 4. an=

26、4n 3. =15+ 15X 2 + 15X 14 2 X 2 = 255. 由于 1i0, a90 , S90 ,鈕0,，鈕0, S160, 16(a1 + a16) S16 = 8(a8 + ag)0, 峯，覚中最大的 ( ) 而 S12 a2 a8, 所以在2, 2, ,弘中最大的是S a15 a8 这样 ，S20， 故选 B. * 111 5-数列an满足a1 = 1且对任意的m，n * N都有 nf+ an+ mn，则二+討 1 +丄等于 a2 012 答案 A 解析 令 m = 1 得 an+1 = an+ n + 1，即卩 an+1 an= n +1, 于是 a2 a1 = 2,

27、 a3 a2= 3,，an an-1 = n, 上述 n 1 个式子相加得 an a1 = 2 + 3+ + n, an= f(n) + f(n + 1) = n2 (n+ 1)2= (2n+ 1); 当 n为偶数时， 2 2 an = f(n) + f(n + 1) = n + (n+ 1) = 2n + 1. 所以 a1 + a2 + a3+ a2 012 =2( 1 + 2 3 + 4 +2 011 + 2 012) = 2 012. 、填空题A 4024 2 013 4018 B.2 012 C逊 2 011 D 2 009 D.2 010 所以 an= 1 + 2 + 3+ 因此丄=

28、一=2 n an n(n+1) 2 时，两式相减得，an= 2 3n 1. 当 n = 1 时，a1= 3 1 = 2，适合上式， n 1 2 n 1 an = 2 3 (n N ). an = 49 , 则数列a2是首项为 4,公比为 9 的等比数列. =知-1). n n n n * & 设数列an的前 n项和为 Sn,且 an为复数 isin + cos (n N)的虚部，贝U S2 013 = 解析 由已知得：an= sin罗 N*), a1 = 1, a2 = 0, a3= 1, a4= 0, 故an是以 4 为周期的周期数列, S2 013= S503X 4+ 1= S1=

29、 a1= 1. 9.已知数列 an满足 3an+1+ a*= 4(n1)且 a1 = 9，其前 n项之和为 Sn,则满足不等式 0 答案 7 解析 由递推式变形得 3(an+1 1)= (an 1), 1 an 1是公比为一 3 的等比数列. 则 an 1 = 8 )1, 2 2 2 2 a1 + a2 + a3 + + an= 4 1 9n 1 答案 1 来源数理化网 n 6|盍的最小整数门是 - 来源:www.shulihua.ne 即 an= 8 ( 3) + 1. 1 n 81 (3) 于是 S)= - 1 - F n 1 - - 3 1 n 1 n =61 ( 3) + n= 6 6

30、 ( 3) + n 1 因此 |Sn n 6|= |6X ( 3)n| 1 n 1 n 1 =6X(3)250， 满足条件的最小 n = 7. 10气象学院用 3.2 万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用， nF 49 * 第 n天的维修保养费为 (n N )元，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指 使用这台仪器的平均耗资最.少)，一共使用了 _ 天. 答案 800 解析 由题意得，每天的维修保养费是以 5 为首项，盒为公差的等差数列.设一共使用 n+ 49 3.2X 104+ 4 + F 3 2 x 104 n a1+ 4d= 9 a1 = 1 得 ，解得 2a

31、1+ 6d= 14 d= 2 所以数列an的通项公式为 an= 2n 1. 由 an= 2n 1 得 bn= 2n 1 + . 当 q0 且 qz 1 时，Sn = 1 + 3 + 5 + + (2n 1) + (q1 + q3+ q5+ q2n 1) = n2 + n天的平均耗资为 2n q 1 q . 2 ； 1 q 当 q = 1 时，bn= 2n,贝 V Sn= n(n+ 1). n(n + 1 , q = 1 2n 2 q(1 q ) 口 n + , q0 且 q 丰 1 I 1 q (1)求数列an的通项公式； 设 bn= 2nan，数列bn的前 n项和为 Tn，求 Tn的表达式. 1 1 1 1 解 (1)化简 f(x)= sin 4X sin 4(x+ 2 n sin J(x+ 3R= ：sin x, 其极值点为 x= k 计才(k Z), 它在(0 ,+8 )内的全部极值点构成以 2 为首项，n为公差的等差数列， 故 an=寸+ (n 1) n n n n (2)bn = 2 an = 2(2n 1) 2 , Tn = 7